平面向量

1、考点 04 平面向量 一单选题 1 2021 江苏泰州市 高三期末已知向量1,2AB ，cos ,sin AC，则ABC面积的最大值为 A 3 2 B 1 2 C 5 2 D1 答案C 分析1,2AB ，cos ,sin AC 2222 1。

2、专题一专题一 三角函数与平面向量三角函数与平面向量 微专题微专题3 平面向量平面向量 微专题3 平面向量 对点训练 小题考法小题考法 1 平面向量的线性运算平面向量的线性运算 (1)(2020 大庆四中月考大庆四中月考)已知向量已知向量 a(4， ， 1)， b(5，2)，且，且(ab)(mab)，则，则 m( ) A1 B1 C7 5 D 7 5 (2)(2020 邵阳市部分学校模拟。

3、Day4.平面向量（常见于选填低档题，简单易算） 区分数量与向量，了解零向量、单位向量、平行/相等/共线向量的概念 补充法向量（可应用于求点到面的距离）知识 （如果一个非零向量 n 与平面 a 垂直，则称向量 n 为平面 a 的法向量） 思考向量在物理学中的应用（力学） 掌握向量的线性运算（加减、数乘），平面向量基本定理，类比推导空间向量。

4、高中数学探究 562298495 高考内部特供精优资料 Word 版 1163173836 8 平面平面向量向量 例 1：如图，已知，若点满足， 则（ ） A B C D 【答案】D 【解析】因为，所以， 整理得到，所以，故选 D 例 2：如图，在中，在线段上，设， ，则的最小值为_______ 【答案】 【解析】， 由图可知均为正数 又三点共线，则， OABC 2ACCB。

5、上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 阶阶 段段 一一 阶阶 段段 二二 阶阶 段段 三三 学学 业业 分分 层层 测测 评评 2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题(重 点) 2学会用向量方法解决实际问题的基本方法(难点) 上一页上一页。

6、上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 巩巩 固固 层层 知知 识识 整整 合合 拓拓 展展 层层 链链 接接 高高 考考 章末分层突破章末分层突破 提提 升升 层层 能能 力力 强强 化化 章章 末末 综综 合合 测测 评评 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 自我校对 加法 减法 实数与向量的积 向量的数量积 垂直 平行 长度 夹角 平行 垂直。

7、上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 阶阶 段段 一一 阶阶 段段 二二 阶阶 段段 三三 学学 业业 分分 层层 测测 评评 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算(重点) 2会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题(难点) 3分清向量平行与垂直的坐标表示(易混点) 上一页上一页返回首页返回首页。

8、上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 阶阶 段段 一一 阶阶 段段 二二 阶阶 段段 三三 学学 业业 分分 层层 测测 评评 2.3.4 平面向量共线的坐标表示 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1用坐标表示两向量共线(重点) 2根据平面向量的坐标判断向量共线(难点) 3两直线平行与两向量共线的判定(易混点) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 基础 初探 教材整理 平面向量共。

9、上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 阶阶 段段 一一 阶阶 段段 二二 阶阶 段段 三三 学学 业业 分分 层层 测测 评评 2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1平面向量的数量积(重点) 2平面向量的数量积的几何意义(难点) 3向量的数量积与实数的乘法的区别(易混点) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 基。

10、上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 阶阶 段段 一一 阶阶 段段 二二 阶阶 段段 三三 学学 业业 分分 层层 测测 评评 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1掌握平面向量的坐标表示及其坐标运算(重点) 2理解平面向量坐标的概念(难点) 3向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系(易混点) 上一页上一页返回首页。

11、上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 阶阶 段段 一一 阶阶 段段 二二 阶阶 段段 三三 学学 业业 分分 层层 测测 评评 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1掌握向量的数乘运算及其几何意义(重点) 2掌握向量共线定理的应用(难点) 3理解实数相乘与向量数乘的区别(易混点) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 基础 初探 教材整理 1 向。

12、上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 阶阶 段段 一一 阶阶 段段 二二 阶阶 段段 三三 学学 业业 分分 层层 测测 评评 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1了解基底的含义，理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向 量(重点) 2掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义(难点) 3两个向量的夹角与两条直线。

13、上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 阶阶 段段 一一 阶阶 段段 二二 阶阶 段段 三三 学学 业业 分分 层层 测测 评评 2.2.2 向量减法运算及其几何意义 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1掌握向量减法的运算，理解其几何意义(重点) 2理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义(难点) 3能将向量的减法运算转化为向量的加法运算(易混点) 上一页上一页返回首页返回首页。

14、上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 阶阶 段段 一一 阶阶 段段 二二 阶阶 段段 三三 学学 业业 分分 层层 测测 评评 2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1理解向量的加法及其运算法则、运算律(重点) 2理解向量加法的几何意义(难点) 3数的加法与向量的加法的联系与区别(易混点) 上一页上一页返回首页返回首页下一页。

15、上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 阶阶 段段 一一 阶阶 段段 二二 阶阶 段段 三三 学学 业业 分分 层层 测测 评评 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.2 向量的几何表示 2.1.3 相等向量与共线向量 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1理解向量的有关概念及向量的几何表示(重点) 2理解共线向量、相等向量的概念(难点) 3正确区。

16、2020 届全国各地最新模拟试题（理）分类汇编 10 平面向量 1 （2020福州一模）已知两个单位向量 12 ,e e，若 121 (2 )eee，则 12 ,e e的夹角为( ) A 2 3 B 3 C 4 D 6 2 （2020东胜区校级一模）在ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中 点，若AMABAC，则等于( ) A 1 2 B 2 3 C 1 6 D 1 3。

17、1 数学数学必会基础题型必会基础题型平面向量平面向量 【基本概念基本概念与公式】与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.1.向量向量：既有大小又有方向的量。记作：AB或a。 2.2.向量的模向量的模：向量的大小（或长度） ，记作：|AB或|a。 3.3.单位向量单位向量：长度为 1 的向量。若e是单位向量，则| | 1e 。 4.4.零向量零向量：长度为 0 的向量。记作：0。 【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.5.平行向量（共线向量）平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的向量。 6.6.相等向量相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.7.相反。

18、第二章 平面向量 理网络明结构 内容 索引 0101 0202 理理网络网络 明结构明结构 探探题型题型 提提能力能力 0303 0404 理网络明结构 理网络明结构 理网络明结构 探题型提能力 题型一 数形结合思想在向量中的运用 例 1 已知向量OB (2,0)， OC (2,2)， CA ( 2cos ，2sin )， 则OA 不OB 夹角的范围是( ) A. 0， 4 B. 4， 5 12 C. 12， 5 12 D. 5 12， 2 理网络明结构 解析 建立如图所示的直角坐标系. OC (2,2)，OB (2,0)， CA ( 2cos ， 2sin )， 点 A 的轨迹是以 C(2,2)为圆心， 2为半径的圆. 过原点 O 作此圆的切线，切点分别为 M，N，连接。

19、2020 届全国各地最新模拟试题（理）分类汇编 10 平面向量 1（2020兖州区模拟） 等腰直角三角形ABC中， 2 ACB ，2ACBC， 点P是斜边AB 上一点，且2BPPA，那么(CP CACP CB ) A4 B2 C2 D4 2 （2020上饶一模） 已知, a b是不共线的向量，OAab，2OBab，2OCab， 若A、B、C三点共线，则、满足( ) A3 B3 C2 D2 3 （2020新建区校级模拟）如图，在ABC中，,3,| 2ADAB DCBD AD，则AC AD 的值为( ) A3 B8 C12 D16 4 （2020咸阳一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点， 3 1 (, ) 22 OA，若OA绕点O逆 时针旋转60得到向量OB，则(OB ) A(0,1) B(1,0) C 31 (。

20、1 第二章第二章 平面向量平面向量 单元测试单元测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 满分：150 分 考试时间：120 分钟 第卷（选择题）第卷（选择题） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1设a ，b 满足()1,2a = ，(), 1bx= ，且( ) aba+ ，则实数x的值为（ ） A3 B- -3 C 1 2 D 1 2 2平面向量a 与b 的夹角为 60，且3 0()a = ， 1b = ，则2ab+= （ ） A 3 B19 C19 D2 3 3已知向量a ，b 满足()15ab= ，()221ab+= ，则b = （ ） A （1，2） B （1。

21、1 高一数学讲义高一数学讲义 2012017 7 年年 月月 日日平面平面向量向量（1 1） ） 附附：平面向量主要知识点平面向量主要知识点 1.1.向量的概念向量的概念 （1）向量既有大小又有方向的量。 （ ）向量的模有向线段的长度，2| | a ； （ ）单位向量 ，3100| | | aa a a = ； （ ）零向量，4000 =| |； （ ）相等的向量 长度相等 方向相同 5 = ab 在此规定下在此规定下, ,向量可以在平面向量可以在平面（或空间或空间）平行移动而不改变平行移动而不改变。 （6 6）共共线向量线向量（平行向量平行向量）方向相同或相反的向量方向相同或相反。

22、第 - 1 - 页 共 8 页 - 1 - A 级：基础巩固练 一、选择题 1在ABC 中，ABAC，D，E 分别是 AB，AC 的中点，则( ) ABD CE BBD 与CE 共线 CBE BC DDE 与BC 共线 答案 D 解析 D，E 分别是 AB，AC 的中点，DEBC，即DE 与BC 共 线 2ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 1，AO 1 2(AB AC )，且 |OA |AB |，则BA BC 为( ) A1 B 3 C1 D 3 答案 A 解析 由题意知，O 为 BC 的中点，且ABC60 ，|BC |2，|AB |1，BA BC 121 21. 3人骑自行车的速度是 v1，风速为 v2，则人骑自行车逆风行驶的 速度为( ) Av1v2 Bv1v2 C|v1|v2| D v1 v2 答案 B 解析 对于速度的合。

23、第 - 1 - 页 共 6 页 - 1 - A 级：基础巩固练 一、选择题 1已知|a|1，b(0,2)，且 a b1，则向量 a 与 b 夹角的大小为 ( ) A 6 B 4 C 3 D 2 答案 C 解析 |a|1，b(0,2)，且 a b1， cosa，b a b |a|b| 1 1 022 1 2. 向量 a 与 b 夹角的大小为 3.故选 C. 2已知平面向量 a(2,4)，b(1,2)，若 ca(a b) b，则|c|等 于( ) A4 2 B2 5 C8 D8 2 答案 D 解析 易得 a b2(1)426，所以 c(2,4)6(1，2) (8，8)，所以|c| 82828 2. 3已知向量 a( 3，1)，b 是不平行于 x 轴的单位向量，且 a b 3，则 b( ) A 3 2 ，1 2 B。

24、第 - 1 - 页 共 7 页 - 1 - A 级：基础巩固练 一、选择题 1下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底 的是( ) Aa(0,0)，b(1，2) Ba(1,2)，b(5,7) Ca(3,5)，b(6,10) Da(2，3)，b(4，6) 答案 B 解析 A 中，a(0,0)与 b(1，2)共线，不能作为表示它们所在 平面内所有向量的基底；C 中 a(3,5)与 b(6,10)2a 共线，不能作 为表示它们所在平面内所有向量的基底；D 中 a(2，3)与 b(4， 6)2a 共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底故选 B. 2已知两点 A(2，1)，B(3,1)，与AB 平行且方向相反的向量 a 可能是( ) A(1，2) B(9,3。

25、第 - 1 - 页 共 6 页 - 1 - A 级：基础巩固练 一、选择题 1已知|a|2，|b|4，a b4，则向量 a 与 b 的夹角为( ) A30 B60 C150 D120 答案 D 解析 cos a b |a|b| 4 24 1 2，0 ，180 ，120 .故选 D. 2已知向量 a，b 满足 a b0，|a|1，|b|2，则|2ab|( ) A0 B2 2 C4 D8 答案 B 解析 |2ab|24a24a bb28， |2ab|2 2. 3若平面四边形 ABCD 满足AB CD 0，(AB AD ) AC 0，则 该四边形一定是( ) A直角梯形 B矩形 C菱形 D正方形 答案 C 解析 由AB CD 0， 得平面四边形 ABCD 是平行四边形， 由(AB AD。

26、第 - 1 - 页 共 7 页 - 1 - A 级：基础巩固练 一、选择题 1已知向量 a(1,2)，2ab(3,2)，则 b( ) A(1，2) B(1,2) C(5,6) D(2,0) 答案 A 解析 b(3,2)2a(3,2)(2,4)(1，2) 2ABCD 中，AD (3,7)，AB (2,3)，对称中心为 O，则CO 等 于( ) A 1 2，5 B 1 2，5 C 1 2，5 D 1 2，5 答案 B 解析 CO 1 2AC 1 2(AD AB )1 2(1,10) 1 2，5 . 3已知向量 a(1,2)，b(2,3)，c(3,4)，且 c1a2b，则 1， 2的值分别为( ) A2,1 B1，2 C2，1 D1,2 答案 D 解析 因为 c1a2b，所以(3,4)1(1,2)2(2,3)(122。

27、第 - 1 - 页 共 8 页 - 1 - A 级：基础巩固练 一、选择题 1在矩形 ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC e1，DC e2，则 OC ( ) A.1 2(e1e2) B.1 2(e1e2) C.1 2(2e2e1) D.1 2(e2e1) 答案 A 解析 因为 O 是矩形 ABCD 对角线的交点，BC e1，DC e2，所 以OC 1 2(BC DC )1 2(e1e2)故选 A. 2在ABC 中，点 P 是 AB 上一点，且CP 2 3CA 1 3CB ，又AP tAB ，则 t 的值为( ) A.1 3 B. 2 3 C. 1 2 D. 5 3 答案 A 解析 CP CA 1 3(CB CA )1 3AB ，即 AP 1 3AB . 又AP tAB ，t1 3.故选 A. 3如图，在OAB 中，P 为线段 AB 上一点，OP xOA yOB ， 且BP 3PA ，则。

28、第 - 1 - 页 共 6 页 - 1 - A 级：基础巩固练 一、选择题 1下列运算中正确的是( ) A.OA OB AB B.AB CD DB C.OA OB BA D.AB AB 0 答案 C 解析 根据向量减法的几何意义，知OA OB BA ，所以 C 正确， A 错误；B 显然错误；对于 D，AB AB 应该等于 0，而不是 0. 2下列说法错误的是( ) A若OD OE OM ，则OM OE OD B若OD OE OM ，则OM DO OE C若OD OE OM ，则OD EO OM D若OD OE OM ，则DO EO OM 答案 D 解析 由向量的减法就是向量加法的逆运算可知，A，B，C 都正 确由相反向量定量知，共OD OE OM ，则DO EO OD OE (OD OE )OM。

29、第 - 1 - 页 共 8 页 - 1 - A 级：基础巩固练 一、选择题 1下列各式计算正确的个数是( ) (7) 5a35a；a2b2(ab)3a；ab(ab)0. A0 B1 C2 D3 答案 C 解析 根据向量数乘的运算律可验证正确；错误，因为向 量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数 2如图所示，D 是ABC 的边 AB 上的中点，则向量CD ( ) A.BC 1 2BA BBC 1 2BA CBC 1 2BA D.BC 1 2BA 答案 B 解析 解法一：D 是 AB 的中点，BD 1 2BA ， CD CB BD BC 1 2BA . 第 - 2 - 页 共 8 页 - 2 - 解法二：由CD 1 2(CB CA )1 2CB (CB BA )CB 1 2BA BC 1 2BA . 3已知向量 a，b，且AB 。

30、第 - 1 - 页 共 6 页 - 1 - A 级：基础巩固练 一、选择题 1下列说法不正确的是( ) A向量的模是一个非负实数 B任何一个非零向量都可以平行移动 C长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 D两个有共同起点且共线的向量终点也必相同 答案 D 解析 显然，选项 A，B，C 说法正确对于 D，由共线向量知， 两个有共同起点且共线的向量其终点不一定相同，故错误故选 D. 2若向量 a 与 b 不相等，则 a 与 b 一定( ) A不共线 B长度不相等 C不可能都是单位向量 D不可能都是零向量 答案 D 解析 因为所有的零向量都是相等的向量故选 D. 3若 a 为任一。

31、第 - 1 - 页 共 7 页 - 1 - A 级：基础巩固练 一、选择题 1在平行四边形 ABCD 中，下列式子： AD AB BD ； AD AC CD ； AD AB AC ； AB BC AC ；AD AB BC CD ；AD DC CA . 其中不正确的个数是( ) A1 B2 C4 D6 答案 A 解析 DC CA DA ，故不正确；其他都正确 2设 a(AB CD )(BC DA )，b 是任一非零向量，则在下列结 论中，正确的是( ) ab；aba；abb；|ab|a|b|； |ab|a|b|. A B C D 答案 C 解析 a(AB CD )(BC DA )AB BC CD DA 0， 易知 正确故选 C. 3已知 D，E，F 分别是ABC 的边 AB，BC，CA。

32、第第 2 节节 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 最新考纲 1.了解平面向量的基本定理及其意义； 2.掌握平面向量的正交分解及其 坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示 的平面向量共线的条件. 知 识 梳 理 1.平面向量的基本定理 如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a， 存在唯一一对实数 1，2，使 a1e12e2. 其中，不共线的向量 e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作。

33、第第 3 节节 平面向量的数量积及其应用平面向量的数量积及其应用 最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积 与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； 4.能运用数量积表示两个向量的夹角， 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题； 6.会用向量方法解决简单的力学 问题与其他一些实际问题. 知 识 梳 理 1.平面向量数量积的有关概念 (1)向量的夹角 定义：已知两个非零向量 a 和 b，如图，作OA a，OB b，则AOB (0 180 )叫。

34、第第 1 节节 平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 最新考纲 1.了解向量的实际背景； 2.理解平面向量的概念， 理解两个向量相等的 含义； 3.理解向量的几何表示； 4.掌握向量加法、 减法的运算， 并理解其几何意义； 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义， 理解两个向量共线的含义； 6.了解向量线性 运算的性质及其几何意义. 知 识 梳 理 1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的长度(或模). (2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的. (3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量. (4)平。

35、专题六专题六 平面向量平面向量 自查网络 核心背记 一、向量的线性运算 （一）向量的概念 1向量：既有____又有____的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模） 2零向量：____叫做零向量，其方向是任意的 3单位向量：长度等于____的向量 4平行向量：方向____或____的非零向量，平行向量又叫共线向量，任意组平行向量都可 以移到同一直线上，规定：零向量与任意向量____ 5裙等向量：长度____且方向____的向量 6相反向量：长度____且方向____的向量 （二）向量的表示方法 1字母表示法：如 a，AB 等； 2几何表示法：用一条有向线段表示向。