初中数学竞赛辅导讲义及习题解答

1、1 第二十八讲第二十八讲 避免漏解的奥秘避免漏解的奥秘 “会而不对，对而不全” ，这是许多同学在解题时无法避免而又屡犯不止的错误，提高 解题周密性，避免漏解的奥秘在于：掌握分类讨论法，学会分类讨论 分类讨论就是按照一定的标准， 把研究对象分成几个部分或几种情况， 然后逐个加以解 决，最后予以总结作出结论的思想方法，其实质是化整为零、各个击破的转化策略 解题时何时需要进行分类?一般来说，当问题包。

2、1 第二十七讲第二十七讲 动态几何问题透视动态几何问题透视 春去秋来，花开花落，物转星移，世间万物每时每刻都处于运动变化、相互联系、相互 转化中，事物的本质特征只有在运动中方能凸现出来 动态几何问题，是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题，常见的 形式是：点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等，解这类问题的基本策略是： 1动中觅静 这里的“静”就是问题中的不变量、不。

3、1 第二十三讲第二十三讲 圆与圆圆与圆 圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有 如下三种方法： 1通过两圆交点的个数确定； 2通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定； 3通过两圆的公切线的条数确定 为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、共切线、连心线，以 及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线 熟悉以下基。

4、1 第二十一讲第二十一讲 从三角形的内切圆谈起从三角形的内切圆谈起 和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆， 这个多边形叫做圆的外切多边形 三 角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心， 圆外切三角形、 圆外切四边形有下列重要性质 ： 1三角形的内心是三角形的三内角平分线交点，它到三角形的三边距离相等； 2圆外切四边形的两组对边之和相等，其逆亦真，是判定四边形是否有外切圆的主要 方法 当圆。

5、1 第十八讲第十八讲 圆的基本性质圆的基本性质 到定点(圆心)等于定长(半径)的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物，圆的 图形在人类进程中打下深深的烙印 圆的基本性质有 ： 一是与圆相关的基本概念与关系，如弦、弧、弦心距、圆心角、圆周 角等 ； 二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一中心对称图形用圆的基本性质解 题应注意： 1熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明； 2了解弧的。

6、1 第十七讲第十七讲 解直角三角形解直角三角形 利用直角三角形中的已知元素(至少有一条是边)求得其余元素的过程叫做解直角三角形， 解直角三角形有以下两方面的应用： 1为线段、角的计算提供新的途径 解直角三角形的基础是三角函数的概念， 三角函数使直角三角形的边与角得以转化， 突 破纯粹几何关系的局限 2解实际问题 测量、航行、工程技术等生活生产的实际问题，许多问题可转化为解直角三角形获解，。

7、1 第八讲第八讲 由常量数学到变量数学由常量数学到变量数学 数学漫长的发展历史大致历经四个时期：以自然数、分数体系形成的萌芽期；以代数符 号体系形成的常量数学时期；以函数概念产生的变量数学时期；以集合论为标志的现代数学 时期 函数是数学中最重要的概念之一，它是变量数学的标志， “函数”是从量的侧面去描述 客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性 函数的基。

8、1 第一讲第一讲 走进追问求根公式走进追问求根公式 形如0 2 cbxax（0a）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次 方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。 求根公式 a acbb x 2 4 2 2 , 1 内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元 二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示。

9、1 第二十四讲第二十四讲 几何的定值与最值几何的定值与最值 几何中的定值问题， 是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变， 或几何元素间 的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是 ： 分清问题的定 量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明 几何中的最值问题是指在一定的条件下， 求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、 角度大小。

10、1 第二十讲第二十讲 直线与圆直线与圆 直线与圆的位置有相交、相切、相离三种情形，既可从直线与圆交点的个数来判定，也 可以从圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较来考察 讨论直线与圆的位置关系的重点是直线与圆相切，直线与圆相切涉及切线的性质和判 定、切线长定理、弦切角的概念和性质、切割线定理等丰富的知识，这些丰富的知识对应着 以下基本图形、基本结论： 注： 点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系的。

11、1 第十四讲第十四讲 图表信息问题图表信息问题 21 世纪是一个信息化的社会，从纷繁的信息中，捕捉搜集、处理、加工所需的信息， 是新世纪对一个合格公民提出的基本要求 图表信息问题是近年中考涌现的新问题， 即运用图象、 表格及一定的文字说明提供问题 情境的一类试题 图象信息题是把需要解决的问题借助图象的特征表现出来， 解题时要通过对图象的解读、 分析和判断， 确定图象对应的函数解析式中字母系数。

12、1 第十三讲第十三讲 怎样求最值怎样求最值 在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消 耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小 值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点： 1运用配方法求最值； 2构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3建立函数模型求最值；。

13、第三十讲 从创新构造入手有些数学问题直接求解比较困难，可通过创造性构造转化问题而使问题获解所谓构造法，就是综合运用各种知识和方法，依据问题的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法构造法是一种创造性思维，是建立在对问题结构特点的深刻认识基础上的构造法的基本形式是以已知条件为“原料”，以所求结论为“方向”，构造一种新的数学形式，初中阶段常用的构造解题的基本方法有：1构造方程；2构造函数；3构造图形；4对于存在性问题，构造实例；5对于错误。

14、第二十九讲 由正难则反切入人们习惯的思维方式是正向思维，即从条件手，进行正面的推导和论证，使问题得到解决但有些数学问题，若直接从正面求解，则思维较易受阻，而“正难则反，顺难则逆，直难则曲”是突破思维障碍的重要策略数学中存在着大量的正难则反的切入点数学中的定义、公式、法则和等价关系都是双向的，具有可逆性；对数学方法而言，特殊与一般、具体与抽象、分析与综合、归纳与演绎，其思考方向也是可逆的；作为解题策略，当正向思考困难时可逆向思考，直接证明受阻时可间接证明，探索可能性失败时转向考察不可能性由正难则反。

15、第二十八讲 避免漏解的奥秘“会而不对，对而不全”，这是许多同学在解题时无法避免而又屡犯不止的错误，提高解题周密性，避免漏解的奥秘在于：掌握分类讨论法，学会分类讨论分类讨论就是按照一定的标准，把研究对象分成几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论的思想方法，其实质是化整为零、各个击破的转化策略解题时何时需要进行分类?一般来说，当问题包含的因素发生变化，问题结果也相应发生变化，我们就需要对这一关键因素分类讨论，怎样进行正确分类?分类的基本要求是不重复、不遗漏，每次分类必须保持同一的分。

16、第二十七讲 动态几何问题透视春去秋来，花开花落，物转星移，世间万物每时每刻都处于运动变化、相互联系、相互转化中，事物的本质特征只有在运动中方能凸现出来动态几何问题，是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题，常见的形式是：点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等，解这类问题的基本策略是：1动中觅静这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性2动静互化“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为。

17、第二十六讲 开放性问题评说一个数学问题的构成含有四个要素：题目的条件、解题的依据、解题的方法、题目的结论，如果题目所含的四个要素是解题者已经知道，或者结论虽未指明，但它是完全确定的，这样的问题就是封闭性的数学问题开放性问题是相对于封闭性问题而言，从所呈现问题的方式看，有下列几种基本形式：1条件开放题称条件不充分或没有确定已知条件的开放性问题为条件开放题，解题时需执果寻因，根据结论和已有的已知条件，寻找使得结论成立的其他条件2结论开放题 称结论不确定或没有确定结论的开放性问题为结论开放题，解题时需由因。

18、第二十五讲 辅助圆在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决而我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆)，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法有：1利用圆的定义添补辅助圆；2作三角形的外接圆；3运用四点共圆的判定方法：(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆(2)同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆(3)若四边形ABCD的对角线相交于P，且PAPC=PBPD，则它的四个顶点共圆 (4)若四边形ABCD。

19、第二十四讲 几何的定值与最值几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1特殊位置与极端位置法；2几何定理(公理)法；3数形结合法等注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛。

20、第二十三讲 圆与圆圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有如下三种方法：1通过两圆交点的个数确定；2通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定；3通过两圆的公切线的条数确定为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、共切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线 熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】 如图，Ol与半径为4的O2内切于点A，Ol经过圆心O2，作O2的直径BC交Ol于点D，EF为过点A的公切线，若O2D=，那么BAF= 度思路。

21、第二十二讲 园幂定理相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系，主要体现在：1用运动的观点看，切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形，即移动圆内两条相交弦使其交点在圆外的情况；2从定理的证明方法看，都是由一对相似三角形得到的等积式熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】 如图，PT切O于点T，PA交O于A、B两点，且与直径CT交于点D，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= 思路点拨 综合。

22、第二十一讲 从三角形的内切圆谈起和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质：1三角形的内心是三角形的三内角平分线交点，它到三角形的三边距离相等；2圆外切四边形的两组对边之和相等，其逆亦真，是判定四边形是否有外切圆的主要方法当圆外切三角形、四边形是特殊三角形时，就得到隐含丰富结论的下列图形：注：设RtABC的各边长分别为a、b、c (斜边)，运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式：(1。

23、第二十讲 直线与圆直线与圆的位置有相交、相切、相离三种情形，既可从直线与圆交点的个数来判定，也可以从圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较来考察讨论直线与圆的位置关系的重点是直线与圆相切，直线与圆相切涉及切线的性质和判定、切线长定理、弦切角的概念和性质、切割线定理等丰富的知识，这些丰富的知识对应着以下基本图形、基本结论：注： 点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系的确定有共同的精确判定方法，即量化的方法(距离与半径的比较)，我们称“由数定形”，勾股定理的逆定理也具有这一特点【例题求解】【例1】 如图，AB是。

24、第十九讲 转化灵活的圆中角角是几何图形中最重要的元素，证明两直线位置关系、运用全等三角形法、相似三角形法都要涉及角，而圆的特征，赋予角极强的活性，使得角能灵活地互相转化根据圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化；由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来熟悉以下基本图形、基本结论注：根据顶点、角的两边与圆的位置关系，我们定义了圆心角与圆周角，类似地，当角的顶点在圆外。

25、第十八讲 圆的基本性质到定点(圆心)等于定长(半径)的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物，圆的图形在人类进程中打下深深的烙印圆的基本性质有：一是与圆相关的基本概念与关系，如弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一中心对称图形用圆的基本性质解题应注意：1熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明；2了解弧的特性及中介作用；3善于促成同圆或等圆中不同名称等量关系的转化熟悉如下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】在半径为1的O中，弦AB、AC的长分别为和，则BAC度数为 作出。

26、第十七讲 解直角三角形利用直角三角形中的已知元素(至少有一条是边)求得其余元素的过程叫做解直角三角形，解直角三角形有以下两方面的应用：1为线段、角的计算提供新的途径解直角三角形的基础是三角函数的概念，三角函数使直角三角形的边与角得以转化，突破纯粹几何关系的局限2解实际问题测量、航行、工程技术等生活生产的实际问题，许多问题可转化为解直角三角形获解，解决问题的关键是在理解有关名词的意义的基础上，准确把实际问题抽象为几何图形，进而转化为解直角三角形【例题求解】【例1】 如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影。

27、第十六讲 锐角三角函数古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin、cos、tg、ctg的通用形式三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质：1单调性；2互余三角函数间的关系；3同角三角函数间的关系 平方关系：sin2+cos2=1；商数关系：tg=。

28、第十五讲 统计的思想方法20世纪90年代，美国麻省理工学院教授尼葛洛庞帝写过一本畅销全球的数字化生存一书事实上，我们的生活、工作离不开数据，要做到心中有数、用数据说话是信息社会对人的基本要求统计学是一门研究如何收集、整理、分析数据，并在此基础上作出推断的科学随机抽样与统计推断是统计中最重要的思想方法，也是认识客观世界的事物和现象的方法之一即用样本的某种特征去估计总体的相应特征，用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分布规律【例题求解】【例1】 现有A，B两个班级，每个班。

29、第三讲 充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而。

30、第二讲 判别式二次方程根的检测器为了检查产品质量是否合格，工厂里通常使用各种检验仪器，为了辨别钞票的真伪，银行里常常使用验钞机，类似地，在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等。我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用：利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；通过判别式，证明与方程相关的代数问题；借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何。

31、第一讲 走进追问求根公式形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。。