2020届高三数学（文）“大题精练”6.docx

1、 2020 届高三数学（文） “大题精练”6 17 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前 n 项和为 1 22 n n SnN （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 2 2 log nn ba，求数列 1 1 nn b b 的前 n 项和 n T 18 （本小题满分 12 分） 如图，多面体ABCDEF中，21ABDEAD，平面CDE平面ABCD，四边形ABCD为矩形， BCEF，点G在线段CE上，且 2 2 2 3 EGGCAB (1)求证：DE平面ABCD ； (2)若2EFBC，求多面体ABCDEF被平面BDG分成的大、小两部分的体积比 19 （本小题满分 12 分） 一

2、项针对某一线城市 3050 岁都市中年人的消费水平进行调查，现抽查 500 名（200 名女性，300 名男性） 此城市中年人，最近一年内购买六类高价商品（电子产品、服装、手表、运动与户外用品、珠宝首饰、箱 包）的金额（万元）的频数分布表如下： （1）将频率视为概率，估计该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于 5000 元的概率 （2）把购买六类高价商品的金额不低于 5000 元的中年人称为“高收入人群”，根据已知条件完成 22 列联 表，并据此判断能否有 95%的把握认为“高收入人群”与性别有关？ 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中

3、nabcd 参考附表： 20 （本小题满分 12 分） 已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴的正半轴上，过点F的直线l与抛物线相交于A，B两 点，且满足 3 . 4 OA OB （1）求抛物线C的方程； （2）若P是抛物线C上的动点，点,M N在x轴上，圆 22 11xy（）内切于PMN，求PMN面积 的最小值 21 （本小题满分 12 分） 已知函数( )2(12 )ln a f xxax x （1）讨论 ( )f x的单调性； （2）如果方程 ( )f xm 有两个不相等的解 12 ,x x，且 12 xx，证明： 12 0 2 xx f 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选

4、一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 3 4 2 1 2 xt yt （t为参数） 以坐标原点为极点，x轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 53cos2 （1）在曲线 1 C上任取一点Q，连接OQ，在射线OQ上取一点P，使4OP OQ ，求P点轨迹的极坐 标方程； （2）在曲线 1 C上任取一点M，在曲线 2 C上任取一点N，求MN的最小值 23选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知函数

5、 2f xxxt（0t ）的最小值为 2 （）求不等式 48f xx的解集； （）若 222 5 235 2 abct，求23acbc的最大值 2020 届高三数学（文） “大题精练”6（答案解析） 17 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前 n 项和为 1 22 n n SnN （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 2 2 log nn ba，求数列 1 1 nn b b 的前 n 项和 n T 【解析】 （1）由 1 22 n n S 可得：当2n时， 1 22 n n S ，上述两式相减可得2n n a 当1n 时： 1 11 11 2222aS 成立，故所求2n n a

6、nN （2）2n n a ， 2 2 log2 nn ban， 1 111 11 22241 nn b bnnnn ， 故所求 111111111 1 41223141 n T nnn 41 n nN n 18 （本小题满分 12 分） 如图，多面体ABCDEF中，21ABDEAD，平面CDE平面ABCD，四边形ABCD为矩形， BCEF，点G在线段CE上，且 2 2 2 3 EGGCAB (1)求证：DE平面ABCD ； (2)若2EFBC，求多面体ABCDEF被平面BDG分成的大、小两部分的体积比 【解析】 （1）四边形 ABCD 为矩形，CD=ABAB=DE=2，CD=DE=2 点 G

7、在线段 CE 上，且 EG=2GC= 2 2 3 AB， EC= 2AB=2CD=2 2， 222 DECDEC，即DECD 又平面 CDE平面 ABCD，平面 CDE平面 ABCD=CD，DE平面 CDE，DE平面 ABCD (2)设三棱锥 G-BCD 的体积为 1，连接 EB，AE EG=2GC，CG= 1 3 EC，33 E BCDG BCD VV 易知3. E BCDEABD VV 又 EF=2BC，BCEF，2 ABDEFA SS ，故2 B ABDB AEF VV ， 又3 B ABEE ABD VV ，6 B AEF V ，故633 111. B AFEE ABDE BDG VV

8、V 故多面体 ABCDEF 被平面 BDG 分成的大、小两部分的体积比为 11：1 19 （本小题满分 12 分） 一项针对某一线城市 3050 岁都市中年人的消费水平进行调查，现抽查 500 名（200 名女性，300 名男性） 此城市中年人，最近一年内购买六类高价商品（电子产品、服装、手表、运动与户外用品、珠宝首饰、箱 包）的金额（万元）的频数分布表如下： （1）将频率视为概率，估计该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于 5000 元的概率 （2）把购买六类高价商品的金额不低于 5000 元的中年人称为“高收入人群”，根据已知条件完成 22 列联 表，并据此判断能否有 95%的把握认为“

9、高收入人群”与性别有关？ 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 参考附表： 【解析】（1） 该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于5000元的频数为80 50 10 90 60 30320， 该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于 5000 元的概率为： 32016 50025 P （2）根据频数分布表得：高收入人群中女性有 140 人，男性有 180 人，非高收入人群中女性有 60 人，男 性有 120 人，完成列联表如下： 高收入人群 非高收入人群 合计 女 140 60 200 男 180 120 300 合计 320

10、 180 500 根据列联表中的数据，计算得 2 2 500 (140 12060 180) 5.2083.841 200 300 180 320 K ， 故有 95%的把握认为“高收入人群”与性别有关 20 （本小题满分 12 分） 已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴的正半轴上，过点F的直线l与抛物线相交于A，B两 点，且满足 3 . 4 OA OB （1）求抛物线C的方程； （2）若P是抛物线C上的动点，点,M N在x轴上，圆 22 11xy（）内切于PMN，求PMN面积 的最小值 【解析】 （1）由题意，设抛物线 C 的方程为 2 2(0)xpy p，则焦点 F 的坐标为0 2

11、 p （ ， ） 设直线l的方程为 1122 2 p ykxA xyB xy， 联立方程得 2 2 2 xpy p ykx ，消去y得 22222 20,440 xpkxpp kp ， 2 2 121212 2. 4 p xxpkx xpy y ， 1212 3 4 OA OBx xy y ，1.p 故抛物线的方程为 2 2xy (2)设 0000 000P xyx yM mN n,，易知点MN,的横坐标与P的横坐标均不相同，不妨设 mn ，易得直线 PM 的方程为 0 0 y yxm xm 化简得 000 0y xxm ymy， 又圆心（0，1）到直线 PM 的距离为 1， 00 2 2 0

12、0 1 xmmy yxm ， 22 222 000000 2xmyxmmyxmm y， 不难发现 0 2y ，故上式可化为 2 000 220ymx my，同理可得 2 000 220ynx ny， ,m n 可以看作是 2 000 220ytx ty的两个实数根，则 00 00 2 22 xy mnmn yy , 22 22 000 2 0 448 4. 2 xyy mnmnmn y 00 P xy，是抛物线 C 上的点， 2 00 2xy，则 2 2 0 2 0 4 2 y mn y ， 又 0 2y ， 0 0 2 , 2 y mn y 从而 0 2 0 000 000 14 24 22

13、22 PMN y y Smn yyy yyy 0 0 4 2248 2 y y ， 当且仅当 2 0 24y 时取得等号，此时 00 4,2 2yx ，故PMN 面积的最小值为 8 21 （本小题满分 12 分） 已知函数( )2(12 )ln a f xxax x （1）讨论 ( )f x的单调性； （2）如果方程 ( )f xm 有两个不相等的解 12 ,x x，且 12 xx，证明： 12 0 2 xx f 【解析】 （1） 2 222 122(12 )()(21) ( )2(0) aaxa xaxax fxx xxxx 当0a时，(0,),( )0,( )xfxf x 单调递增； 当0

14、a 时，(0, ),( )0,( )xafxf x 单调递减； ( ,),( )0,( )xafxf x 单调递增 综上：当0a时， ( )f x在(0,)单调递增； 当0a 时， ( )f x在(0, )a单调递减，在( ,)a 单调递增 （2）由（1）知， 当0a时， ( )f x在(0,)单调递增，( )f xm 至多一个根，不符合题意； 当0a 时， ( )f x在(0, )a单调递减，在( ,)a 单调递增，则 ( )0fa 不妨设 12 0 xax，要证 12 0 2 xx f ，即证 12 2 xx a ，即证 12 2xxa，即证 21 2xax ( )f x在( ,)a 单调

15、递增，即证 21 2f xfax， 21 f xf x，即证 11 2f xfax，即证()()f axf ax 令( )()()g xf axf ax 2()(12 )ln()2()(12 )ln() aa axaaxaxaax axax 4(12 )ln()(12 )ln() aa xaaxaax axax ， 22 1212 ( )4 ()() aaaa g x axaxaxax 22222 222222 24 2 (12 ) 4 () ()() () a axxxaa aa axaxaxaxax 当(0, )xa时，( )0, ( )g xg x 单调递减，又(0)(0)(0)0gf

16、af a，(0, )xa时， ( )(0)0g xg，即()()f axf ax，即( )(2)f xfax 又 1 (0, )xa， 11 2f xfax， 12 0 2 xx f 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分记分 22选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 3 4 2 1 2 xt yt （t为参数） 以坐标原点为极点，x轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 53cos2 （1）在曲线 1 C上任取

17、一点Q，连接OQ，在射线OQ上取一点P，使4OP OQ ，求P点轨迹的极坐 标方程； （2）在曲线 1 C上任取一点M，在曲线 2 C上任取一点N，求MN的最小值 【解析】 （1）曲线 1 C的参数方程为 3 4 2 1 2 xt yt （t为参数） ， 1 C化为普通方程为 340 xy，故 1 C的极坐标方程为cos2 3 ， 设 00 ,QP ，则 0 0 4, ，即 0 0 4 ， 00 cos2 3 ， 4 cos2 3 ， P点轨迹的极坐标方程为2cos0 3 （2）曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 53cos2 ， 2 C化为直角坐标方程为 2 2 1 4 x y 故 2 C可

18、化为参数方程为 2cos sin x y （为参数） ， MN的最小值为椭圆 2 C上的点N到直线 1 C距离的最小值 设2cos ,sinN，则 2cos3sin47sin4 47sin 222 a a d min 47 2 d ， min 47 2 MN 23选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知函数 2f xxxt（0t ）的最小值为 2 （）求不等式 48f xx的解集； （）若 222 5 235 2 abct，求23acbc的最大值 【解析】 （） 2222xxtxxtt，4t （0t 舍去） ， 103 ,2 2246,24 310,4 x x f xxtxxxx xx ， 当2x时，令1038x，得 2 3 x ， 2 3 x ； 当24x时，令68x，得2x，无解； 当4x 时，令3108x，得6x，6x 不等式的解集为 2 | 6 3 x xx 或 （） 222 23510abc ， 2222222 102352346abcacbcacbc， 2 35acbc ，当且仅当 1abc 时等号成立，2 3acbc 的最大值为 5.