2020届高三数学(理)“大题精练”9.docx
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1、 2020 届高三数学(理) “大题精练”9 17在平面四边形ABCD中, 3 ABC , 2 ADC ,2BC . (1)若ABC的面积为 3 3 2 ,求AC; (2)若 2 3AD , 3 ACBACD ,求tanACD. 18如图,等腰梯形ABCD中,/ABCD,1ADABBC, 2CD ,E为CD 中点,以AE为折痕把ADE折起,使点D到达点P的位置(P平面ABCE). ()证明:AEPB; ()若直线PB与平面ABCE所成的角为 4 ,求二面角APEC的余弦值. 19为发挥体育核心素养的独特育人价值,越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生 的必修课程.惠州市某中学计划在高一年级开设
2、游泳课程,为了解学生对游泳的兴趣, 某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了 100 人进行调查. (1)已知在被抽取的学生中高一 1班学生有 6 名,其中 3 名对游泳感兴趣,现在从这 6 名学生中随机抽取 3 人,求至少有 2 人对游泳感兴趣的概率; (2)该研究性学习小组在调查中发现,对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级 以上游泳比赛中获奖,具体获奖人数如下表所示.若从高一 8班和高一 9班获奖学生 中随机各抽取 2 人进行跟踪调查,记选中的 4 人中市级以上游泳比赛获奖的人数为, 求随机变量的分布列及数学期望. 班级 一 1 一 2 一 3 一 4 一 5 一 6 一 7
3、一 8 一 9 一 10 市级 比赛获奖人数 2 2 3 3 4 4 3 3 4 2 市级以上 比赛获奖人数 2 2 1 0 2 3 3 2 1 2 20在平面直角坐标系xOy中,已知过点4,0D的直线l与椭圆 2 2 :1 4 x Cy交于 不同的两点 11 ,A x y, 22 ,B xy,其中 12 0y y . (1)若 1 0 x ,求OAB的面积; (2)在 x 轴上是否存在定点 T,使得直线 TA、TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角 形. 21已知实数0a ,设函数 eaxf xax (1)求函数 f x的单调区间; (2)当 1 2 a 时,若对任意的1,x ,均有 2
4、 1 2 a f xx,求a的取值范围 注:e2.71828为自然对数的底数 22在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐 标系,曲线M的极坐标方程为2cos,若极坐标系内异于O的三点 1, A , 2, 6 B , 3123 ,0 6 ,C 都在曲线M上. (1)求证: 123 3; (2) 若过B,C两点直线的参数方程为 3 2 2 1 2 xt yt (t为参数) , 求四边形OBAC的 面积. 23已知函数( ) 24f xxx. (1)求不等式( )3f xx的解集; (2)若( )(1)f xk x对任意xR恒成立,求k的取值范围. 2020 届高三
5、数学(理) “大题精练”9(答案解析) 17在平面四边形ABCD中, 3 ABC , 2 ADC ,2BC . (1)若ABC的面积为 3 3 2 ,求AC; (2)若 2 3AD , 3 ACBACD ,求tanACD. 【解】 (1)在ABC中,因为2BC , 3 ABC , 13 3 sin 22 ABC SAB BCABC , 所以 33 3 22 AB ,解得:3AB . 在ABC中,由余弦定理得: 222 2?cos7ACABBCAB BCABC 所以7AC (2)设ACD,则 33 ACBACD 如图, 在Rt ACD中,因为2 3AD ,所以 2 3 sinsin AD AC
6、在ABC中, 3 BACACBABC , 由正弦定理,得 sinsin BCAC BACABC ,即 22 3 3 sin sin 3 2 所以2sinsin 3 所以 31 2cossinsin 22 ,即3cos2sin 所以 3 tan 2 ,即 3 tan 2 ACD 18如图,等腰梯形ABCD中,/ABCD,1ADABBC, 2CD ,E为CD 中点,以AE为折痕把ADE折起,使点D到达点P的位置(P平面ABCE). ()证明:AEPB; ()若直线PB与平面ABCE所成的角为 4 ,求二面角APEC的余弦值. 【解】 (I)证明:在等腰梯形 ABCD 中,连接 BD,交 AE 于点
7、 O, AB|CE,AB=CE,四边形 ABCE 为平行四边形,AE=BC=AD=DE, ADE 为等边三角形,在等腰梯形 ABCD 中, 3 CADE , 2 3 DABABC , 在等腰ADB中, 6 ADBABD 2 362 DBC ,即 BDBC, BDAE, 翻折后可得: OPAE,OBAE, 又,OPPOB OBPOB OPOBO平面平面, AEPOB 平面, ,PBPOBAEPB平面; (II)解:在平面 POB 内作 PQOB,垂足为 Q, 因为 AE平面 POB,AEPQ, 因为 OB平面 ABCE, AE平面 ABCE,AEOB=O PQ平面 ABCE,直线 PB 与平面
8、ABCE 夹角为 4 PBQ , 又因为 OP=OB,OPOB, O、Q 两点重合,即 OP平面 ABCE, 以 O 为原点,OE 为 x 轴,OB 为 y 轴,OP 为 z 轴,建立空间直角坐标系,由题意得, 各点坐标为 3131313 (0,0,),( ,0,0),(0,0),( ,0,),( ,0) 2222222 PECPEEC , 设平面 PCE 的一个法向量为 1 ( , , )nx y z, 则 1 1 13 0 0 22 , 0 13 0 22 xz PE n EC n xy 设3x ,则 y=-1,z=1, 1 ( 3,-1,1)n , 由题意得平面 PAE 的一个法向量 2
9、 (0,1,0)n , 设二面角 A-EP-C 为, 12 12 |15 |cos |= 5|5 n n nn . 易知二面角 A-EP-C 为钝角,所以 5 cos=- 5 . 19为发挥体育核心素养的独特育人价值,越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生 的必修课程.惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程,为了解学生对游泳的兴趣, 某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了 100 人进行调查. (1)已知在被抽取的学生中高一 1班学生有 6 名,其中 3 名对游泳感兴趣,现在从这 6 名学生中随机抽取 3 人,求至少有 2 人对游泳感兴趣的概率; (2)该研究性学习小组在调查中发现,
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