2020届高三数学（文）“大题精练”5.docx

1、 2020 届高三数学（文） “大题精练”5 17 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a满足 1 1a ， 1 21 nn aS ，其中 n S为 n a的前n项和， * nN （1）求 n a； （2）若数列 n b满足 3 1log nn ba ，求 1 22 320172018 111 bbb bbb 的值 18 （本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC中，D是棱AB的中点 （1）证明： 1/ BC平面 1 ACD （2）若E是棱 1 BB上的任意一点，且三棱柱 111 ABCABC的体积为12，求三棱锥 1 AACE的体积 19 （本小题满分 12 分） 某

2、县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况， 利用假期进行了一次全县成年人 安全知识抽样调查已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分 层抽样的方法抽取了 100 名成年人， 然后对这 100 人进行问卷调查， 所得分数的频率分布直 方图如下图所示规定分数在 80 以上（含 80）的为“安全意识优秀” 拥有驾驶证 没有驾驶证 合计 得分优秀 得分不优秀 25 合计 100 （1）补全上面22的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥 有驾驶证”有关？ （2）若规定参加调查的 100 人中分数在 70 以上（含 70）的为“安全意识优良”，从参加调

3、 查的 100 人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出 5 人，再从 5 人中随机抽取 3 人，试求抽取的 3 人中恰有一人为“安全意识优良”的概率 附表及公式： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中nabcd 2 P Kk 015 010 005 0025 0010 0005 0001 k 2072 2706 3841 5024 6635 7879 10828 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的左右顶点分别为 ,0Aa，,0B a，点P是椭圆 C上异于A、B的任意一点，设直线PA，PB的斜率分别为 1 k、 2 k，且

4、12 1 3 k k ，椭 圆的焦距长为 4 （1）求椭圆C的离心率； （2） 过右焦点F且倾斜角为30的直线l交椭圆C于M、N两点， 分别记ABM，ABN 的面积为 1 S、 2 S，求 12 SS的值 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 22 11 2ln1ln2 42 f xxxaxxx （1）讨论 f x的单调性 （2） 试问是否存在,ae ， 使得 1 3sin 44 a f x 对1,x恒成立？若存在， 求a的取值范围；若不存在，请说明理由 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22

5、选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 已知曲线C的极坐标方程是1，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐 标系，直线l的参数方程 2 2 2 2 2 2 xt yt （t为参数） （1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）设曲线C经过伸缩变换 2 xy yy 得到曲线C，设曲线C上任一点为, M x y，求 点M到直线l距离的最大值 23选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知关于 x 的不等式 2 |25| 5xaxa （1）当1a 时，求不等式的解集； （2）若该不等式有实数解，求实数 a 的取值范围 2020 届高三数学（文） “

6、大题精练”5（答案解析） 17 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a满足 1 1a ， 1 21 nn aS ，其中 n S为 n a的前n项和， * nN （1）求 n a； （2）若数列 n b满足 3 1log nn ba ，求 1 22 320172018 111 bbb bbb 的值 【解析】 （1） 1 21 nn aS ， 1 21 nn aS ， 2n，两式相减得 11 2,3,2 nnnnn aaa aa n ， 注意到 1 1a ， 211 2133aSa ，于是 1 1,3 nn naa ，所以 1 3n n a （2） n bn，于是 1 1111 11 n n

7、b bn nnn ， 所以 1 22 320172018 111111112017 1 223201720182018bbb bbb 18 （本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC中，D是棱AB的中点 （1）证明： 1/ BC平面 1 ACD （2）若E是棱 1 BB上的任意一点，且三棱柱 111 ABCABC的体积为12，求三棱锥 1 AACE的体积 【解析】 （1）连接 1 AC交 1 AC于点O，连接OD 因为四边形 11 AAC C是平行四边形，所以O是 1 AC的中点 因为D是AB的中点，所以 1 /OD BC 又OD平面 1 ACD， 1 BC 平面 1 AC

8、D，所以 1/ BC平面 1 ACD （2）设三棱柱 111 ABCABC的高为h，底面 ABC的面积为S， 则三棱柱 111 ABCABC的体积 12VS h 又 111 A ACEC AAEC ABA VVV ， 11 1 3 C ABAAABC VVSh ，所以 1 1 124 3 A ACE V 19 （本小题满分 12 分） 某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况， 利用假期进行了一次全县成年人 安全知识抽样调查已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分 层抽样的方法抽取了 100 名成年人， 然后对这 100 人进行问卷调查， 所得分数的频率分布直

9、方图如下图所示规定分数在 80 以上（含 80）的为“安全意识优秀” 拥有驾驶证 没有驾驶证 合计 得分优秀 得分不优秀 25 合计 100 （1）补全上面22的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥 有驾驶证”有关？ （2）若规定参加调查的 100 人中分数在 70 以上（含 70）的为“安全意识优良”，从参加调 查的 100 人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出 5 人，再从 5 人中随机抽取 3 人，试求抽取的 3 人中恰有一人为“安全意识优良”的概率 附表及公式： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中nabcd 2 P Kk 015 01

10、0 005 0025 0010 0005 0001 k 2072 2706 3841 5024 6635 7879 10828 【解析】 （1）由题意可知拥有驾驶证的人数为：100 40%40人，则拥有驾驶证且得分 为优秀的人数为：402515人，由频率分布直方图知得分优秀的人数为： 100 100.0150.00520人，没有驾驶证且得分优秀的人数为：20 155人， 则没有驾驶证且得分不优秀的人数为：10040 555 人，可得列联表如下： 拥有驾驶证 没有驾驶证 合计 得分优秀 15 5 20 得分不优秀 25 55 80 合计 40 60 100 2 2 10015 5525 5122

11、5 126.635 40 60 20 8096 K ， 有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关 （2）由频率分布直方图可求得70以上（含70）的人数为： 1000.0200.0150.0051040， 按分层抽样的方法抽出5人时，“安全意识优良”的有2人，记为1,2； 其余的3人记为, ,a b c，从中随机抽取3人，基本事件有：1,2,a，1,2,b，1,2,c， 1, , a b，1, , a c，1, , b c，2, , a b，2, , a c，2, , b c， , ,a b c共10个，恰有一人 为“安全意识优良”的事件有6个，恰有一人为“安全意识优良”的概率

12、为： 63 105 P ， 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的左右顶点分别为 ,0Aa，,0B a，点P是椭圆 C上异于A、B的任意一点，设直线PA，PB的斜率分别为 1 k、 2 k，且 12 1 3 k k ，椭 圆的焦距长为 4 （1）求椭圆C的离心率； （2） 过右焦点F且倾斜角为30的直线l交椭圆C于M、N两点， 分别记ABM，ABN 的面积为 1 S、 2 S，求 12 SS的值 【解析】 （1）设点 000 ,P x yxa ，则 22 00 22 1 xy ab ， 2 000 12 22 000 1 3 yyy kk xa x

13、axa ， 联立得 2222 0 30baxa， 22 0 3aabx ， 222 2 22 12 1 33 ab e aa c ， 6 3 e （2）由题意知，24c ，即2c ， 由（1）知， 22 3ab=， 2222 4abcb， 2 2b ， 2 6a ，椭圆C的方程为： 22 1 62 xy 由已知得l： 3 2 3 yx，联立 22 3 2 3 1 62 yx xy ，可得 2 210 xx 设 11 ,M x y， 22 ,N xy，根据韦达定理，得 12 2xx， 于是 121212 134 2 663 233 SSyyxx 2 362 2 3 21 （本小题满分 12 分）

14、 已知函数 22 11 2ln1ln2 42 f xxxaxxx （1）讨论 f x的单调性 （2） 试问是否存在,ae ， 使得 1 3sin 44 a f x 对1,x恒成立？若存在， 求a的取值范围；若不存在，请说明理由 【解析】 （1） lnlnln1fxxxaxaxxax ，0,x 当a e 时， ln10fxxex ， f x在0,上单调递增； 当0a 时，0 xa， f x在0,e上单调递减，在, e 上单调递增； 当0ae时， f x在, a e上单调递减，在0,a，, e 上单调递增； 当a e 时， f x在, e a上单调递减，在0,e，, a 上单调递增 （2）假设存在

15、,ae ，使得 1 3sin 44 a f x 对1,x恒成立 则 31 123sin 444 a fa ，即8sin150 4 a a ， 设 8sin15 4 x g xx ，则存在,xe ，使得 0g x ， 因为 8cos0 44 x gx ，所以 g x在,xe 上单调递增， 因为 20g，所以 0g x 时2x 即2a 又因为 1 3sin 44 a f x 对1,x恒成立时，需 min 1 3sin 44 a f x ， 所以由（1）得： 当a e 时， f x在1,上单调递增，所以 min 33 1 =2=2 44 f xfae， 且 31 23sin 444 e e 成立，从

16、而ae满足题意； 当2ea时， f x在, a e上单调递减，在1,a，, e 上单调递增， 所以 2 1 13sin, 44 1 3sin, 444 a f ea f eea 所以 2 2, 4sin120 4 a a eae （*） 设 2 4sin12 4 2 x h xexexe ， 4cos0 44 x h xe ， 则 h x在2,e 上单调递增， 因为 2 28130hee， 所以 h x的零点小于 2， 从而不等式组 （*） 的解集为2,， 所以2xe即2ea 综上，存在,ae ，使得 1 3sin 44 a f x 对1,x恒成立，且a的取值范围 为2,e 请考生在第请考生在

17、第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 已知曲线C的极坐标方程是1，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐 标系，直线l的参数方程 2 2 2 2 2 2 xt yt （t为参数） （1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）设曲线C经过伸缩变换 2 xy yy 得到曲线C，设曲线C上任一点为, M x y，求 点M到直线l距离的最大值 【解析】 （1）直线l的普通方程：40 xy，曲线C的直角坐标方程： 22 1xy （2）曲线C： 2

18、 2 1 4 x y，设 2cos ,sinM， 5sin4 2cossin4 22 d ， 其中为辅助角， 当sin1 时，d 取最大值为 104 2 2 23选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知关于 x 的不等式 2 |25| 5xaxa （1）当1a 时，求不等式的解集； （2）若该不等式有实数解，求实数 a 的取值范围 【解析】 （1）当1a 时，令( ) |1|3| 5g xxx， 当1x 时，( )225g xx ，解得 3 1 2 x ； 当13x 时，( )45g x ，不等式恒成立； 当3x 时，( )225g xx，解得 7 3 2 x 综上所述，不等式的解集为 3 7 , 2 2 x （2） 222 |25|2525xaxaxaxaaa，所以 2 255aa， 即 2 5255aa ，解得 0,2a