2020届高三数学（理）“大题精练”14.docx

1、 2020 届高三数学（理） “大题精练”14 17商品的销售价格与销售量密切相关，为更精准地为商品确定最终售价，商家对商品 A 按以下单价进行试售，得到部分的数据如下： 单价x（元） 15 16 17 18 19 销量y（件） 60 58 55 53 49 （1）求销量y关于x的线性回归方程； （2）预计今后的销售中，销量与单价服从（1）中的线性回归方程，已知每件商品A的 成本是10元，为了获得最大利润，商品A的单价应定为多少元？（结果保留整数） （参考数据： 5 1 275 i i y ， 5 1 4648 ii i x y ， 5 2 1 1455 i i x ） （参考公式： 11 2

2、 2 2 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxnx ，aybx $ ） 18在ABC中，设角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知 222 cossincossinsinABCAB . （1）求角C的大小； （2）若3c ，求ABC周长的取值范围. 19 如图所示， 四棱锥SABCD中，SA底面ABCD，90ABC，60ACD ， ACAD，2SA， 3AB ，1BC （1）求证：/BC平面SAD； （2）求直线SD与平面SBC所成角的正弦值 20设椭圆 22 22 :10,0 xy Cab ab ，离心率 2 2 e ，短轴22 10b

3、 ，抛物线顶 点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点为0,1， （1）求椭圆和抛物线的方程； （2） 设坐标原点为O,A为抛物线上第一象限内的点，B为椭圆是一点， 且有OAOB， 当线段AB的中点在 轴上时，求直线AB的方程 21已知函数 lnf xxxax a R （1）求函数 f x的单调区间； （2）若 0f xa恒成立，求a的值. 22选修 4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系xOy中，曲线 1 cos : 1 sin xt C yt （t为 参数） ，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标 方程为2cos3 3 3 . （1）求曲线 1 C的极坐标方程

4、； （2）已知点2,0M，直线l的极坐标方程为 6 ，它与曲线 1 C的交点为O，P， 与曲线 2 C的交点为Q，求MPQ的面积. 23已知 11f xxax . （1）当1a 时，求不等式 1f x 的解集； （2）若0,1x时不等式 f xx成立，求a的取值范围. 2020 届高三数学（理） “大题精练”14（答案解析） 17商品的销售价格与销售量密切相关，为更精准地为商品确定最终售价，商家对商品 A 按以下单价进行试售，得到部分的数据如下： 单价x（元） 15 16 17 18 19 销量y（件） 60 58 55 53 49 （1）求销量y关于x的线性回归方程； （2）预计今后的销售中

5、，销量与单价服从（1）中的线性回归方程，已知每件商品A的 成本是10元，为了获得最大利润，商品A的单价应定为多少元？（结果保留整数） （参考数据： 5 1 275 i i y ， 5 1 4648 ii i x y ， 5 2 1 1455 i i x ） （参考公式： 11 2 2 2 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxnx ，aybx $ ） 【解】 （1） 1 15 16 17 18 1917 5 x ， 5 1 1 27555 5 i i yy ， 2 1 2 2 1 46485 17 55 2.7 14555 17 n n i i ii i

6、 x x ynxy b nx ， 552.717100.9aybx . 销量y关于x的线性回归方程为2.7100.9yx ； （2）设商品A的单价应定为x元，则利润 2 2.7100.9102.799.9wxxxxx ， 当 99.9 18.519 5.4 x 时，获得的利润最大 18在ABC中，设角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知 222 cossincossinsinABCAB . （1）求角C的大小； （2）若3c ，求ABC周长的取值范围. 【解】 （1）由题意知 222 1 sinsin1 sinsin sinABCAB ， 即 222 sinsinsinsin

7、sinABCAB ， 由正弦定理得 222 abcab 由余弦定理得 222 1 cos 222 abcab C abab ， 又 2 0, 3 CC . （2） 3 2,2sin ,2sin 2 sinsinsin sin 3 abc aA bB ABC ， 则ABC的周长 2 sinsin32 sinsin32sin3 33 LabcABAAA . 23 0,sin1 333323 AAA ， 2 32sin323 3 A ， ABC周长的取值范围是2 3,23 . 19 如图所示， 四棱锥SABCD中，SA底面ABCD，90ABC，60ACD ， ACAD，2SA， 3AB ， 1BC

8、（1）求证：/BC平面SAD； （2）求直线SD与平面SBC所成角的正弦值 【解】 （1）证明：在Rt ABC中， 1BC ，3AB ， 13 tan 33 BAC，则30BAC， 在ACD中，由ACAD，60ACD，得60CAD o ，90BAD， 又90ABC，/BC AD， BC 平面SAD，AD 平面SAD，/BC平面SAD； （2）由SA底面ABCD，ABAD， 以A为坐标原点，分别以AB、AD、AS所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标 系， 2SAQ，3AB ，1BC ， 得3 , 0 , 0B、3,1,0C、0,0,2S、0,2,0D， 3,0, 2SB ，0,1,0BC ，0

9、,2, 2SD ， 设平面SBC的一个法向量为, ,nx y z r ， 由 320 0 n SBxz n BCy ，取3z ，得2,0, 3n ， 设直线SD与平面SBC所成角为， 则 2 342 sincos, 147 2 2 n SD n SD nSD 因此，直线SD与平面SBC所成角的正弦值为 42 14 . 20设椭圆 22 22 :10,0 xy Cab ab ，离心率 2 2 e ，短轴22 10b ，抛物线顶 点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点为0,1， （1）求椭圆和抛物线的方程； （2） 设坐标原点为O,A为抛物线上第一象限内的点，B为椭圆是一点， 且有OAOB， 当线段AB

10、的中点在 轴上时，求直线AB的方程 【解】(1) 由 2 2 e 得2ac，又有10b ，代入 222 abc ，解得2 5a 所以椭圆方程为 22 1 2010 yx 由抛物线的焦点为0,1得，抛物线焦点在y轴，且1 2 p ， 抛物线的方程为： 2 4xy (2)由题意点A位于第一象限，可知直线OA的斜率一定存在且大于0 设直线OA方程为：ykx，0k 联立方程 2 4 ykx xy 得： 2 4xkx，可知点A的横坐标 4 A xk，即 2 4 ,4Akk 因为OAOB，可设直线OB方程为： 1 yx k 连立方程 22 1 1 2010 yx k yx 得： 2 2 2 20 12 k

11、 x k ，从而得 2 2 20 12 k x k 若线段AB的中点在y轴上，可知 2 2 20 12 B k x k ，即 2 22 2020 , 1212 k B kk 有 2 2 20 4 12 k k k ，且0k ，解得 2 4 k 从而得 1 2, 2 A ，2,4B 直线AB的方程：7 28180 xy 21已知函数 lnf xxx ax aR （1）求函数 f x的单调区间； （2）若 0f xa恒成立，求a的值. 【解】 （1）依题意， ln1fxxa ，令 0fx ，解得ln1xa，故 1a xe ， 故当 1 0, a xe 时， 函数 f x单调递减， 当 1,a xe

12、 时， 函数 f x单调递增； 故函数 f x的单调减区间为 1 0, a e ，单调增区间为 1,a e （2） ln1g xx xa x，其中0 x ， 由题意知 0g x 在0,上恒成立， ln1gxxa ， 由（1）可知， 1 min a g xg xg e 极小 111 11 aaa aea eae ， 1 0 a ae ，记 1a G aae ，则 1 1 a G ae ，令 0G a，得1a 当a变化时， G a ， G a的变化情况列表如下： a ,1 1 1, G a + 0 - G a 极大值 max 10G aG aG 极大 ，故 1 0 a ae ，当且仅当1a 时取等

13、号， 又 1 0 a ae ，从而得到1a 22选修 4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系xOy中，曲线 1 cos : 1 sin xt C yt （t为 参数） ，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标 方程为2cos3 3 3 . （1）求曲线 1 C的极坐标方程； （2）已知点2,0M，直线l的极坐标方程为 6 ，它与曲线 1 C的交点为O，P， 与曲线 2 C的交点为Q，求MPQ的面积. 【解】 （1） 1 cos : 1 sin xt C yt ， 其普通方程为 2 2 11xy，化为极坐标方程为 1: 2sinC （2）联立 1 C与l的极坐

14、标方程： 2sin 6 ，解得P点极坐标为1, 6 联立 2 C与l的极坐标方程： 2 cos3 3 3 6 ，解得Q点极坐标为3, 6 ，所 以2PQ ，又点M到直线l的距离2sin1 6 d ， 故MPQ的面积 1 1 2 SPQ d. 23已知 11f xxax . （1）当1a 时，求不等式 1f x 的解集； （2）若0,1x时不等式 f xx成立，求a的取值范围. 【解】 （1）当1a 时， 11f xxx ，即 2,1, 2 , 11, 2,1. x f xxx x 故不等式 1f x 的解集为 1 2 x x （2）当0,1x时11xaxx 成立等价于当0,1x时11ax成立 若0a，则当0,1x时11ax； 若0a ，11ax的解集为 2 0 x a ，所以 2 1 a ，故02a 综上，a的取值范围为0,2