2020届高三数学（文）“大题精练”1.docx

1、 2020 届高三数学（文） “大题精练”1 17.已知ABC中， 角A、B、C所对的边分别为a、b、c， sin2sinABA，5b ，3ACMC， 2ABMCBM . （1）求ABC的大小； （2）求ABC的面积. 18.某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了 80 名学生，调查他们每周运动的总时长 （单位：小时） ，按照0,5),5,10),10,15),15,20),20,25),25,30共 6 组进行统计，得到男生、女生每 周运动的时长的统计如下（表 1、2） ，规定每周运动 15 小时以上（含 15 小时）的称为“运动合格者”，其中 每周运动 25 小时以上（含

2、 25 小时）的称为“运动达人”. 表 1：男生 时长 0,5) 5,10) 10,15) 15,20) 20,25) 25,30 人数 2 8 16 8 4 2 表 2：女生 时长 0,5) 5,10) 10,15) 15,20) 20,25) 25,30 人数 0 4 12 12 8 4 （1）从每周运动时长不小于 20 小时的男生中随机选取 2 人，求选到“运动达人”的概率； （2）根据题目条件，完成下面22列联表，并判断能否有 99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者” 与性别有关. 每周运动的时长小于 15 小时 每周运动的时长不小于 15 小时 总计 男生 女生 总计 参考公式

3、： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd . 参考数据： 2 0 P Kk 0.40 0.25 0.10 0.010 0 k 0.708 1.323 2.706 6.635 19.在矩形ABCD中， 1,2ABBC，E为AD的中点，如图 1，将 ABE沿BE折起，使得点A到达 点P的位置（如图 2） ，且平面PBE 平面BCDE （1）证明：PB 平面PEC； （2）若M为PB的中点，N为PC的中点，求三棱锥MCDN的体积. 20.已知过圆 1 C： 22 1xy上一点 13 , 22 E 的切线，交坐标轴于A、B两点，且A、B恰好分别为椭

4、 圆 2 C： 22 22 10 xy ab ab 的上顶点和右顶点. （1）求椭圆 2 C的方程； （2）已知P为椭圆的左顶点，过点P作直线PM、PN分别交椭圆于M、N两点，若直线MN过定点 1,0Q ，求证：PMPN. 21.已知函数( )1 x u xex，且( )e( ) x f xu x. （1）求( )u x的最小值； （2）证明： ( )f x存在唯一极大值点 0 x，且 0 1 4 f x. 22选修 4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴， 建立极坐标系， 并在两种坐标系中取相同的长度单位. 已知直线l的参数方程为 3 5 2 1 3 2 x

5、t yt （t为参数） ，圆C的极坐标方程为4cos 3 . （1）求直线l的倾斜角和圆C的直角坐标方程； （2）若点( , )P x y在圆C上，求3xy的取值范围. 23选修 45：不等式选讲 已知函数( )71.f xxx （1）求不等式2( )10 xf x的解集； （2）设 x表示不大于x的最大整数，若 ( )9f x 对 ,9xa a恒成立，求a的取值范围. 2020 届高三数学（文） “大题精练”1（答案解析） 17.已知ABC中， 角A、B、C所对的边分别为a、b、c， sin2sinABA，5b ，3ACMC， 2ABMCBM . （1）求ABC的大小； （2）求ABC的面积

6、. 【解】 （1）因为 3ACMC ，所以点M在线段AC上，且2AMCM，故 1 2 BMC BMA SCM SAM ， 记CBM，则 1 sin 2 BMC SBC BM ， 1 sin2 2 BMA SAB BM . 因为sin2sinABA，即sin 2sinCA ，即 2ABBC ， 结合式，得 sin11 222sincos2 2cos BMC BMA SBC BM SBC BM ，可得 2 cos 2 . 因为0,，所以 4 ，所以 3 3 4 ABC ； （2）在ABC中，由余弦定理可得 222 2cosbacacABC， 即 2 2 2 25222 2 aaaa，解得5a .

7、故 1135 sin2sin 2242 ABC SacABCaa . 18.某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了 80 名学生，调查他们每周运动的总时长 （单位：小时） ，按照0,5),5,10),10,15),15,20),20,25),25,30共 6 组进行统计，得到男生、女生每 周运动的时长的统计如下（表 1、2） ，规定每周运动 15 小时以上（含 15 小时）的称为“运动合格者”，其中 每周运动 25 小时以上（含 25 小时）的称为“运动达人”. 表 1：男生 时长 0,5) 5,10) 10,15) 15,20) 20,25) 25,30 人数 2 8 16

8、 8 4 2 表 2：女生 时长 0,5) 5,10) 10,15) 15,20) 20,25) 25,30 人数 0 4 12 12 8 4 （1）从每周运动时长不小于 20 小时的男生中随机选取 2 人，求选到“运动达人”的概率； （2）根据题目条件，完成下面22列联表，并判断能否有 99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者” 与性别有关. 每周运动的时长小于 15 小时 每周运动的时长不小于 15 小时 总计 男生 女生 总计 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd . 参考数据： 2 0 P Kk 0.40 0.25

9、0.10 0.010 0 k 0.708 1.323 2.706 6.635 【解】 （1）每周运动的时长在20,25)中的男生有 4 人，在25,30中的男生有 2 人，则共有 2 6 15C 个 基本事件，其中25,30中至少有 1 人被抽到的可能结果有 11 4 2 22 9CCC个，所以抽到“运动 达人”的概率为 93 155 ； （2）每周运动的时长小于 15 小时的男生有 26 人，女生有 16 人；每周运动的时长不小于 15 小时的男 生有 14 人，女生有 24 人. 可得下列22列联表： 每周运动的时长小于 15 小时 每周运动的时长不小于 15 小时 总计 男生 26 14

10、 40 女生 16 24 40 总计 42 38 80 2 2 80 (26 24 14 16) 40 40 42 38 K 2000 66.635 399 ， 所以没有 99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关. 19.在矩形ABCD中， 1,2ABBC，E为AD的中点，如图 1，将 ABE沿BE折起，使得点A到达 点P的位置（如图 2） ，且平面PBE 平面BCDE （1）证明：PB 平面PEC； （2）若M为PB的中点，N为PC的中点，求三棱锥MCDN的体积. 【解】 （1）证明：由题意，易得2,2BECEBC， 222 BECEBC即BECE， 又平面PBE 平面BCD

11、E，交线为BECE 平面PBECEPB 又PBPEPB 平面PEC （2）取BE中点O，连接PO，PBPEPOBE， 2 2 PO 又平面PBE 平面BCDE，交线为BEPO 平面BCDE M为PB的中点，N为PC的中点 11111122 2 1 244432224 M CDNMPCDB PCDP BCD VVVV 20.已知过圆 1 C： 22 1xy上一点 13 , 22 E 的切线，交坐标轴于A、B两点，且A、B恰好分别为椭 圆 2 C： 22 22 10 xy ab ab 的上顶点和右顶点. （1）求椭圆 2 C的方程； （2）已知P为椭圆的左顶点，过点P作直线PM、PN分别交椭圆于M

12、、N两点，若直线MN过定点 1,0Q ，求证：PMPN. 【解】 （1）直线 OE l的方程为 3yx，则直线 AB l的斜率 3 3 AB k . 所以 AB l： 32 3 33 yx ，即 2 3 0, 3 A ，2,0B，椭圆方程为： 22 1 4 4 3 xy ； （2）当 MN k不存在时，1,1M ，1, 1N ， 因为 1,11, 10PM PN ，所以PM PN . 当 MN k存在时，设 11 ,M x y， 22 ,N xy， MN l：1yk x， 联立 22 1 1 4 4 3 yk x xy 得： 2222 1 36340kxk xk. 所以 2 12 2 6 1

13、3 k xx k ， 2 12 2 34 1 3 k x x k ，又已知左顶点P为2,0， 1122121212 2,2,24xyxyx xxxy yPM PN， 又 2 12121212 111y yk xk xkx xxx 2 2 3 1 3 k k ， 所以 222 222 34123 4 1 31 31 3 kkk PM PN kkk 2222 2 34 124 123 0 1 3 kkkk k ， 所以PM PN .综上PMPN得证. 21.已知函数( )1 x u xex，且( )e( ) x f xu x. （1）求( )u x的最小值； （2）证明： ( )f x存在唯一极大

14、值点 0 x，且 0 1 4 f x. 【解】 （1）( )1 x u xe，令( )0u x ，解得0 x . (,0)x ，( )0u x ，( )u x为减函数， (0,)x，( )0u x，( )u x为增函数. min( ) (0)0uxu （2） e2e2 xx fxx，构造函数 2e2 x g xx，则 2e1 x gx ， 令 0gx ，ln2x .故当ln2x 时，)(0g x ，当ln2x 时，( )0g x ， 则 g x在(, ln2) 上单调递减，在( ln2,)上单调递增， 又 00g， 2 2 20 e g ， 2 110 e g ， 结合零点存在性定理知，存在唯

15、一实数 0 ( 2, 1)x ，使得 0 0g x， 当 0 xx时， 0fx ，当 0 0 xx时， 0fx ，当 0 x 时， 0fx ， 故 f x在 0 ,x单调递增，在 0,0 x单调递减，在0,单调递增， 故 f x存在唯一极大值点 0 x，因为 0 00 2e20 x g xx，所以 00 e1 2 x x ， 故 00 00 000 e (e1)(1)(11) 22 xx xx f xxx 2 0 111 1 444 x 22选修 4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴， 建立极坐标系， 并在两种坐标系中取相同的长度单位. 已知直线l的参数方程

16、为 3 5 2 1 3 2 xt yt （t为参数） ，圆C的极坐标方程为4cos 3 . （1）求直线l的倾斜角和圆C的直角坐标方程； （2）若点( , )P x y在圆C上，求3xy的取值范围. 【解】 （1）由直线l的参数方程可知： 1 3 2 33 2 k ，直线l的倾斜角为 5 6 ； 将圆C的极坐标方程4cos() 3 ，化简得2cos2 3sin，两边乘得， 2 2 cos2 3 sin，将 222 xy，cosx，siny。 带入并化简整理可得圆C的直角坐标方程为 22 (1)(3)4xy . （2）圆的参数方程为， 1 2cos () 32sin x y 为参数，设 (12c

17、os , 32sin )P， 3xy =2 3sin2cos44sin()4 6 ，由1sin()1 6 可得， 038xy，即30,8xy . 23选修 45：不等式选讲 已知函数( )71.f xxx （1）求不等式2( )10 xf x的解集； （2）设 x表示不大于x的最大整数，若 ( )9f x 对 ,9xa a恒成立，求a的取值范围. 【解】 （1） 62 ,1, ( )8, 17, 26,7, x x f xx xx ，由( )2f xx得： 1, 622 , x xx 或 17, 82 , x x 或 7, 262 , x xx 解得4x ；由( )10f x ， 1, 621

18、0, x x 或 17, 810, x 或 7, 2610, x x 解得28x . 故不等式2( )10 xf x的解集为：( 2,4). （2）依题意可得 ( )9f x等价于( )10f x ，由（1）知 ( )9f x的解集为( 2,8) . 因为 ( )9f x对 ,9xa a恒成立，所以 ,9( 2,8)a a ， 所以 2, 98, a a 解得21a ，所以 a 的取值范围为( 2, 1). 17.已知ABC中， 角A、B、C所对的边分别为a、b、c， sin2sinABA，5b ，3ACMC， 2ABMCBM . （1）求ABC的大小； （2）求ABC的面积. 【解】 （1）

19、因为 3ACMC ，所以点M在线段AC上，且2AMCM，故 1 2 BMC BMA SCM SAM ， 记CBM，则 1 sin 2 BMC SBC BM ， 1 sin2 2 BMA SAB BM . 因为sin2sinABA，即sin 2sinCA ，即 2ABBC ， 结合式，得 sin11 222sincos2 2cos BMC BMA SBC BM SBC BM ，可得 2 cos 2 . 因为0,，所以 4 ，所以 3 3 4 ABC ； （2）在ABC中，由余弦定理可得 222 2cosbacacABC， 即 2 2 2 25222 2 aaaa，解得5a . 故 1135 si

20、n2sin 2242 ABC SacABCaa . 18.某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了 80 名学生，调查他们每周运动的总时长 （单位：小时） ，按照0,5),5,10),10,15),15,20),20,25),25,30共 6 组进行统计，得到男生、女生每 周运动的时长的统计如下（表 1、2） ，规定每周运动 15 小时以上（含 15 小时）的称为“运动合格者”，其中 每周运动 25 小时以上（含 25 小时）的称为“运动达人”. 表 1：男生 时长 0,5) 5,10) 10,15) 15,20) 20,25) 25,30 人数 2 8 16 8 4 2 表

21、2：女生 时长 0,5) 5,10) 10,15) 15,20) 20,25) 25,30 人数 0 4 12 12 8 4 （1）从每周运动时长不小于 20 小时的男生中随机选取 2 人，求选到“运动达人”的概率； （2）根据题目条件，完成下面22列联表，并判断能否有 99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者” 与性别有关. 每周运动的时长小于 15 小时 每周运动的时长不小于 15 小时 总计 男生 女生 总计 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd . 参考数据： 2 0 P Kk 0.40 0.25 0.10 0.01

22、0 0 k 0.708 1.323 2.706 6.635 【解】 （1）每周运动的时长在20,25)中的男生有 4 人，在25,30中的男生有 2 人，则共有 2 6 15C 个 基本事件，其中25,30中至少有 1 人被抽到的可能结果有 11 4 2 22 9CCC个，所以抽到“运动 达人”的概率为 93 155 ； （2）每周运动的时长小于 15 小时的男生有 26 人，女生有 16 人；每周运动的时长不小于 15 小时的男 生有 14 人，女生有 24 人. 可得下列22列联表： 每周运动的时长小于 15 小时 每周运动的时长不小于 15 小时 总计 男生 26 14 40 女生 16

23、 24 40 总计 42 38 80 2 2 80 (26 24 14 16) 40 40 42 38 K 2000 66.635 399 ， 所以没有 99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关. 19.在矩形ABCD中， 1,2ABBC，E为AD的中点，如图 1，将 ABE沿BE折起，使得点A到达 点P的位置（如图 2） ，且平面PBE 平面BCDE （1）证明：PB 平面PEC； （2）若M为PB的中点，N为PC的中点，求三棱锥MCDN的体积. 【解】 （1）证明：由题意，易得2,2BECEBC， 222 BECEBC 即BECE， 又平面PBE 平面BCDE，交线为BEC

24、E 平面PBECEPB 又PBPEPB 平面PEC （2）取BE中点O，连接PO，PBPEPOBE， 2 2 PO 又平面PBE 平面BCDE，交线为BEPO 平面BCDE M为PB的中点，N为PC的中点 11111122 2 1 244432224 M CDNMPCDB PCDP BCD VVVV 20.已知过圆 1 C： 22 1xy上一点 13 , 22 E 的切线，交坐标轴于A、B两点，且A、B恰好分别为椭 圆 2 C： 22 22 10 xy ab ab 的上顶点和右顶点. （1）求椭圆 2 C的方程； （2）已知P为椭圆的左顶点，过点P作直线PM、PN分别交椭圆于M、N两点，若直线

25、MN过定点 1,0Q ，求证：PMPN. 【解】 （1）直线 OE l的方程为 3yx，则直线 AB l的斜率 3 3 AB k . 所以 AB l： 32 3 33 yx ，即 2 3 0, 3 A ，2,0B，椭圆方程为： 22 1 4 4 3 xy ； （2）当 MN k不存在时，1,1M ，1, 1N ， 因为 1,11, 10PM PN ，所以PM PN . 当 MN k存在时，设 11 ,M x y， 22 ,N xy， MN l：1yk x， 联立 22 1 1 4 4 3 yk x xy 得： 2222 1 36340kxk xk. 所以 2 12 2 6 1 3 k xx k

26、 ， 2 12 2 34 1 3 k x x k ，又已知左顶点P为2,0， 1122121212 2,2,24xyxyx xxxy yPM PN， 又 2 12121212 111y yk xk xkx xxx 2 2 3 1 3 k k ， 所以 222 222 34123 4 1 31 31 3 kkk PM PN kkk 2222 2 34 124 123 0 1 3 kkkk k ， 所以PM PN .综上PMPN得证. 21.已知函数( )1 x u xex，且( )e( ) x f xu x. （1）求( )u x的最小值； （2）证明： ( )f x存在唯一极大值点 0 x，且

27、 0 1 4 f x. 【解】 （1）( )1 x u xe，令( )0u x ，解得0 x . (,0)x ，( )0u x ，( )u x为减函数， (0,)x，( )0u x，( )u x为增函数. min( ) (0)0uxu （2） e2e2 xx fxx，构造函数 2e2 x g xx，则 2e1 x gx ， 令 0gx ，ln2x .故当ln2x 时，)(0g x ，当ln2x 时，( )0g x ， 则 g x在(, ln2) 上单调递减，在( ln2,)上单调递增， 又 00g， 2 2 20 e g ， 2 110 e g ， 结合零点存在性定理知，存在唯一实数 0 (

28、2, 1)x ，使得 0 0g x， 当 0 xx时， 0fx ，当 0 0 xx时， 0fx ，当 0 x 时， 0fx ， 故 f x在 0 ,x单调递增，在 0,0 x单调递减，在0,单调递增， 故 f x存在唯一极大值点 0 x，因为 0 00 2e20 x g xx，所以 00 e1 2 x x ， 故 00 00 000 e (e1)(1)(11) 22 xx xx f xxx 2 0 111 1 444 x 22选修 4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴， 建立极坐标系， 并在两种坐标系中取相同的长度单位. 已知直线l的参数方程为 3 5 2

29、1 3 2 xt yt （t为参数） ，圆C的极坐标方程为4cos 3 . （1）求直线l的倾斜角和圆C的直角坐标方程； （2）若点( , )P x y在圆C上，求3xy的取值范围. 【解】 （1）由直线l的参数方程可知： 1 3 2 33 2 k ，直线l的倾斜角为 5 6 ； 将圆C的极坐标方程4cos() 3 ，化简得2cos2 3sin，两边乘得， 2 2 cos2 3 sin，将 222 xy，cosx，siny。 带入并化简整理可得圆C的直角坐标方程为 22 (1)(3)4xy . （2）圆的参数方程为， 1 2cos () 32sin x y 为参数，设 (12cos , 32s

30、in )P， 3xy =2 3sin2cos44sin()4 6 ，由1sin()1 6 可得， 038xy，即30,8xy . 23选修 45：不等式选讲 已知函数( )71.f xxx （1）求不等式2( )10 xf x的解集； （2）设 x表示不大于x的最大整数，若 ( )9f x 对 ,9xa a恒成立，求a的取值范围. 【解】 （1） 62 ,1, ( )8, 17, 26,7, x x f xx xx ，由( )2f xx得： 1, 622 , x xx 或 17, 82 , x x 或 7, 262 , x xx 解得4x ；由( )10f x ， 1, 6210, x x 或 17, 810, x 或 7, 2610, x x 解得28x . 故不等式2( )10 xf x的解集为：( 2,4). （2）依题意可得 ( )9f x等价于( )10f x ，由（1）知 ( )9f x的解集为( 2,8) . 因为 ( )9f x对 ,9xa a恒成立，所以 ,9( 2,8)a a ， 所以 2, 98, a a 解得21a ，所以 a 的取值范围为( 2, 1).