2020届高三数学（理）“大题精练”4.docx

1、 2020 届高三数学（理） “大题精练”4 17已知函数 2 ( )sin(2)sin(2)2cos1 66 f xxxxa . （1）若 ( )f x的最小值是 2，求 a； （2） 把函数( )yf x图像向右平移 6 个单位长度， 得到函数( )yg x图像， 若3a 时， 求使( ) 0g x 成立的 x 的取值集合. 18已知定义在 R 上的偶函数 ( )f x和奇函数( )g x满足 1 ( )( )2xf xg x . （1）证明： 2 (2 ) ( )2fxg x； （2）当 1,2x 时，不等式(2 )( )1 0fxag x 恒成立，求实数 a 的取值范围. 19已知函数

2、 32 ( )21()f xxaxaR. （1）求 ( )f x的极值； （2）若 ( )f x在(0,)内有且仅有一个零点，求( )f x在区间 2,2 上的最大值、最小值. 20已知数列 n a中， 1 9a ， 2 3a ，且 * 2 (1 2 cos)2 sin,() 22 nn nn aanN . （1）判断数列 2n a足否为等比数列，并说明理由； （2）若 2121 1 n nn b aa ，求数列 n b的前 n 项和 n S. 21 已知钝角ABC中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 其中 A 为钝角， 若 tanbaB， 且 3 2sin2sincos

3、2 CBA. （1）求角 C； （2）若点 D 满足2BDDC，且 2AD ，求ABC的周长. 22已知函数 2 ( )(1) () x f xxea xaR (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围. 2020 届高三数学（理） “大题精练”4（答案解析） 17已知函数 2 ( )sin(2)sin(2)2cos1 66 f xxxxa . （1）若 ( )f x的最小值是 2，求 a； （2） 把函数( )yf x图像向右平移 6 个单位长度， 得到函数( )yg x图像， 若3a 时， 求使( ) 0g x 成立的 x 的取值集合. 解： （1）(

4、 )3sin2cos22sin(2 ) 6 f xxxaxa min ( )22f xa ， 4a （2）( )()2sin(2 )3 66 g xf xx 由( ) 0g x 知 3 sin(2) 62 x ， 2 222, 363 kxkk Z剟 解得， 5 , 412 kx kk Z剟 满足( ) 0g x 的 x 取值的集合为 5 , 412 x kx kk Z剟. 18已知定义在 R 上的偶函数 ( )f x和奇函数( )g x满足 1 ( )( )2xf xg x . （1）证明： 2 (2 ) ( )2fxg x； （2）当 1,2x 时，不等式(2 )( )1 0fxag x

5、恒成立，求实数 a 的取值范围. 解： （1）依题意 1 ( )( )2xf xg x ， 又 ( )f x为偶函数，( )g x为奇函数 1 ()()2 x fxgx ，即 1 ( )( )2 x f xg x 由得( )22 xx f x ，( )22 xx g x 2222 (2 )22(22)2 ( )2 xxxx fxg x 得证； （2）原不等式可化为 2 ( )( )3 0g xag x 当 1,2x 时， 3 ( ) ( ) a g x g x 成立，其中 3 15 ( ) , 2 4 g x 当 1,2x 时， min 3 ( ( )2 3 ( ) g x g x 当且仅当(

6、 )3g x 时取最小值 2 3a ， 2 3a . 19已知函数 32 ( )21()f xxaxaR. （1）求 ( )f x的极值； （2）若 ( )f x在(0,)内有且仅有一个零点，求( )f x在区间 2,2 上的最大值、最小值. 解： （1） 2 ( )626 () 3 a fxxaxx x 当0a 时， 2 ( )60fxx ， ( )f x在 R 上是单调增函数，故( )f x无极值. 当0a ，此时0 3 a ，当0 x或 3 a x 时，( )0fx 0 3 a x时，( )0fx (0)1( )f xf 极大值 ， 3 ( )( )1 327 aa f xf 极小值 当

7、0a 时，0 3 a ，当 3 a x 或0 x ，( )0fx 0 3 a x，( )0fx 3 ( )( )1 327 aa f xf 极大值 ， ( )(0)1f xf 极小值 综上，当0a 时， ( )f x无极值， 当0a 时， ( )1f x 极大值 ， 3 ( )1 27 a f x 极小值 ， 当0a 时， 3 ( )1 27 a f x 极大值 ， ( )1f x 极小值 （2）若 ( )f x在(0,)内有且只有一个零点 由（1）知，0a 且( )( )0 3 a f xf 极小值 即 3 10 27 a ，3a 32 ( )231f xxx 又当 2,2x 时， (0)1

8、( )f xf 极大值 ， ( )(1)0f xf 极小值 ，(2)5(0)1ff ， ( 2)27(1)0ff 故 ( )f x在 2,2 上的最大值为(2)5f，最小值为( 2)27f . 20已知数列 n a中， 1 9a ， 2 3a ，且 * 2 (1 2 cos)2 sin,() 22 nn nn aanN . （1）判断数列 2n a足否为等比数列，并说明理由； （2）若 2121 1 n nn b aa ，求数列 n b的前 n 项和 n S. 解： （1） 2n a是等比数列 依题意知当 n 为偶数时， 2 3 nn aa 222 3 nn aa ，又 2 30a 数列 2n

9、 a为公比是 3 的等比数列 （2）当 n 为奇数时 2 2 nn aa ， 所以数列 21n a 是以 1 9a 为首项，以2为公差的等差数列 21 92(1)211 n ann 11111 () ( 211)( 29)(29)(211)2 21129 n nnnn b nn 12 1111111 () 2977521129 nn Sbbb nn 11111 () 292918418nn . 21 已知钝角ABC中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 其中 A 为钝角， 若 tanbaB， 且 3 2sin2sincos 2 CBA. （1）求角 C； （2）若点 D 满足

10、2BDDC，且 2AD ，求ABC的周长. 解： （1）tanbaB， sinsin sin cos AB B B ，又(0, )B， sin0B ，sincosAB 又 A 为钝角，A为锐角，sin()sin() 2 AB 2 AB 即 2 AB 又 3 2sin2sincos 2 CBA， 3 2sin()2sincos 2 ABBA 3 2(sincoscossin)2sincos 2 ABABBA， 3 sincos 4 AB 2 AB ，B 为锐角，故 3 sin()cos 24 BB ， 2 3 cos 4 B ， 3 cos 2 B 6 B ， 2 3 A ， 6 C （2） 6

11、 BC ，bc，又 2 3 A ，由余弦定理知 2222 2cos3abcbcAb，3ab=，2BDDC 法一： 12 33 ADABAC 22222 121441 |()| 339993 ADABACABAB ACACAB 22 |3|6ABAD即3|6cAD 3 2a ABC的周长为3 2 2 6 法二： 6 BC ，bc，又 2 3 A ，由余弦定理得 2222 2cos3abcbcAb ， 3ab= 在ABD中， 222 2cosADABBDAB BDB 22 223 2()2() 332 caca 联立得 3 2a ，6bc 故ABC的周长为3 22 6. 22已知函数 2 ( )(

12、1) () x f xxea xaR (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围. 解： （1）( )(1)2 (1)(1)(2 ) xx fxxea xxea （）0a时，当(, 1)x 时， ( ) 0fx ；当( 1,)x 时， ( ) 0fx ， 所以 f(x)在(, 1) 单调递减，在( 1,) 单调递增； （）0a 时 若 1 2 a e ，则 1 ( )(1)() x fxxee，所以 f(x)在(,) 单调递增； 若 1 2 a e ，则ln( 2 )1a ，故当(,ln( 2 )( 1,)xa 时， ( ) 0fx ， (ln( 2 ),

13、 1)xa， ( ) 0fx ；所以 f(x)在(,ln( 2 ),( 1,)a 单调递增，在 (ln( 2 ), 1)a单调递减； 若 1 2 a e ，则ln( 2 )1a ，故当(, 1)(ln( 2 ),)xa ， ( ) 0fx ， ( 1,ln( 2 )xa ， ( ) 0fx ；所以 f(x)在(, 1),(ln( 2 ),)a 单调递增，在 ( 1,ln( 2 )a单调递减； 综上：0a时，f(x)在(, 1) 单调递减，在( 1,) 单调递增； 1 2 a e 时，f(x)在(,) 单调递增； 1 2 a e 时，f(x)在(,ln( 2 ),( 1,)a 单调递增，在(ln

14、( 2 ), 1)a单调递减； 1 2 a e 时，f(x)在(, 1),(ln( 2 ),)a 单调递增，在( 1,ln( 2 )a单调递减； （2） （）当 a0,则由（1）知 f(x)在(, 1) 单调递减，在( 1,) 单调递增， 又 1 ( 1)0 e f ，(0)0fa，取 b 满足1b，且2ln 2 a b， 则 22 3 (2)(2)(1)()0 22 a f bba ba bb，所以 f(x)有两个零点 （）当 a=0,则( ) x f xxe，所以 f(x)只有一个零点 （） 当 a0,若 1 2 a e ,则由 （1） 知， f(x)在( 1,) 单调递增 又当1x时，( )0f x ， 故 f(x)不存在两个零点 1 2 a e ，则由（1）知，f(x)在( 1,ln( 2 )a单调递减，在(ln( 2 ),)a单调递增，又 当1x，f(x)0,故 f(x)不存在两个零点 综上，a 的取值范围为(0,).