2021年上海市杨浦区高考数学一模试卷（含详细解析）.docx

1、 第 1 页（共 16 页） 2021 年上海市杨浦区高考数学一模试卷年上海市杨浦区高考数学一模试卷 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分）分） 考生应在答题纸的相应位置填写结果考生应在答题纸的相应位置填写结果. 1 （4 分）设全集UR，(,2)A ，则_ U A 2 （4 分）设复数12zi ，(i是虚数单位） ，则| z 3（4分）若关于x，y的方程组 24 38.leftbegin arraylxyxayend arrayright无解，则实数a 4 （4 分）已知球

2、的半径为 2，则它的体积为 5 （4 分）若直线_1:210lxmy 与_2:31lyx互相垂直，则实数m 6 （4 分）已知 5 sin 5 ，( 2 ，) 2 ，则sin() 2 7 （5 分）已知 2 ()nx x 的二项展开式中，所有二项式系数的和为 256，则展开式中的常数项 为 （结果用数值表示） 8 （5 分）( )f x是偶函数，当0 x时，( )21 x f x ，则不等式( )1f x 的解集为 9 （5 分）方程 2 1log_2log_2(3)xx的解为 10 （5 分）平面直角坐标系中，满足到 1( 1,0) F 的距离比到 2(1,0) F的距离大 1 的点的轨迹

3、为曲线T，点( ,) nn P n y（其中0 n y ， *) nN是曲线T上的点，原点O到直线 2n P F的距离为 n d，则lim n n d 11 （5 分）如图所示矩形ABCD中，2AB ，1AD ，分别将边BC与DC等分成 8 份， 并将等分点自下而上依次记作 1 E， 2 E， 7 E，自左到右依次记作 1 F， 2 F， 7 F，满 足2 ij AE AF， （其中i， * jN，1 i，7)j的有序数对( , )i j共有 对 12 （5 分）已知函数( )yf x在定义域R上是单调函数，值域为(,0)，满足 第 2 页（共 16 页） ( 1)13ffrac ，且对于任意

4、x，yR，都有()( ) ( )f xyf x f y ( )yf x的反函 数为 1( ) yfx ，若将( )yf x k（其中常数0)k的反函数的图象向上平移 1 个单位，将 得到函数 1( ) yfx 的图象，则实数k的值为 二、选择题（本题共有二、选择题（本题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项，考生应分）每题有且只有一个正确选项，考生应 在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13 （5 分）设0ab，0c ，则下列不等式中，恒成立的是( ) A 11 ab B 22 acbc

5、Cacbc D cc ab 14 （5 分）下列函数中，值域为(0,)的是( ) A 2 yx B 2 y x C2xy D 2 |log|yx 15 （5 分）从正方体的 8 个顶点中选取 4 个作为顶点，可得到四面体的个数为( ) A 4 8 12C B 4 8 8C C 4 8 6C D 4 8 4C 16 （5 分）设集合 | x Ay ya，0 x （其中常数0a ，1)a ， | k By yx，xA （其中常数)kQ，则“0k ”是“AB ”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充分必要条件 D既非充分又非必要条件 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，

6、满分题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必 要的步骤要的步骤. 17（14 分） 如图所示， 在直三棱柱 111 ABCABC中， 底面是等腰直角三角形，90ACB， 1 2CACBCC点D， 1 D分别是棱AC， 11 AC的中点 （1）求证：D，B， 1 B， 1 D四点共面； （2）求直线 1 BC与平面 11 DBB D所成角的大小 第 3 页（共 16 页） 18 （14 分）设常数kR， 2 ( )cos3sin cosf xkxxx，xR （1）若( )f x是奇函数，求实数k的值； （2） 设1k ，ABC中，

7、内角A，B，C的对边分别为a，b，c 若f（A）1，7a ， 3b ，求ABC的面积S 19 （14 分）某校运会上无人机飞行表演，在水平距离10 x，24（单位：米）内的飞行 轨迹如图所示，y表示飞行高度（单位：米） 其中当10 x，20时，轨迹为开口向上的 抛物线的一段 （端点为M、)Q， 当 2 0 x，24时， 轨迹为线段QN， 经测量， 起点(10,24)M， 终点(24,24)N，最低点(14,8)P （1）求y关于x的函数解析式； （2） 在( 0 ,2 4 )A处有摄像机跟踪拍摄， 为确保始终拍到无人机， 求拍摄视角的最小值 （精 确到0.1 ) 第 4 页（共 16 页） 2

8、0 （16 分）设_1A，_2A分别是椭圆 222 :1(1)frac xaya的左、右顶点，点 B为椭圆的上顶点 （1）若 _1 _2 4overrightarrowABoverrightarrowAB ，求椭圆的方程； （2）设2asqrt，_2F是椭圆的右焦点，点Q是椭圆第二象限部分上一点，若线段 _2FQ的中点M在y轴上，求_2FBQ的面积 （3） 设3a ， 点P是直线6x 上的动点， 点C和D是椭圆上异于左、 右顶点的两点， 且C， D分别在直线_1PA和_2PA上，求证：直线CD恒过一定点 21 （18 分）设数列 n a与 n b满足： n a的各项均为正数，cos nn ba

9、， * nN （1）设 2 3 4 a ， 3 3 a ，若 n b是无穷等比数列，求数列 n b的通项公式； （2）设 1 0 2 a 求证：不存在递减的数列 n a，使得 n b是无穷等比数列； （3）当121nm剟时， n b为公差不为 0 的等差数列且其前21m 项的和为 0；若对任意 满足条件06 (121) n anm剟?的数列 n a，其前21m 项的和 21m S 均不超过100，求正 整数m的最大值 第 5 页（共 16 页） 2021 年上海市杨浦区高考数学一模试卷年上海市杨浦区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题

10、共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分）分） 考生应在答题纸的相应位置填写结果考生应在答题纸的相应位置填写结果. 1 （4 分）设全集UR，(,2)A ，则_ U A 2，) 【解答】解：全集UR，(,2)A ， _ 2U A，) 故答案为：2，) 2 （4 分）设复数12zi ，(i是虚数单位） ，则| z 5 【解答】解：因为复数12zi ， 所以 22 |1( 2)5z 故答案为：5 3（4分）若关于x，y的方程组 24 38.leftbegin arraylxyxayend arrayright无 解 ， 则

11、 实 数a 32frac 【解答】解：若关于x，y的方程组 24 38.leftbegin arraylxyxayend arrayright无解， 则直线240 xy 和直线380 xay平行， 故有321 8 4fracfracafrac，求得32afrac ， 故答案为：32frac 4 （4 分）已知球的半径为 2，则它的体积为 32 3 【解答】解：球的半径为2R ， 球的体积为 3 432 33 VR 故答案为： 32 3 5 （4 分）若直线_1:210lxmy 与_2:31lyx互相垂直，则实数m 6 【解答】解：直线_1:210lxmy 与_2:31lyx互相垂直， 2 3(

12、 1)0m ，求得实数6m ， 第 6 页（共 16 页） 故答案为：6 6 （4 分）已知 5 sin 5 ，( 2 ，) 2 ，则sin() 2 2 5 5 【解答】解：因为 5 sin0 5 ，( 2 ，) 2 ， 所以( 2 ，0)， 2 2 5 cos1 5 sin， 则 2 5 sin()cos 25 故答案为： 2 5 5 7 （5 分）已知 2 ()nx x 的二项展开式中，所有二项式系数的和为 256，则展开式中的常数项 为 1120 （结果用数值表示） 【解答】解：已知 2 ()nx x 的二项展开式中，所有二项式系数的和为2256 n ，8n 则展开式中的通项公式为 8

13、2 18 2 rrr r TCx ，令820r，求得4r ， 可得展开式的常数项为 44 8 21120C， 故答案为：1120 8 （5 分）( )f x是偶函数，当0 x时，( )21 x f x ，则不等式( )1f x 的解集为 (， 1)(1，) 【解答】解：根据题意，当0 x时，( )21 x f x ， 此时，若( )1f x ，即21 1 x ，解可得1x ，此时( )1f x 的解集(1,)， 又由( )f x是偶函数，则当0 x 时，( )1f x 的解集(, 1) ， 综合可得：不等式( )1f x 的解集为(，1)(1，) 故答案为：(，1)(1，) 9 （5 分）方程

14、 2 1log_2log_2(3)xx的解为 3x 【解答】解： 2 1log_2log_2(3)xx， 2 log_2(2 )log_2(3)xx，故 2 23xx， 故 22 30 0 230.leftbegin arraylxxxxend arrayright，解 得：3x ， 第 7 页（共 16 页） 故答案为：3x 10 （5 分）平面直角坐标系中，满足到 1( 1,0) F 的距离比到 2(1,0) F的距离大 1 的点的轨迹 为曲线T，点( ,) nn P n y（其中0 n y ， *) nN是曲线T上的点，原点O到直线 2n P F的距离为 n d，则lim n n d 3

15、 2 【解答】解：设曲线T上的点为P，由题意， 12 | 1PFPF， 则曲线T为双曲线，焦点坐标为 1( 1,0) F ， 2(1,0) F， 21a ， 1 2 a ，1c ， 222 13 1 44 bca ， 双曲线方程为 22 4 41 3 xy 渐近线方程为3yx ， 而点( ,) nn P n y（其中0 n y ， *) nN是曲线T上的点， 当n 时，直线 2n P F的斜率趋近于3，即 2 3 n P F k 则 2: 3(1) n P Fyx，即330 xy 22 |3|3 lim 2 ( 3)( 1) n n d 故答案为： 3 2 11 （5 分）如图所示矩形ABCD

16、中，2AB ，1AD ，分别将边BC与DC等分成 8 份， 并将等分点自下而上依次记作 1 E， 2 E， 7 E，自左到右依次记作 1 F， 2 F， 7 F，满 足2 ij AE AF， （其中i， * jN，1 i，7)j的有序数对( , )i j共有 18 对 【解答】解：根据题意，矩形ABCD中，2AB ，1AD ，则 8 ii i AEABBEABAD， 8 jj j AFADDFADAB， 第 8 页（共 16 页） 则() () 8882 ij ijij AE AFABADADAB， 若2 ij AE AF，则2 82 ij ，变形可得416ij， 又由i， * jN，1 i，

17、7j， 当1i 时，j可取的值为 1、2、3，共 3 个； 当2i 时，j可取的值为 1、2、3，共 3 个； 当3i 时，j可取的值为 1、2、3，共 3 个； 当4i 时，j可取的值为 1、2、3，共 3 个； 当5i 时，j可取的值为 1、2，共 2 个； 当6i 时，j可取的值为 1、2，共 2 个； 当7i 时，j可取的值为 1、2，共 2 个； 则符合条件的有序数对( , )i j共有342318对， 故答案为：18 12 （5 分）已知函数( )yf x在定义域R上是单调函数，值域为(,0)，满足 ( 1)13ffrac ，且对于任意x，yR，都有()( ) ( )f xyf x

18、 f y ( )yf x的反函 数为 1( ) yfx ，若将( )yf x k（其中常数0)k的反函数的图象向上平移 1 个单位，将 得到函数 1( ) yfx 的图象，则实数k的值为 3 【解答】解：由题意，设 ( ) x f xya ， 根据( 1)13ffrac ，解得3a ， ( )3 x f xy ， 那么log_3()xy，(0)y ， x与y互换，可得 1( ) log_3()fxx ，(0)x ， 则 ( )3 x yf x kk， 那么 _3( )xlo gfrac yk， x与y互 换 ， 可 得 _ 3 ( )yl o gf r a c xk， 向 上 平 移1个 单

19、位 ， 可 得 _3( )1ylo gfrac xk， 即log_3() _3( 3 )xlo gfracxk， 故得3k， 第 9 页（共 16 页） 故答案为：3 二、选择题（本题共有二、选择题（本题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项，考生应分）每题有且只有一个正确选项，考生应 在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13 （5 分）设0ab，0c ，则下列不等式中，恒成立的是( ) A 11 ab B 22 acbc Cacbc D cc ab 【解答】解：因为0ab，所以 11 a

20、b ，故A错误； 因为0ab，0c ，则 2 0c ，所以 22 acbc，故B正确； 若0ab，0c ，则acbc，故C错误； 若0ab，0c ，则 11 ab ， cc ab ，故D错误 故选：B 14 （5 分）下列函数中，值域为(0,)的是( ) A 2 yx B 2 y x C2xy D 2 |log|yx 【解答】解：函数 2 yx的值域为0，)，故排除A； 函数 2 y x 的值域为 |0y y ，故排除B； 函数2xy 的值域为(0,)，故C满足条件； 函数 2 |log|yx的值域为0，)，故排除D， 故选：C 15 （5 分）从正方体的 8 个顶点中选取 4 个作为顶点，可

21、得到四面体的个数为( ) A 4 8 12C B 4 8 8C C 4 8 6C D 4 8 4C 【解答】解：根据题意，从正方体的 8 个顶点中选取 4 个，有 4 8 C种取法， 正方体的 8 个顶点中，4 个顶点共面的情况有 12 种，6 个表面，6 个对角面， 则可得到四面体的个数为 4 8 12C ， 故选：A 16 （5 分）设集合 | x Ay ya，0 x （其中常数0a ，1)a ， | k By yx，xA （其中常数)kQ，则“0k ”是“AB ”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 第 10 页（共 16 页） C充分必要条件 D既非充分又非必要条件 【解答】解

22、：当1a 时，集合(1,)A，若0k ，则 | k By yx，(0,1)xA，此时 AB ； 当01a，集合(0,1)A，若0k ，则 | k By yx，(1,)xA，此时AB ， 故“0k ”是“AB ”的充分条件， 当1a 时，集合(1,)A，若AB ， | k By yx，xA，可得0k； 当01a，集合(0,1)A，若AB ， | k By yx，xA，可得0k， 所以“0k ”不是“AB ”的必要条件， 所以“0k ”是“AB ”的充分非必要条件 故选：A 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必分）解

23、答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必 要的步骤要的步骤. 17（14 分） 如图所示， 在直三棱柱 111 ABCABC中， 底面是等腰直角三角形，90ACB， 1 2CACBCC点D， 1 D分别是棱AC， 11 AC的中点 （1）求证：D，B， 1 B， 1 D四点共面； （2）求直线 1 BC与平面 11 DBB D所成角的大小 【解答】解： （1）证明：点D， 1 D分别是棱AC， 11 AC的中点， 11 / /DDCC， 11 / /CCBB， 11 / /DDBB， D、B、 1 B、 1 D四点共面 第 11 页（共 16 页） （2）作 111 C FB D，垂足为F， 1

24、 BB 平面 111 ABC， 1 C F 平面 111 ABC， 直线 1 BB 直线 1 C F， 1 C F 直线 11 B D且 1 BB与 11 B D相交于 1 B， 直线 1 C F 平面 11 DBB D， 1 C BF即为直线 1 BC与平面 11 DBB D所成的角 在直角 1 C BF中， 1 2 2BC ， 1 2 5 5 C F ， 1 10 sin 10 C BF， 直线 1 BC与平面 11 DBB D所成的角为 10 arcsin 10 18 （14 分）设常数kR， 2 ( )cos3sin cosf xkxxx，xR （1）若( )f x是奇函数，求实数k的

25、值； （2） 设1k ，ABC中， 内角A，B，C的对边分别为a，b，c 若f（A）1，7a ， 3b ，求ABC的面积S 【解答】解： （1）由题意知，(0)0fk，下面对0k 进行检验： 若0k ，则( )3sin cosf xxx， 对任意xR都有()3sin()cos()3sin cos( )fxxxxxf x ， ( )f x是奇函数，0k （2） 2 ( )cos3sincos1f AAAA， 1cos23 sin21 22 A A ，整理，得 1 sin(2) 62 A ， 22 66 Ak 或 5 2 6 k ，kZ， Ak或 3 k ，kZ， 第 12 页（共 16 页） (

26、0, )A， 3 A ， 由余弦定理知， 222 cos 2 bca A bc ，即 2 197 26 c c ， 整理，得 2 320cc，解得1c 或2c ， 13 3 sin 24 SbcA或 3 3 2 19 （14 分）某校运会上无人机飞行表演，在水平距离10 x，24（单位：米）内的飞行 轨迹如图所示，y表示飞行高度（单位：米） 其中当10 x，20时，轨迹为开口向上的 抛物线的一段 （端点为M、)Q， 当 2 0 x，24时， 轨迹为线段QN， 经测量， 起点(10,24)M， 终点(24,24)N，最低点(14,8)P （1）求y关于x的函数解析式； （2） 在( 0 ,2 4

27、 )A处有摄像机跟踪拍摄， 为确保始终拍到无人机， 求拍摄视角的最小值 （精 确到0.1 ) 【解答】解： （1）10 x，20时，设： 2 (14)8ya x， (10,24)M代入得1a ， 2 (14)8yx， 20 x，24时， (20,44)Q、(24,24)N， 5144yx ， 第 13 页（共 16 页） 2 (14)810,20 5144(20,24 xx y xx （2）如图，设仰角为，俯角为， (20,44)Q，(0,24)A，仰角最小为45， 24 tan y x ， 2 24(28204)xx x 180 28() 2812 5x x ，10 x，20 俯角最小为ar

28、ctan( 12 528)49.4， 最小为94.4 20 （16 分）设_1A，_2A分别是椭圆 222 :1(1)frac xaya的左、右顶点，点 B为椭圆的上顶点 （1）若 _1 _2 4overrightarrowABoverrightarrowAB ，求椭圆的方程； （2）设2asqrt，_2F是椭圆的右焦点，点Q是椭圆第二象限部分上一点，若线段 _2FQ的中点M在y轴上，求_2FBQ的面积 （3） 设3a ， 点P是直线6x 上的动点， 点C和D是椭圆上异于左、 右顶点的两点， 且C， D分别在直线_1PA和_2PA上，求证：直线CD恒过一定点 第 14 页（共 16 页） 【解

29、答】解： （1）_1(,0)Aa，_2( ,0)Aa，(0,1)B， _1 ( ,;1)overrightarrowABa， _2 (,;1)overrightarrowABa ， 2 _1 _2 14overrightarrowABoverrightarrowABa ，解得 2 5a， 即椭圆的方程为 22 5 1frac xy； （2）椭圆的方程为 22 2 1frac xy，则_2(1,0)F， 设( _ Q xQ，_ )yQ，由线段_2FQ的中点在y轴上，得_ 1xQ ， 代入椭圆方程，得 _22yQfrac sqrt，即( 1,;22)Qfrac sqrt， _2 _2 _12(12

30、4) 2124Striangle FBQStriangleB FMSDeltaBQMfracfrac sqrtfrac sqrt ； （3）证明：由题意_1( 3,0)A，_2(3,0)A，设点P的坐标为(6,)m， 直线_1: 9(3)PAyfrac mx， 与椭圆方程 22 ; 9 1fracxy联立消去y， 得 2 2 2 2 ( 9)698 1 0mxm xm， 由韦达定理，得 22 _ 3279xCfracmm，即 222 (3279,;69)Cfracmmfracmm， 同理 222 (331 ,; 2 1 )Dfracmmfracmm， 当_ _ xCxD，即 2222 2739

31、33 1fracmmfracmm， 即 2 3m时，直线CD的方程为32xfrac， 当_ _ xCxD时，直线 2222 : 2 1 4 3(3 )(331 )CD yfracmmfracmmxfracmm， 化简得 2 4 3(3 )(32)yfracmmxfrac，恒过点(32,;0)frac， 第 15 页（共 16 页） 综上所述，直线CD恒过点(32,;0)frac 21 （18 分）设数列 n a与 n b满足： n a的各项均为正数，cos nn ba， * nN （1）设 2 3 4 a ， 3 3 a ，若 n b是无穷等比数列，求数列 n b的通项公式； （2）设 1 0

32、 2 a 求证：不存在递减的数列 n a，使得 n b是无穷等比数列； （3）当121nm剟时， n b为公差不为 0 的等差数列且其前21m 项的和为 0；若对任意 满足条件06 (121) n anm剟?的数列 n a，其前21m 项的和 21m S 均不超过100，求正 整数m的最大值 【解答】 （1）解：由 2 3 4 a ， 3 3 a ， 可得 2 32 cos 42 b ， 3 1 cos 32 b ，公比为 2 2 q ， 由 2 213 bb b解得 1 1b ， 数列 n b的通项公式为 1 2 () 2 n n b （2）证明：设存在递减的数列 n a，使得 n b是无穷

33、等比数列， 则 21 0 2 aa ，此时 21 coscos0aa， 公比 2 1 cos 1 cos a q a ， 1 1 coscos( )n n aaq ，考虑不等式 1 1 cos1 n a q ， 当 1 1log (cos) q na 时，即 1 11log (cos) q na时，有cos1 n a （其中 x表示不超过x的 最大整数） ， 这与( )cosf xx的值域为 1，1矛盾， 所以假设不成立，得证； （3）解： 121 ()(21) 0 2 m bbm ，可得 121 0 m bb ， 由等差数列性质 * 22121 0(11,) imim bbbbi miN 剟， 即 22 coscos0 imi aa ，特别地， 1 0 m b ， 现考虑 21m S 的最大值 为使 21m S 取最大值，应有5 n a，6 ， 否则在 21m S 中将 n a替换为 n a ，且coscos nn aa，5 n a，6 ， 将得到一个更大的 21m S ， 第 16 页（共 16 页） 由 22 coscos0 imi aa 可知 22 11 211 2 imi aa ，特别地， 1 11 2 m a ； 于是 21 11(21) 11 ()(11 )100 22 mmax m Sm ， 解得 189 22 m， 所以m的最大值为 8