2021年上海市普陀区高考数学一模试卷（含详细解析）.docx

1、 第 1 页（共 14 页） 2021 年上海市普陀区高考数学一模试卷年上海市普陀区高考数学一模试卷 一一.填空题（本大题共填空题（本大题共 12 题，题，1-6 每题每题 4 分，分，7-12 每题每题 5 分，共分，共 54 分）分） 1 （4 分）若集合 |01Axx ， |(1)(2) 0Bxxx，xR，则AB 2 （4 分）函数 2( 0)yxx的反函数为 3 （4 分）若 2 且 1 cos 3 ，则tan 4 （4 分）设无穷等比数列 n a的各项和为 2，若该数列的公比为 1 2 ，则 3 a 5 （4 分）在 8 1 ()x x 的二项展开式中 4 x项的系数为 6 （4 分

2、）若正方体的棱长为 1，则该正方体的外接球的体积为 7（5 分） 若圆C以椭圆 22 1 1612 xy 的右焦点为圆心、 长半轴为半径， 则圆C的方程为 8 （5 分）一个袋中装有同样大小、质量的 10 个球，其中 2 个红色、3 个蓝色、5 个黑色， 经过充分混合后，若从此袋中任意取出 4 个球，则三种颜色的球均取到的概率为 9 （5 分）设 1 ( )f xlgx x ，则不等式 1 (1)1f x 的解集为 10 （5 分）某展馆现有一块三角形区域可以布展，经过测量其三边长分别为 14、10、6（单 位：)m，且该区域的租金为每天 4 元 2 /m，若租用上述区域 5 天，则仅场地的租

3、用费约需 元（结果保留整数） 11 （5 分）如图所示，在直角梯形ABCD中，已知/ /ADBC， 2ABCfrac， 1ABAD，2BC ，M为BD的中点，设P、Q分别为线段AB、CD上的动点，若P、 M、Q三点共线，则 overrightarrow AQoverrightarrow CP的最大值为 12 （5 分）设b、c均为实数，若函数( ) b f xxc x 在区间1，)上有零点，则 22 bc 的取值范围是 二二.选择题（本大题共选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 第 2 页（共 14 页） 13 （5 分）曲线 2 8yx的准线方程是( )

4、A4x B2x C2x D4x 14 （5 分）设x、y均为实数，且 314 | 7 625 x y ，则在以下各项中( , )x y的可能取值只 能是( ) A(2,1) B(2, 1) C( 1,2) D( 1, 2) 15 （5 分）如图，在正四棱柱_1 _1 _1_1ABCDABCD中，底面边长2AB ，高 _14AA，E为棱_1AA的中点， 设BAD，BED，_1BED， 则、 之间的关系正确的是( ) A B C D 16 （5 分）设b、c均为实数，关于x的方程 2 |0 xb xc 在复数集C上给出下列两个结 论： 存在b、c，使得该方程仅有两个共轭虚根；存在b、c，使得该方程

5、最多有 6 个互不 相等的根； 其中正确的是( ) A与均正确 B正确，不正确 C不正确，正确 D与均不正确 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 题，共题，共 14+14+14+16+1876 分）分） 17 （14 分）设a为常数，函数( )sin2cos(22 )1()f xaxxxR （1）设3a ，求函数( )yf x的单调递增区间及频率f； （2）若函数( )yf x为偶函数，求此函数的值域 18 （14 分）双曲线 22 :1 169 xy 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，直线l经过 2 F且与的两条 渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限 （1）设P为右支

6、上的任意一点，求 1 |PF的最小值； 第 3 页（共 14 页） （2）设O为坐标原点，求O到l的距离，并求l与的交点坐标 19 （14 分） 某商场共有三层楼， 在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯、 供顾客乘用， 如图，一顾客自一楼点A处乘到达二楼的点B处后，沿着二楼面上的圆弧BM逆时针步 行至点C处，且C为弧BM的中点，再乘到达三楼的点D处，设圆柱形空间三个楼面圆 的中心分别为O、 1 O、 2 O，半径为 8 米，相邻楼层的间距4AM 米，两部电梯与楼面所 成角的大小均为 1 arcsin 3 （1）求此顾客在二楼面上步行的路程； （2）求异面直线AB和CD所成角的大小 （结果用反三角

7、函数值表示） 20 （16 分）已知无穷数列 n a的首项为 1 a，其前n项和为 n S，且 * 1 () nn aad nN ，其 中d为常数且0d （1）设 1 1ad，求数列 n a的通项公式，并求 1 lim(1) n n a 的值； （2） 设2d ， 7 7S ， 是否存在正整数k使得数列 n n S中的项2 k k S 成立？若存在， 求出满足条件k的所有值，若不存在，请说明理由； （3）求证：数列 n a中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数m且 1m，使得 1 amd 21 （18 分）已知函数 2 2 ,0 ( ) log,0 x x f x x x （

8、1）解不等式( ) 0 x f x ； （2）设k、m均为实数，当(x ，m时，( )f x的最大值为 1，且满足此条件的任意实 数x及m的值，使得关于x的不等式 2 ( )(2)310f xmkmk恒成立，求k的取值范围； （3） 设t为实数， 若关于x的方程 2 ( )log ()0f f xtx恰有两个不相等的实数根 1 x、 2 x且 12 xx， 试将 1 22 12 1 2log 2 |1|1| x x xx 表示为关于t的函数， 并写出此函数的定义域 第 4 页（共 14 页） 2021 年上海市普陀区高考数学一模试卷年上海市普陀区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试

9、题解析 一一.填空题（本大题共填空题（本大题共 12 题，题，1-6 每题每题 4 分，分，7-12 每题每题 5 分，共分，共 54 分）分） 1 （ 4 分 ） 若 集 合| 01Axx ， |(1)(2) 0Bxxx，xR， 则AB |02xx 【解答】解： |(1)(2) 0Bxxx， |12xRxx剟， |01Axx ， |02ABxx ， 故答案为： |02xx 2 （4 分）函数 2( 0)yxx的反函数为 1( ) (0)fxx x 【解答】解：由 2( 0)yxx解得xy或y（舍去） ， 所以xy，0y， 所以原函数的反函数为 1( ) fxx ，0 x， 故答案为： 1(

10、) fxx ，0 x 3 （4 分）若 2 且 1 cos 3 ，则tan 2 2 【解答】解：由 1 cos 3 ，且 2 ， 可得 22 12 2 sin11() 33 cos ， 所以 2 2 sin 3 tan2 2 1 cos 3 ， 故答案为：2 2 4 （4 分）设无穷等比数列 n a的各项和为 2，若该数列的公比为 1 2 ，则 3 a 1 4 【解答】解：由题意可得， 1 2 1 a q 且 1 2 q ， 1 1a， 故 2 31 11 1 44 aa q 第 5 页（共 14 页） 故答案为： 1 4 5 （4 分）在 8 1 ()x x 的二项展开式中 4 x项的系数为

11、 28 【解答】解： 8 1 ()x x 的二项展开式的通项为 8 2 8( 1) rrr Cx ，0r ，1，2，8 令824r，解得2r ， 则 4 x项的系数 2 8 28C ， 故答案为：28 6 （4 分）若正方体的棱长为 1，则该正方体的外接球的体积为 3 2 【解答】解：正方体棱长为 1， 正方体的外接球的半径 3 2 R ， 正方体的外接球的体积 3 433 () 322 V 故答案为： 3 2 7 （5 分）若圆C以椭圆 22 1 1612 xy 的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆C的方程为 22 (2)16xy 【解答】解：根据题意，椭圆 22 1 1612 xy 中，4a

12、 ，2 3b ， 则16122c ， 则椭圆的右焦点坐标为(2,0)， 则圆C的圆心C为(2,0)，半径4ra， 故圆C的方程为： 22 (2)16xy， 故答案为： 22 (2)16xy 8 （5 分）一个袋中装有同样大小、质量的 10 个球，其中 2 个红色、3 个蓝色、5 个黑色， 经过充分混合后，若从此袋中任意取出 4 个球，则三种颜色的球均取到的概率为 1 2 【解答】解：由题设知：从 10 个球中任取 4 个球，共有 4 10 210C种取法， 满足三种颜色的球均取到的取法有 211121112 235235235 105C C CC C CC C C种， 第 6 页（共 14 页

13、） 三种颜色的球均取到的概率为 1051 2102 ， 故答案为： 1 2 9 （5 分）设 1 ( )f xlgx x ，则不等式 1 (1)1f x 的解集为 1 (0, ) 2 【解答】解：因为 1 ( )f xlgx x 在(0,)上单调递减， 由 1 (1)1ff x （1） ，可得 1 11 x 即 1 2 x ， 解得， 1 0 2 x 故答案为： 1 (0, ) 2 10 （5 分）某展馆现有一块三角形区域可以布展，经过测量其三边长分别为 14、10、6（单 位：)m，且该区域的租金为每天 4 元 2 /m，若租用上述区域 5 天，则仅场地的租用费约需 520 元（结果保留整数

14、） 【解答】解：在ABC中，设6AB ，10AC ，14BC ， 利用 222 610141 cos 26 102 A ， 由于(0, )A， 所以 2 3 A 所以 13 6 1015 3 22 ABC S ， 则花费用为4 5 15 3520 元 故答案为：520 元 11 （5 分）如图所示，在直角梯形ABCD中，已知/ /ADBC， 2ABCfrac， 1ABAD，2BC ，M为BD的中点，设P、Q分别为线段AB、CD上的动点，若P、 M、Q三点共线，则 overrightarrow AQoverrightarrow CP的最大值为 2 第 7 页（共 14 页） 【解答】 解： 如图

15、所示， 建立直角坐标系(0,0)B，(2,0)C，(0,1)A，(1,1)D，(12Mfrac， 12).frac 设(0,)Pm，0m，1 设overrightarrow CQoverrightarrow CD k，则 (2overrightarrowBQoverrightarrowBCoverrightarrowCDk，0)( 1k， 1)(2k，)k，0k，1 P、M、Q三点共线， 可以设 (1)(2overrightarrowBMoverrightarrowBQoverrightarrowBPk， )(12mmfrack，12)frac， 212frack，12mmfrack 消去可得

16、：23 22fracmmk 则 (2overrightarrow AQoverrightarrow CPk，1) ( 2 k， )424(2)23 225211(1)2mmmmfracmmmfracfracmm kk 令( )5211(1)2f mfracfracmm0m，1 则( )f m在0m，1上单调递减， 因此0m 时，( )f m取得最大值(0)2f 12 （5 分）设b、c均为实数，若函数( ) b f xxc x 在区间1，)上有零点，则 22 bc 的取值范围是 1 2 ，) 【解答】解：( ) b f xxc x 在区间1，)上有零点， 0 b xc x 在区间1，)上有解，

17、 2 0 xcxb在区间1，)上有解， 第 8 页（共 14 页） 令 2 ( )g xxcxb， g（1）10bc ， 22 ()( 1)bc， 22 21bcbc， 22 2bcbc， 222 2() ()1bcbc厖， 22 1 2 bc 故答案为： 1 2 ，) 二二.选择题（本大题共选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）曲线 2 8yx的准线方程是( ) A4x B2x C2x D4x 【解答】解：抛物线 2 8yx的准线方程是 4 2 2 x ， 故选：C 14 （5 分）设x、y均为实数，且 314 | 7 625 x y ，则

18、在以下各项中( , )x y的可能取值只 能是( ) A(2,1) B(2, 1) C( 1,2) D( 1, 2) 【解答】解： 314 | 7 625 x y ，可得218207xy， 整理得：25xy，将选项代入，只有B成立， 故选：B 15 （5 分）如图，在正四棱柱_1 _1 _1_1ABCDABCD中，底面边长2AB ，高 _14AA，E为棱_1AA的中点， 设BAD，BED，_1BED， 则、 之间的关系正确的是( ) 第 9 页（共 14 页） A B C D 【解答】解：由题意可得90BAD， 连接BD，因为高_14AA，E为棱_1AA的中点， 所以2AE ，因为在正四棱柱_

19、1 _1 _1_1ABCDABCD中，底面边长2AB ， 所以22BDBEDEsqrt， 所以BDE为等边三角形，所以，60BED， 连 接_ 1 BD， 在 _ 1 BE D中 ，_ 1 2 2 BEs q r t，22DEsqrt， 222 _1224 26BDsqrtsqrt， 由余弦定理可得cos_18824222 2212BEDfracsqrtsqrtfrac ， 所以_1120BED， 所以 故选：B 16 （5 分）设b、c均为实数，关于x的方程 2 |0 xb xc 在复数集C上给出下列两个结 论： 存在b、c，使得该方程仅有两个共轭虚根；存在b、c，使得该方程最多有 6 个互

20、不 相等的根； 其中正确的是( ) A与均正确 B正确，不正确 C不正确，正确 D与均不正确 【解答】解：对于方程 2 |0 xb xc ，若0b ，1c ，方程化为 2 10 x ， 即 2 1x ，得xi ，即方程仅有两个共轭虚根，故正确； 当3b ，2c 时，方程 2 |0 xb xc 为 2 3| 20 xx ， 该方程有 4 个实数根，分别为1，1，2，2， 第 10 页（共 14 页） 有 2 个纯虚跟，为 317 2 i ， 317 2 i ，共 6 个互不相等的根，故正确 故选：A 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 题，共题，共 14+14+14+16+1876 分）

21、分） 17 （14 分）设a为常数，函数( )sin2cos(22 )1()f xaxxxR （1）设3a ，求函数( )yf x的单调递增区间及频率f； （2）若函数( )yf x为偶函数，求此函数的值域 【解答】解： （1）因为3a ，所以函数( )sin2cos(22 )1f xaxx 3sin2cos212sin(2)1 6 xxx ， 令22,2 622 xkkkZ ，解得, 36 xkkkZ ， 所以函数的单调递增区间为, 36 kkkZ ， 函数是频率 21 2 f ； （2）因为函数是偶函数，则()( )fxf x， 即sin( 2 )cos(22 )1sin2cos(22 )

22、1axxaxx ， 即sin2cos2sin2cos2axxaxx，所以0a ， 所以( )cos21f xx，当xR时，cos2 1x ，1， 所以cos21 0 x ，2， 故函数( )f x的值域为0，2 18 （14 分）双曲线 22 :1 169 xy 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，直线l经过 2 F且与的两条 渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限 （1）设P为右支上的任意一点，求 1 |PF的最小值； （2）设O为坐标原点，求O到l的距离，并求l与的交点坐标 【解答】解： （1）由双曲线 22 :1 169 xy ，得 2 16a ， 2 9b ，则 22 5c

23、ab， 1( 5,0) F，设 0 (P x， 0) y，其中 0 4x ，且 22 00 9 9 16 yx， 2222 1000000 95 |(5)10259|4| 164 PFxyxxxx， 当 0 4x 时， 1 |9 min PF； 第 11 页（共 14 页） （2） 2(5,0) F，的渐近线方程为 3 4 yx ， 由题设可知，直线l的方程为34150 xy O到直线l的距离 22 |3 04015| 3 34 d 联立 22 34150 916144 xy xy ，得1041x ，即 41 10 x ， 代入34150 xy，得 27 40 y l与的交点坐标为 41 27

24、 (,) 10 40 19 （14 分） 某商场共有三层楼， 在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯、 供顾客乘用， 如图，一顾客自一楼点A处乘到达二楼的点B处后，沿着二楼面上的圆弧BM逆时针步 行至点C处，且C为弧BM的中点，再乘到达三楼的点D处，设圆柱形空间三个楼面圆 的中心分别为O、 1 O、 2 O，半径为 8 米，相邻楼层的间距4AM 米，两部电梯与楼面所 成角的大小均为 1 arcsin 3 （1）求此顾客在二楼面上步行的路程； （2）求异面直线AB和CD所成角的大小 （结果用反三角函数值表示） 【解答】解： （1）过点B作 1 楼面的垂线，垂足是B， 则B落在圆柱底面圆上，连接B A

25、， 则B A即为BA在圆柱下底面上的射影， 故BAB即为BA与楼面所成的角，即 1 arcsin 3 BAB ， 4BBAM ，可得8 2AB ，AOB中，8OAOB ， 故AOB是等腰直角三角形，故 1 2 BO MAOB ， ABCD，故弧BC的长为82 4 ， 故此顾客在二楼面上步行的路程为2米； 第 12 页（共 14 页） （2）由（1）可知OA，OB， 2 OO两两互相垂直相交， 于是以O为坐标原点，以射线OB，OA， 2 OO分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图示： 则(8B，0，4)，(0A，8，0)，(4 2C，4 2，4)，( 4 2D ，4 2，8)， 故(8AB

26、 ，8，4)，( 8 2CD ，0，4)， 设异面直线AB和CD所成角的大小为， 则 |4 21 cos0 9| | AB CD ABCD ， 即 4 21 arccos 9 ， 故异面直线AB和CD所成角的大小为 4 21 arccos 9 20 （16 分）已知无穷数列 n a的首项为 1 a，其前n项和为 n S，且 * 1 () nn aad nN ，其 中d为常数且0d （1）设 1 1ad，求数列 n a的通项公式，并求 1 lim(1) n n a 的值； （2） 设2d ， 7 7S ， 是否存在正整数k使得数列 n n S中的项2 k k S 成立？若存在， 求出满足条件k的

27、所有值，若不存在，请说明理由； （3）求证：数列 n a中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数m且 1m，使得 1 amd 【解答】解： （1）由 1 1 nn aa 得数列 n a是以 1 为首项 1 为公差的等差数列， 第 13 页（共 14 页） 故 n an， * nN， 11 lim(1)lim(1)1 nn n an ； （2）因为 n a是等差数列， 74 77Sa ，解得 4 1a ， 又因为2d ，所以 1 7a ，故 22 1 ()8 22 n dd Snannn， 所以 32 8 n nSnn， * nN，则 322 8(8)2 k kSkkkk， 当1

28、k ，2，3，4，5，6，7，8 时，02 k kS，不等式成立， 当9k时， 2 2 k kSk 时，不等式都不成立， 所以满足条件的所有的k的值为 1，2，3，4，5，6，7，8； （3）先证必要性：任取等差数列 n a中不同的两项 s a， t a，()st， 存在k使得 stk aaa，则 11 2(2)(1)astdakd ，得 1 (1)akstd ， 故存在m使得1mkst ，使得 1 amd，mZ， 再整1m：反证法证明：假设当0d 时，1m不成立，则1m 恒成立， 对于不同的两项 1 a， 2 a，应存在 l a，使得 12l aaa，即(21)(1)mdmdld， 所以2l

29、m，又因为m是小于1的整数，故0l， 所以假设不成立，故1m， 再证充分性：当 1 amd，1m，mZ， 任取等差数列 n a中不同的两项 s a， t a，()st，则 11 2(2)(2) st aaastdastmd ， 因为2 0stm 且2stmZ ， 所以 11 (2) s t m astmda ， 综上可得，原结论成立 21 （18 分）已知函数 2 2 ,0 ( ) log,0 x x f x x x （1）解不等式( ) 0 x f x ； （2）设k、m均为实数，当(x ，m时，( )f x的最大值为 1，且满足此条件的任意实 数x及m的值，使得关于x的不等式 2 ( )(

30、2)310f xmkmk恒成立，求k的取值范围； （3） 设t为实数， 若关于x的方程 2 ( )log ()0f f xtx恰有两个不相等的实数根 1 x、 2 x且 12 xx， 试将 1 22 12 1 2log 2 |1|1| x x xx 表示为关于t的函数， 并写出此函数的定义域 第 14 页（共 14 页） 【解答】解： （1）( ) 0 x f x 等价为 0 20 x x 或 2 0 0 x log x ， 即为0 x或01x ， 则原不等式的解集为(，1； （2）当(x ，m时，( )f x的最大值为 1，故02m剟 要使不等式 2 ( )(2)310f xmkmk恒成立，

31、需要 2 (2)310 1mkmk， 即 2 (2)311 0mkmk对任意0m，2都成立 1 33m剟， 4 (3)8 3 km m ， 由30m， 4 0 3m ，得 4 (3)8484 3 m m ， 当且仅当1m 时等号成立，4k ， 即k的取值范围是4，)； （3）由函数 2 2 ,0 ( ) log,0 x x f x x x ，得 22 ,1 ( ( ) (),1 x x f f x log log x x ， 若1x，则方程 2 ( )log ()0f f xtx变为 2 log ()xtx，即2xtx ，且13t ； 若1x ，则方程 2 ( )log ()0f f xtx变为 222 log (log)log ()xtx，即 2 log xtx ， 且1t 于是 1 x， 2 x分别是方程2xtx 、 2 log xtx 的两个根且 12 1xxt， 1 2212 22() x log xtxxt， 12 11 2 |1|1|xxt ， 故 1 22 12 11 2 2 |1|1| x log xt xxt ，此函数的定义域为(1，3