2021年上海市虹口区高考数学一模试卷（含详细解析）.docx

1、 第 1 页（共 14 页） 2021 年上海市虹口区高考数学一模试卷年上海市虹口区高考数学一模试卷 一一.填空题（本大题共填空题（本大题共 12 题，题，16 每题每题 4 分，分，712 每题每题 5 分，共分，共 54 分）分） 1（4 分） 已知集合 |30Ax x，xR， 2 |280Bx xx，xR， 则AB 2 （4 分）方程 2 220 xx的根是 3 （4 分）行列式 sinsincos | cossincos 的值等于 4 （4 分）函数 2 ( )log (24)f xx的反函数为 1( ) yfx ，则 1 f （4） 5 （4 分）从甲、乙、丙、丁 4 名同学中选 2

2、 名同学参加志愿者服务，则甲、乙两人都没有 被选到的概率为 .（用数字作答） 6 （4 分）在 8 (21)x 的二项式展开式中， 2 x项的系数是 7 （5 分）计算： |423| lim 2 n n n 8 （5 分）过抛物线 2 2(0)ypx p的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A、B 两点，且| 4AB ，则p 9 （5 分）已知(0, )，且有12sin2cos2，则cos 10 （5 分）设 1 F、 2 F分别是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点，点P在双曲线右 支上且满足 212 | |PFFF，双曲线的渐近线方程为430 xy，则 12

3、 cosPFF 11 （5 分）若a、b分别是正数p、q的算术平均数和几何平均数，且a、b、2这三个数 可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pqpq的值形成的集合 是 12 （5 分） 已知数列 n a满足 1 2a ， 且 3 2 nn San（其中 n S为数列 n a前n项和） ，( )f x 是定义在R上的奇函数，且满足(2)( )fxf x，则 2021 ()f a 二二.选择题（本大题共选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若ab，则下列各式中恒正的是( ) A()lg ab B 33 ab C0.50.5 ab

4、D|ab 14 （5 分）在ABC中，若 2 0AB BCAB，则ABC的形状一定是( ) A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 第 2 页（共 14 页） 15 （5 分）已知函数( )sin()(0f xAxA，0)的图象与直线(0)ybbA的三个 相邻交点的横坐标依次是 1、2、4，下列区间是函数( )f x单调递增区间的是( ) A0，3 B 3 ,3 2 C3，6 D 9 3, 2 16 （5 分）在空间，已知直线l及不在l上两个不重合的点A、B，过直线l做平面，使 得点A、B到平面的距离相等，则这样的平面的个数不可能是( ) A1 个 B2 个 C3 个 D无

5、数个 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 题，共题，共 14+14+14+16+1876 分）分） 17 （14 分）如图在三棱锥PABC中，棱AB、AC、AP两两垂直，3ABACAP， 点M在AP上，且1AM （1）求异面直线BM和PC所成的角的大小； （2）求三棱锥PBMC的体积 18 （14 分）已知函数 22 ( )(1)(1)(1)f xaxaxa，其中aR （1）当( )f x是奇函数时，求实数a的值； （2）当函数( )f x在2，)上单调递增时，求实数a的取值范围 19 （16 分）如图所示，A、B两处各有一个垃圾中转站，B在A的正东方向16km处，AB 的南面为居民生

6、活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面P处建一个发电厂， 利用垃圾发电，要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：)km与它们每天集中的生活垃 圾量（单位：吨）成反比，现估测得A、B两处中转站每天集中的生活垃圾量分别为约为 30 吨和 50 吨 （1）当15APkm时，求APB的值； （2）发电厂尽量远离居民区，要求PAB的面积最大，问此时发电厂与两个垃圾中转站的 距离各为多少？ 第 3 页（共 14 页） 20 （14 分）已知点( 1,0)A 、(1,0)B，直线:0l axbyc（其中a，b，)cR，点P在 直线l上 （1）若a、b、c是常数列，求|PB的最小值； （2）若a、b

7、、c是成等差数列，且PAl，求|PB的最大值； （3）若a、b、c是成等比数列，且PAl，求|PB的取值范围 21 （18 分）设x是实数，n是整数，若 1 | 2 xn，则称n是数轴上与x最接近的整数 （1）数列 n a的通项为 n a，且对任意的正整数n，n是数轴上与 n a最接近的整数，写出一 个满足条件的数列 n a的前三项； （2）数列 n a的通项公式为 n an，其前n项和为 n S，求证：整数 n a是数轴上与实数2 n S 最接近的整数； （3） n T是首项为 2，公比为 2 3 的等比数列的前n项和， n d是数轴上与 n T最接近的正整数， 求 122020 ddd 第

8、 4 页（共 14 页） 2021 年上海市虹口区高考数学一模试卷年上海市虹口区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题（本大题共填空题（本大题共 12 题，题，16 每题每题 4 分，分，712 每题每题 5 分，共分，共 54 分）分） 1 （4 分）已知集合 |30Ax x，xR， 2 |280Bx xx，xR，则AB ( 3,2) 【解答】解： |30Ax x， |3xRx x ， 2 |280Bx xx， | 42xRxx | 32ABxx ， 故答案为：( 3,2) 2 （4 分）方程 2 220 xx的根是 1i 【解答】解：因为判别式484 ， 所以

9、由一元二次方程的求根公式可得方程的根为 2422 1 22 i i ， 故答案为：1i 3 （4 分）行列式 sinsincos | cossincos 的值等于 1 【解答】解： 22 sinsincos | sin(sincos )cos (sincos )sinsincoscossincos1 cossincos 故答案为：1 4 （4 分）函数 2 ( )log (24)f xx的反函数为 1( ) yfx ，则 1 f （4） 6 【解答】解：函数 2 ( )log (24)f xx的反函数为 1( ) yfx ， 要求 1 f （4）的值，即可求使得 2 log (24)4x 的x

10、值， 由 2 log (24)4x ，得2416x ，则6x 1 f （4）6 故答案为：6 5 （4 分）从甲、乙、丙、丁 4 名同学中选 2 名同学参加志愿者服务，则甲、乙两人都没有 第 5 页（共 14 页） 被选到的概率为 1 6 .（用数字作答） 【解答】解：根据题意， 从甲、乙、 丙、 丁 4 名同学中选 2 名同学参加志愿者服务，有 2 4 6C 种选法， 则甲、乙两人都没有被选到，即丙丁被选到的情况有 1 种， 则甲、乙两人都没有被选到的概率 1 6 P ， 故答案为： 1 6 6 （4 分）在 8 (21)x 的二项式展开式中， 2 x项的系数是 112 【解答】解：根据题意

11、， 8 (21)x 的展开式通项为 8 18(2 ) rr r TCx ， 当6r 时，有 222 78(2 ) 112TCxx， 即 2 x项的系数是 112， 故答案为：112 7 （5 分）计算： |423| lim 2 n n n 2 【解答】解： 23 4 |423|423 limlimlim2 222 nnn nn n nn 故答案为：2 8 （5 分）过抛物线 2 2(0)ypx p的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于A、B 两点，且| 4AB ，则p 2 【解答】解：抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为( 2 p ，0)， 可得直线AB的方程为 2 p x ， 代入抛物

12、线方程可得 22 yp，即yp， 即有| 24ABp， 解得2p ， 故答案为：2 9 （5 分）已知(0, )，且有12sin2cos2，则cos 5 5 【解答】解：由12sin2cos2，得1cos22sin2， 第 6 页（共 14 页） 即 2 2sin4sincos； 又(0, )，所以sin0， 所以sin2cos0； 由 22222 sincos(2cos )cos5cos1， 解得 5 cos 5 故答案为： 5 5 10 （5 分）设 1 F、 2 F分别是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点，点P在双曲线右 支上且满足 212 | |PFFF，

13、双曲线的渐近线方程为430 xy，则 12 cosPFF 4 5 【解答】解：设双曲线的半焦距为c， 由双曲线的渐近线方程，可得 4 3 b a ， 则 2222 165 93 cabaaa， 在 12 PFF中， 212 | | 2PFFFc， 1 | 22PFca， 由余弦定理可得 222 12 (2 )(22 )(2 ) cos 22 (22 ) ccac PFF cca 5 4 3 10 25 3 aa ac c a 故答案为： 4 5 11 （5 分）若a、b分别是正数p、q的算术平均数和几何平均数，且a、b、2这三个数 可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pqpq的

14、值形成的集合是 9 【解答】解：a、b分别是正数p、q的算术平均数和几何平均数， 2 pq a ，bpq，且2a b ， a、b、2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， 2 22 ( 2) ba ab ，解得4a ，1b ， 8pq，1pq ，9pqpq， 第 7 页（共 14 页） pqpq的值形成的集合是9 故答案为：9 12 （5 分） 已知数列 n a满足 1 2a ， 且 3 2 nn San（其中 n S为数列 n a前n项和） ，( )f x 是定义在R上的奇函数，且满足(2)( )fxf x，则 2021 ()f a 0 【解答】解： 3 2 nn San

15、， 11 3 1(2) 2 nn Sann ， 两式相减得， 11 33 1 22 nnnnn aSSaa ， 化简整理得， 1 13(1) nn aa ， 1 1 3 1 n n a a ，即数列1 n a 是以3为首项，3 为公比的等比数列， 1 13 33 nn n a ， 31 n n a ( )f x是定义在R上的奇函数，且满足(2)( )fxf x， 令2x ，则f（2）(0)0f， 令2xx，则(4)(2)(2)fxf xfx ， (4)( )()fxf xfx ，即( )f x是以 4 为周期的周期函数 20212021 2021 31(41)1a 0 2021 4C 2021

16、01 2021 ( 1)4C 202012020 2021 ( 1)4C 120202021 2021 ( 1)4C 02021 ( 1) 1 0 2021 4C 202101 2021 ( 1)4C 202012020 2021 ( 1)4C 12020 ( 1)2， 其中 0 20214 C 202101 2021 ( 1)4C 202012020 2021 ( 1)4C 12020 ( 1)能被 4 整除， 2021 2021 ()( 31)f aff（2）0 故答案为：0 二二.选择题（本大题共选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若

17、ab，则下列各式中恒正的是( ) A()lg ab B 33 ab C0.50.5 ab D|ab 【解答】解：选项A：令1a ， 1 2 b ，则 1 2 ab，而 1 20 2 lglg ，A错误， 选项B：因为函数 3 yx在R上单调递增，又ab，所以有 33 ab，则 33 0ab，B正 第 8 页（共 14 页） 确， 选项C： 因为函数0.5xy 在R上单调递减， 又ab， 所以有0.50.5 ab ， 即0 . 50 . 50 ab ， C错误， 选项D：令1a ，2b ，则| 1210ab ，D错误， 故选：B 14 （5 分）在ABC中，若 2 0AB BCAB，则ABC的形

18、状一定是( ) A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 【解答】解：在ABC中， 2 ()0AB BCABAB ABBCAB AC，ABAC， 2 A ，则ABC为直角三角形， 故选：B 15 （5 分）已知函数( )sin()(0f xAxA，0)的图象与直线(0)ybbA的三个 相邻交点的横坐标依次是 1、2、4，下列区间是函数( )f x单调递增区间的是( ) A0，3 B 3 ,3 2 C3，6 D 9 3, 2 【解答】解：与直线(0)ybbA的三个相邻交点的横坐标分别是 1，2，4， 知函数的周期为 2 413T ，解得 2 3 ， 再由三角函数的图象与直线(0

19、)ybbA知， 1 与 2 的中点必为函数的最大值的横坐标， 由五点法知 23 322 ，解得 2 ， 22 ( )sin()cos() 323 f xAxAx ， 令 2 22 3 kxk 剟，kZ，解得 3 33 2 k xk 剟，kZ， 当0k 时，( )f x的单调递增区间是3， 9 2 故选：D 16 （5 分）在空间，已知直线l及不在l上两个不重合的点A、B，过直线l做平面，使 得点A、B到平面的距离相等，则这样的平面的个数不可能是( ) A1 个 B2 个 C3 个 D无数个 第 9 页（共 14 页） 【解答】解：如图：当直线AB与l异面时，则只有一种情况； 当 直 线AB与l

20、平 行 时 ， 则 由 无 数 种 情 况 ， 平 面可 以 绕 着l转 动 ； 如图，当直线l在AB的中垂面时，有两种情况 第 10 页（共 14 页） 故选：C 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 题，共题，共 14+14+14+16+1876 分）分） 17 （14 分）如图在三棱锥PABC中，棱AB、AC、AP两两垂直，3ABACAP， 点M在AP上，且1AM （1）求异面直线BM和PC所成的角的大小； （2）求三棱锥PBMC的体积 【解答】解： （1）在AC上取点N，使 1 1 3 ANAC，连接MN，BN， 3AP ，1AM ， / /MNPC， BMN或其补角即为异面直线

21、BM和PC所成的角， 在BMN中，10BM ，2MN ，10BN ， 由余弦定理知， 222 25 cos 2102102 BMMNBN BMN BM MN ， 第 11 页（共 14 页） 5 arccos 10 BMN， 异面直线BM和PC所成的角的大小为 5 arccos 10 （2） 111 ()3 323 332 P ABCMABCABC VVVSAPAM ， 故三棱锥PBMC的体积为 3 18 （14 分）已知函数 22 ( )(1)(1)(1)f xaxaxa，其中aR （1）当( )f x是奇函数时，求实数a的值； （2）当函数( )f x在2，)上单调递增时，求实数a的取值范

22、围 【解答】解： （1）由函数( )f x为奇函数可得()( )fxf x ， 则 2222 (1)()(1)()(1)(1)(1)(1)axaxaaxaxa ， 所以 2 10 10 a a ，解得1a （2）当1a 时，( )2f xx ，为减函数，不符合题意； 当1a 时，函数 22 ( )(1)(1)(1)f xaxaxa的对称轴为 1 2(1) a x a ， 因为函数( )f x在2，)上单调递增， 所以 10 1 2 2(1) a a a ，解得 3 5 a 综上，实数a的取值范围是 3 5 a 19 （16 分）如图所示，A、B两处各有一个垃圾中转站，B在A的正东方向16km处

23、，AB 的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面P处建一个发电厂， 利用垃圾发电，要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：)km与它们每天集中的生活垃 圾量（单位：吨）成反比，现估测得A、B两处中转站每天集中的生活垃圾量分别为约为 第 12 页（共 14 页） 30 吨和 50 吨 （1）当15APkm时，求APB的值； （2）发电厂尽量远离居民区，要求PAB的面积最大，问此时发电厂与两个垃圾中转站的 距离各为多少？ 【解答】解： （1）由题意15PA ， 505 303 PA PB ， 可得9PB ， 可得 222222 159165 cos 22 15 927 APP

24、BAB APB AP PB ， 所以 5 arccos 27 APB （2） 222 cos 2 PAABPB PAB PA AB ，设5PAx，则3PBx， 可得 8 cos 105 x PAB x ，可得 2 sin1PABcosPAB， P到AB距离sinhPAPAB， 42 2 2 864 5 102525 xx hx 42 1 1764 4 xx 22 1 (34)225 4 x， 当 2 340 x ，即34x ，h取得最大值为15km， 因此选址方案满足5 34PAkm，3 34PBkm 20 （14 分）已知点( 1,0)A 、(1,0)B，直线:0l axbyc（其中a，b，

25、)cR，点P在 直线l上 （1）若a、b、c是常数列，求|PB的最小值； （2）若a、b、c是成等差数列，且PAl，求|PB的最大值； （3）若a、b、c是成等比数列，且PAl，求|PB的取值范围 第 13 页（共 14 页） 【解答】解： （1）a、b、c是常数列， 0abc， 直线l的方程为10 xy ， 点B到直线l的距离为|101|22dfracsqrtsqrt， |PB的最小值为2sqrt； （2）当a，b，c成等差数列时，2bac，即20abc，直线l过点(1, 2)M， 由于PAl，故点P在以AM为直径的圆上，此圆的圆心为(0, 1)C，半径为2sqrt，方 程为 22 (1)2

26、xy， 而点B在此圆上，故|PB的最大值为|2222BCrsqrtsqrtsqrt ； （3）由a，b，c成等比数列，得 2 bac，a，b，c都不为 0， 由 (1) 0.leftbegin arraylyfrac baxaxbycend arrayright， 得 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) .l e f tb e g i na r r a ylxf r a cbabyf r a cbabaabe n da r ra yr i g h t ， 22222222 2222 242242224 |( 2 1) ( ) ( ) 6 ( )( )6( PBfracbabfrac

27、babaabfracaabbaabfracfrac bafrac ba 22 )1( )1frac ba ， 令 2 ( )1(1,2)(2,)tfrac ba ，则 2 |44(1,4)(4,)PBtfract ， |PB的取值范围为(1，2)(2，) 21 （18 分）设x是实数，n是整数，若 1 | 2 xn，则称n是数轴上与x最接近的整数 （1）数列 n a的通项为 n a，且对任意的正整数n，n是数轴上与 n a最接近的整数，写出一 个满足条件的数列 n a的前三项； （2）数列 n a的通项公式为 n an，其前n项和为 n S，求证：整数 n a是数轴上与实数2 n S 最接近的

28、整数； 第 14 页（共 14 页） （3） n T是首项为 2，公比为 2 3 的等比数列的前n项和， n d是数轴上与 n T最接近的正整数， 求 122020 ddd 【解答】解： （1）由题意可得 n an，可得 1 | 2 n an， 所以 1 1 |1| 2 a ， 1 1a ，满足条件； 2 1 |2| 2 a ， 2 2a ，满足条件； 3 1 |3| 2 a ， 3 3a ，满足条件； （2）因为 n an， 所以 (1) 2 n n n S ，可得2(1) n Sn n， 所以 11 |2| |(1)|(1) 211 11 nn n San nnnnn nn n ， 整数 n a是数轴上与实数2 n S最接近的整数 （3） 2 21( ) 2 3 61( ) 2 3 1 3 n n n T ， n T为递增数列， 1 2T ，所以 1 2d ， 5 422 81 T ， 5 5d ； 2 10 3 T ，所以 2 3d ， 6 1330 243 T ， 6 5d ； 3 38 4 T ，所以 3 4d ， 7 4118 729 T ， 7 6d ； 6 13 27 T ，所以 4 5d ， 当7n时， 21 |6| 6( ) 32 n n T ，所以6 n d ， 所以 122020 2345 36201412108ddd