2021年上海市奉贤区高考数学一模试卷（含详细解析）.docx

1、 第 1 页（共 18 页） 2021 年上海市奉贤区高考数学一模试卷年上海市奉贤区高考数学一模试卷 一填空题（本大题满分一填空题（本大题满分 36 分）本大题共有分）本大题共有 12 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直题，考生应在答题纸相应编号的空格内直 接写结果，接写结果，16 题每个空格填对得题每个空格填对得 4 分，分，712 题每个空格填对得题每个空格填对得 5 分分 1 （3 分） 已知椭圆 22 1641frac xfrac y上的一点P到椭圆一个焦点的距离为 6， 则点P到另一个焦点的距离为 2 （3 分）在 6 1 ()x x 展开式中，常数项为 （用数值表示） 3 （3

2、分）若实数x，y满足 0 1 20 x y xy ，则zxy的最大值为 4 （3 分）复数24 1fracii的虚部是 5 （3 分）设集合 2 |(45)Ax ylg xx，则A 6 （3 分）已知函数( )sin(3)( 2 2)f xxfracfrac的图象关于直线 4xfrac对称，则 7 （3 分）等差数列 _ an中，公差为d，设_ Sn是 _ an的前n项之和，且1d ， 计算_( _ (1) _ 1) n mathop limlimitsnfrac Snnanfracd 8 （3 分）若抛物线 2 8yx的准线与曲线 22 41(0)frac xafrac yy只有一个交 点，

3、则实数a满足的条件是 9 （3 分）某工厂生产A、B两种型号的不同产品，产品数量之比为2:3用分层抽样的方 法抽出一个样本容量为n的样本，则其中A种型号的产品有 14 件现从样本中抽出两件产 品，此时含有A型号产品的概率为 10 （3 分）对于正数a、b，称2frac ab 是a、b的算术平均值，并称sqrt ab是a、 b的几何平均值设1x ，1y ，若lnx、lny的算术平均值是 1，则 x e、 y e的几何平均 值(e是自然对数的底）的最小值是 11 （3 分）在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，点 1 P， 2 P分别是线段AB， 1 BD（不 包括端点）上的动点

4、，且线段 12 PP平行于平面 11 A ADD，则四面体 121 PP AB的体积的最大值 是 12 （ 3分 ） 已 知( )yf x是 奇 函 数 ， 定 义 域 为 1，1， 当0 x 时 ， 第 2 页（共 18 页） 21 | 1( ( ) |(12)0,) x f xfracxQ ， 当函数( )( )g xf xt有 3 个零点时， 则 实数t的取值范围是 二选择题（本大题满分二选择题（本大题满分 20 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得答题纸的相应编

5、号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律零分分，否则一律零分 13 （5 分）已知a，bR，则“ | 22| a b”是“ 22 ab”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 14 （5 分）设 overrightarrow d是直线_1:_1_1_10laxbyc的一个方向向量， overrightarrow n是 直 线_ 2 :_ 2_ 2_ 20laxbyc的 一 个 法 向 量 ， 设 向 量 overrightarrow d与向量 overrightarrow n的夹角为，则|cos|为( ) A 2222 | _1 _2 _

6、1 _2| _1 _1 _2 _2 fracaabbsqrtabsqrtab B 2222 | _1 _2 _1 _2| _1 _1 _2 _2 fracaabbsqrtabsqrtab C 2222 | _1 _2 _2 _1| _1 _1 _2 _2 fracababsqrtabsqrtab D 2222 | _1 _2 _2 _1| _1 _1 _2 _2 fracababsqrtabsqrtab 15 （5 分）已知垂直竖在水平地面上相距 20 米的两根旗杆的高分别为 10 米和 15 米，地面 上的动点P到两旗杆顶点的仰角相等，则点P的轨迹是( ) A椭圆 B圆 C双曲线 D抛物线

7、16 （5 分）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德黎曼发现提出，在 高等数学中有着广泛的应用其定义黎曼函数( )R x为：当 (xfrac qpp，q为正整数， frac qp是既约真分数）时( )1 R xfracp，当0 x 或1x 或x为0，1上的无理数 时( )0R x 已知a、b、ab都是区间0，1内的实数，则下列不等式一定正确的是( ) A()R abR（a）R（b） B()R a bR（a）R（b） C()R abR（a）R（b） D()R a bR（a）R（b） 三解答题（第三解答题（第 1719 题每题题每题 14 分，第分，第 20 题题 16 分，第分，

8、第 21 题题 18 分，满分分，满分 0 分）分） 第 3 页（共 18 页） 17如图，在四棱锥PABCD中，已知PA 平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形， 2ABCBADfrac，2AD ，1ABBC （1）当四棱锥PABCD的体积为 1 时，求异面直线AC与PD所成角的大小； （2）求证：CD 平面PAC 18在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度v（单位：/ )m s和燃料的质量M（单位： )kg，火箭（除燃料外）的质量m（单位：)kg满足 2000 (1)( v M ee m 为自然对数的底） （1）当燃料质量M为火箭（除燃料外）质量m的两倍时，求火箭的最大速度（单位：/ )

9、m s 结果精确到0.1)； （2）当燃料质量M为火箭（除燃料外）质量m的多少倍时，火箭的最大速度可以达到 8000/m s（结果精确到0.1) 19在3acsqrt；sin3cA ；三边成等比数列这三个条件中任选一个，补充在 下面问题中，若问题中的三角形存在，求解此三角形的边长和角的大小；若问题中的三角形 不存在，请说明理由 问题： 是否存在ABC， 它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c， 且s i n 3 s i nAs q r tB， 6Cfrac，_ 20如图，曲线的方程是 2 | 1xy y，其中A、B为曲线与x轴的交点，A点在B点 的左边，曲线与y轴的交点为D已知_1(,0)F

10、c，_2( ,0)Fc，0c ，_1DBF的 面积为122fracsqrt （1）过点B作斜率为k的直线l交曲线于P、Q两点（异于B点） ，点P在第一象限，设 点P的横坐标为_ xP、Q的横坐标为_ xQ，求证：_ _ xPxQ是定值； （2）过点_2F的直线n与曲线有且仅有一个公共点，求直线n的倾斜角范围； （3）过点B作斜率为k的直线l交曲线于P、Q两点（异于B点） ，点P在第一象限，当 _1 _1 322overrightarrowFPoverrightarrowFQsqrt时，求 第 4 页（共 18 页） |overrightarrowAPoverrightarrow AQ成立时的值

11、 21已知数列 _ an满足_ 0an 恒成立 （1） 若 2 _ _ 2 _ 1 a na na nk且_ 0an ， 当 _ l g a n成等差数列时， 求k的值； （2）若 2 _ _2 2 _1 an anan且_ 0an ，当_ 1 1a，_4162asqrt时，求 _2a以及_ an的通项公式； （3）若_ _212 _1 _3an anfracanan ，_11a ，_3 4a，8， _20200a，设_ Sn是 _ an的前n项之和，求_2020S的最大值 第 5 页（共 18 页） 2021 年上海市奉贤区高考数学一模试卷年上海市奉贤区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参

12、考答案与试题解析 一填空题（本大题满分一填空题（本大题满分 36 分）本大题共有分）本大题共有 12 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直题，考生应在答题纸相应编号的空格内直 接写结果，接写结果，16 题每个空格填对得题每个空格填对得 4 分，分，712 题每个空格填对得题每个空格填对得 5 分分 1 （3 分） 已知椭圆 22 1641frac xfrac y上的一点P到椭圆一个焦点的距离为 6， 则点P到另一个焦点的距离为 2 【解答】解：由已知椭圆的方程可得 2 16a，所以4a ， 设椭圆的两个焦点分别为_1F，_2F， 则由椭圆的定义可知|_1|_2| 28PFPFa， 不妨设|_1

13、| 6PF，则|_2| 2PF， 即点P到另一个焦点的距离为 2， 故答案为：2 2 （3 分）在 6 1 ()x x 展开式中，常数项为 20 （用数值表示） 【解答】解：二项式 616 1 ()()xxx x ， 其展开式的通项公式为： 616 2 166 ()( 1) rrrrrr r TCxxCx ， 当620r时，得3r ， 所以展开式的常数项为： 33 46 ( 1)20TC 故答案为：20 3 （3 分）若实数x，y满足 0 1 20 x y xy ，则zxy的最大值为 3 【解答】解：根据不等式组画出可行域如图中ABO所示， 第 6 页（共 18 页） 目标函数zxy可看作直线

14、yxz ， 把图中的虚线进行平移， 可知在点A处， 直线在y 轴上的截距最大， 而点A的坐标为(2,1)，所以213 max Z 故答案为：3 4 （3 分）复数24 1fracii的虚部是 1 【解答】解：复数24 1(24 )(1)(1)(1)3fraciifraciiiii， 复数24 1fracii的虚部是 1， 故答案为：1 5 （3 分）设集合 2 |(45)Ax ylg xx，则A R 【解答】解： 22 45(2)10 xxx 恒成立， 2 450 xx的解集为R， 2 |450Ax xxR 故答案为：R 6 （3 分）已知函数( )sin(3)( 2 2)f xxfracfr

15、ac的图象关于直线 4xfrac对称，则 4frac 【 解 答 】 解 ： 数( )sin(3)( 2 2)f xxfracfrac的 图 象 关 于 直 线 4xfrac对称， 所以3 4 2()fracfracZkk， 解得 4()fracZkk， 由于 2 2fracfrac， 当0k时， 4frac 故答案为： 4frac 7 （3 分）等差数列 _ an中，公差为d，设_ Sn是 _ an的前n项之和，且1d ， 计算_(_(1)_1) n mathoplimlimitsnfracSnnanfracd 12frac 【解答】解：在等差数列 _ an中，有_ _1(1)anand，

16、_ _1 (1)2Snn afrac n nd， 则 第 7 页（共 18 页） 22 _ (1) _ 1 _1 (1)2 (1)( _1(1) )1 2 ( _1 2) _1 _1 nn frac Snnanfracdfrac n afrac n ndnandfracdfracfrac dnafrac dnd nanad ， 故 22 _( _ (1) _ 1)_( 2 ( _1 2) _1 _1) 2 12 n mathop limlimitsnfrac Snnanfracdlim limitsnfracfrac dnafrac dnd nanadfracfrac ddfrac 故答案为：

17、12frac 8 （3 分）若抛物线 2 8yx的准线与曲线 22 41(0)frac xafrac yy只有一个交 点，则实数a满足的条件是 (,0)4，) 【解答】解：根据题意得抛物线 2 8yx的准线为2x ， 当0a 时，曲线 22 41(0)frac xafrac yy为椭圆在x轴及上方一部分， 所以 sqrt axsqrt a剟， 因为抛物线 2 8yx的准线与曲线 22 41(0)frac xafrac yy只有一个交点， 所以 2sqrt a，解得4a， 当0a 时，曲线 22 41(0)frac xafrac yy为双曲线在x轴上方一部分， 此时(,)x ， 所以符合题意，

18、综上所述，a的取值范围为(,0)4，) 故答案为：(,0)4，) 9 （3 分）某工厂生产A、B两种型号的不同产品，产品数量之比为2:3用分层抽样的方 法抽出一个样本容量为n的样本，则其中A种型号的产品有 14 件现从样本中抽出两件产 品，此时含有A型号产品的概率为 1117frac 【解答】解：某工厂生产A、B两种型号的不同产品，产品数量之比为2:3 设A产品数量为2k，B产品数量为3k， 用分层抽样的方法抽出一个样本容量为n的样本，则其中A种型号的产品有 14 件 则 23 142 frac nfrackkk，解得35n ， 样本单元数为 35，其中A产品数量为 14，B产品数量为 21，

19、 现从样本中抽出两件产品，基本事件总数 2 _35595nC， 第 8 页（共 18 页） 含有A型号产品包含的基本事件个数 112 _14 _21 _14385mCCC， 含有A型号产品的概率为 3855951117Pfrac mnfracfrac 故答案为：1117frac 10 （3 分）对于正数a、b，称2frac ab 是a、b的算术平均值，并称sqrt ab是a、 b的几何平均值设1x ，1y ，若lnx、lny的算术平均值是 1，则 x e、 y e的几何平均 值(e是自然对数的底）的最小值是 2 e sqrte 【解答】解：由题意可得，2lnxlny， 故 2 xye， x e

20、、 y e的几何平均值 22 xyxye sqrteesqrtesqrtesqrtxysqrte ， 当且仅当xye时取等号 故答案为： 2 e sqrte， 11 （3 分）在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，点 1 P， 2 P分别是线段AB， 1 BD（不 包括端点）上的动点，且线段 12 PP平行于平面 11 A ADD，则四面体 121 PP AB的体积的最大值是 1 24 【解答】 解： 由题意在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中， 点 1 P， 2 P分别是线段AB， 1 BD （不包括端点）上的动点，且线段 12 PP平行于平面 11 A

21、ADD， 12 PP B 1 AD B， 设 1 PBx，(0,1)x， 则 12 2PPx， 2 P到平面 11 AAB B的距离为x， 所以四面体 121 PP AB的体积为 2 111 1(1)() 326 Vxxxx ， 当 1 2 x 时，体积取得最大值： 1 24 故答案是： 1 24 第 9 页（共 18 页） 12 （ 3分 ） 已 知( )yf x是 奇 函 数 ， 定 义 域 为 1，1， 当0 x 时 ， 21 |1 ( ()| ( 1 2 ) 0 ,) x fxf r a cxQ ， 当函数( )( )g xf xt有 3 个零点时， 则 实数t的取值范围是 ( 1,1

22、2012,1)fracfrac 【解答】解：当(0 x，1时，易知函数 21 (12) x yfracx 单调递减，且0 x 时， 2y ，1x 时，12yfrac ，其大致图象如下， 21 ( ) |(12)| 1 x f xfracx 在(0，1的大致图象如下， 又函数( )f x是定义在 1，1上的奇函数，故函数( )f x的图象如下， 第 10 页（共 18 页） 要使函数( )( )g xf xt有 3 个零点，只需函数( )yf x的图象与直线yt有且仅有 3 个交 点， 由图象可知，( 1,12012,1)tfracfrac 故答案为：( 1,12012,1)fracfrac 二

23、选择题（本大题满分二选择题（本大题满分 20 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律零分分，否则一律零分 13 （5 分）已知a，bR，则“ | 22| a b”是“ 22 ab”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 【解答】 解： 根据题意， 若 “ | 22| a b” ， 必有|ab， 则有 “ 22 ab” ， 故 “ | 22| a b” 是“ 22

24、ab”的充分条件， 反之，若“ 22 ab” ，则有| |ab，此时|ab不一定成立，即“ | 22| a b”不一定成 立，则“ | 22| a b”是“ 22 ab”的不必要条件， 故“ | 22| a b”是“ 22 ab”的充分非必要条件， 故选：A 14 （5 分）设 overrightarrow d是直线_1:_1_1_10laxbyc的一个方向向量， overrightarrow n是 直 线_ 2 :_ 2_ 2_ 20laxbyc的 一 个 法 向 量 ， 设 向 量 overrightarrow d与向量 overrightarrow n的夹角为，则|cos|为( ) A

25、2222 | _1 _2 _1 _2| _1 _1 _2 _2 fracaabbsqrtabsqrtab 第 11 页（共 18 页） B 2222 | _1 _2 _1 _2| _1 _1 _2 _2 fracaabbsqrtabsqrtab C 2222 | _1 _2 _2 _1| _1 _1 _2 _2 fracababsqrtabsqrtab D 2222 | _1 _2 _2 _1| _1 _1 _2 _2 fracababsqrtabsqrtab 【解答】解：根据题意， overrightarrow d是直线_1:_1_1_10laxbyc的一个 方向向量，则 overright

26、arrow d可以为( _1b，_1)a， overrightarrow n是 直 线_ 2 :_ 2 _ 2 _ 2 0laxbyc的 一 个 法 向 量 ， 则 (_ 2 o v e r r i g h t a r r o w na，_2)b， 向量overrightarrowd与向量overrightarrown的夹角为，则 2222 cos | | | _2 _1 _1 _2 _1 _1 _2 _2frac overrightarrow doverrightarrow noverrightarrow doverrightarrow nfracababsqrtabsqrtab ， 故 2

27、222 |cos| | _1 _2 _2 _1| _1 _1 _2 _2 fracababsqrtabsqrtab ， 故选：C 15 （5 分）已知垂直竖在水平地面上相距 20 米的两根旗杆的高分别为 10 米和 15 米，地面 上的动点P到两旗杆顶点的仰角相等，则点P的轨迹是( ) A椭圆 B圆 C双曲线 D抛物线 【解答】 解： 设两根旗杆 1 AA、 1 BB分别在地面A、B两处， 不妨设 1 15AAm， 1 10BBm， 地面上的动点P到两旗杆顶点的仰角相等， 设满足条件的点为P，则直角 1 PAA直角 1 PBB，因此 3 2 PA PB ； 在地面上以AB所在直线为x轴，以AB

28、的中点 0 为坐标原点，建立平面直角坐标系，设 ( , )P x y，(10,0)A，( 10,0)B ，则： 22 22 (10)3 2 (10) xy xy 化简整理得： 22 (26)576xy 因此在A、B所在直线上距离B点 16 米A点 36 处的点为圆心，以 24 为半径画圆，则圆上 的点到两旗杆顶点的仰角相等， 第 12 页（共 18 页） 即： 地面上的动点P到两旗杆顶点的仰角相等的点P的轨迹是在A、B所在直线上距离B点 16 米（距离A点 36 处）的点为圆心，以 24 为半径的圆 故选：B 16 （5 分）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德黎曼发现提出，在

29、 高等数学中有着广泛的应用其定义黎曼函数( )R x为：当 (xfrac qpp，q为正整数， frac qp是既约真分数）时( )1 R xfracp，当0 x 或1x 或x为0，1上的无理数 时( )0R x 已知a、b、ab都是区间0，1内的实数，则下列不等式一定正确的是( ) A()R abR（a）R（b） B()R a bR（a）R（b） C()R abR（a）R（b） D()R a bR（a）R（b） 【解答】 解： 设 |, , q Ax xp q p 为正整数 是既约真分数， |0Bx x或1x 或x是0， 1上的无理数， 当aA，bA，则()R abR（a）R（b） ，()R

30、 a bR（a）R（b） ； 当aB，bB，则()R abR（a）R（b） ，()R a bR（a）R（b）0； 当 .leftbegin arraylaAbBend arrayright或 .leftbegin arraylaBbAend arrayright，则()R abR（a）R（b） ， ()R a bR（a）R（b） 综上，选项B一定正确 故选：B 三解答题（第三解答题（第 1719 题每题题每题 14 分，第分，第 20 题题 16 分，第分，第 21 题题 18 分，满分分，满分 0 分）分） 17如图，在四棱锥PABCD中，已知PA 平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，

31、 2ABCBADfrac，2AD ，1ABBC （1）当四棱锥PABCD的体积为 1 时，求异面直线AC与PD所成角的大小； （2）求证：CD 平面PAC 第 13 页（共 18 页） 【解答】解： （1） 由题意 1 3 ABCD VSPA 梯形 ，可得113 (12) 12fracfracPA， 解得2PA， 如图， 以A为原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系Axyz， 可得(0A，0，0)，(1C，1，0)，(0D，2，0)，(0P，0，2)， 可 得( 1o v e r r i g h t a r r o wA C， 1 ，0)，(0overrightar

32、row PD ， 2 ，2)， | | 2overrightarrow ACsqrt，| 22overrightarrow PDsqrt， 所以 1 01 20 ( 2)2overrightarrow ACoverrightarrow PD ， 设AC与PD所成角为， 可得 cos|222212fracoverrightarrowACoverrightarrowPDoverrightarrowACoverrightarrowPDfracsqrtsqrtfrac ，可得AC与PD所成角为 3frac （2）证明：由（1）可得( 1overrightarrow CD ，1，0)，(1overrig

33、htarrow AC ，1， 0) 所以 ( 1) 1 1 10 00overrightarrow CDoverrightarrow AC ，可得ACCD， 又PA 平面ABCD，CD 平面ABCD，可得PACD， 又PAACA， 第 14 页（共 18 页） 所以CD 平面PAC，得证 18在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度v（单位：/ )m s和燃料的质量M（单位： )kg，火箭（除燃料外）的质量m（单位：)kg满足 2000 (1)( v M ee m 为自然对数的底） （1）当燃料质量M为火箭（除燃料外）质量m的两倍时，求火箭的最大速度（单位：/ )m s 结果精确到0.1)； （

34、2）当燃料质量M为火箭（除燃料外）质量m的多少倍时，火箭的最大速度可以达到 8000/m s（结果精确到0.1) 【解答】 （） 2000 (1) v M e m ， 2000 (1)2000 (1) MM vlnln mm ， 当燃料质量M为火箭（除燃料外）质量m两倍时，即2Mm， 2000 32000 1.0992198(/ )vlnm s ； 答：当燃料质量M为火箭质量m两倍时，火箭的最大速度为2198/m s （） 2000 (1) v M e m ， 2000 1 v M e m ， 8000 4 2000 1154 M ee m ，598154 ， 答：当燃料质量M为火箭质量m的

35、54 倍时，火箭最大速度可以达到8/km s 19在3acsqrt；sin3cA ；三边成等比数列这三个条件中任选一个，补充在 下面问题中，若问题中的三角形存在，求解此三角形的边长和角的大小；若问题中的三角形 不存在，请说明理由 问题： 是否存在ABC， 它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c， 且s i n 3 s i nAs q r tB， 6Cfrac，_ 【解答】解：若选3acsqrt， 因为ABC中，sin3sinAsqrtB，即33bfrac sqrta， 又3acsqrt，可得3 cfrac sqrta， 所以 2222222 cos23323332Cfracabcabfrac

36、afracafracafracsqrtafracsqrt ， 第 15 页（共 18 页） 所以3asqrt，1b ，1c ， 6BCfrac，2 3Afrac 若选sin3cA ， 因为ABC中，sinsinsin 63cAaCafrac，解得6a ， 因为sin3sinAsqrtB，即3asqrtb，解得23bsqrt 所以 2222 cos23612262332Cfracabcabfraccsqrtfracsqrt ， 可得23csqrt， 所以 6BCfrac，2 3Afrac 若选，三边成等比数列， 因为sin3sinAsqrtB， 6Cfrac，可得3asqrtb， 由余弦定理可得

37、 222222 2cos(3 )2332cababCsqrtbbsqrtbbfrac sqrtb ， 可 得cb， 所以 6BCfrac，2 3Afrac， 所以abc，与三边成等比数列矛盾，故问题中的三角形不存在 20如图，曲线的方程是 2 | 1xy y，其中A、B为曲线与x轴的交点，A点在B点 的左边，曲线与y轴的交点为D已知_1(,0)Fc，_2( ,0)Fc，0c ，_1DBF的 面积为122fracsqrt （1）过点B作斜率为k的直线l交曲线于P、Q两点（异于B点） ，点P在第一象限，设 点P的横坐标为_ xP、Q的横坐标为_ xQ，求证：_ _ xPxQ是定值； （2）过点_2

38、F的直线n与曲线有且仅有一个公共点，求直线n的倾斜角范围； （3）过点B作斜率为k的直线l交曲线于P、Q两点（异于B点） ，点P在第一象限，当 _1 _1 322overrightarrowFPoverrightarrowFQsqrt时，求 |overrightarrowAPoverrightarrow AQ成立时的值 第 16 页（共 18 页） 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 证 明 ： 设 直 线 方 程(1)yxk与 22 1(0)xyy交 点 坐 标 2 2 _ 1 1xPf r a ckk， 设直线方程(1)yxk与 22 1(0)xyy交点坐标 22 _ 1 1xQfrack

39、k， _ _ 1xPxQ； （2）根据面积12 1 (1)122fraccfracsqrt ，得2csqrt， 设过点_2F，直线n的方程为(2)ymxsqrt，则 22 (2)10.leftbeginarraylymxsqrtxyyendarrayright 只 有 一 个 交 点 ， 故 方 程 222 (2)1xmxsqrt只 有 一 个 解 ， 亦 即 2222 (1 ) 22 2 10mxsqrtmxm ， 由判别式 222 84(1)(21)0mmm，解得1m ， 显然直线n的方程为2xsqrt时也符合题意， 直线n的倾斜角的取值范围为 4,3 4fracfrac； （3） _1

40、( _ 2, _ ), _1 ( _ 2, _ )overrightarrowFPxPsqrtyPoverrightarrowFQxQsqrtyQ ， 222 _1 _1 ( _ 2)( _ 2) _ _ (1 ) _ _ (2 )( _ _ ) 2overrightarrowFPoverrightarrowFQxPsqrtxQsqrtyPyQxPxQsqrtxPxQkkk ， 44 _ _ 2 2 1, _ _ 1xPxQfracxPxQkk， 2244 _1 _1 (32 )(2 ) 2 2 1322overrightarrowFPoverrightarrowFQsqrtfracsqrtk

41、kkk ， 第 17 页（共 18 页） 2 2sqrtk， _ 322, _ 322,| 40282xPsqrtxQsqrtoverrightarrow APsqrtsqrt ，| 842overrightarrow AQsqrtsqrt， 4028284217122322sqrtfracsqrtsqrtsqrtsqrtsqrt 21已知数列 _ an满足_ 0an 恒成立 （1） 若 2 _ _ 2 _ 1 a na na nk且_ 0an ， 当 _ l g a n成等差数列时， 求k的值； （2）若 2 _ _2 2 _1 an anan且_ 0an ，当_ 1 1a，_4162asq

42、rt时，求 _2a以及_ an的通项公式； （3）若_ _212 _1 _3an anfracanan ，_11a ，_3 4a，8， _20200a，设_ Sn是 _ an的前n项之和，求_2020S的最大值 【解答】解： （1） 2 _ _2_1an anank且_ 0an ，且_ lgan成等差数列， 2_1_ _2lganlganlgan， 2 _1_ _2ananan，1k； （2） 2 _ _22 _1ananan，_ 0an ， 2 _1 _32 _2aaa， 2 _2 _42 _3aaa， 32 8 _2 _1_4aaa，_11a，_4162asqrt，_22asqrt， 2

43、_ _22 _1ananan， _2 _12 _1 _ fracananfracanan， _1 _ fracanan是等比数列， 首先 _2 _12fracaasqrt，公比为 2， 1 _1 _ 2 2 n fracanansqrt ，累乘可得： 10 1 2 _ _ _1 _ _1 _1 _2 _2 _3 _3_2 _2 _1(2)2(2) n anfracanafracananfracananfracananfracaafracaasqrtldots n 2 (2) (1)sqrtn ； （3）由 2 _212_1_3(12)_2_4ananfracananfracanan， 以 第

44、18 页（共 18 页） 及_ 0an 知_ 14 _4anfracan对任意 * nN恒成立， 这样 504 _4(14)_2020afraca，故_40a， 设_ _43_42_41_4 Taaaakkkkk， 则_2020_1_2_505STTT， 又 _ _43_42_41_4 14( _41_42_43_44)14 _1TaaaafracaaaafracTkkkkkkkkkk ， 故 2504 _2020_1(1444)ST， 显然_2020S最大与_1T最大同时发生， _2 _42 _1 _3 8aaaa ，16，又_40a，故_20a， 故_2_42 _2 _42 2 _1 _3aasqrtaasqrtaa ， 故_1122 _3_3Tsqrtaa ，考虑函数的性质知122 _3_3sqrtaa ， _3 4a，8的最大值在端点处取得， 故取_38a得到_11T，最大值在_38a，_2_44aa 时取得， 故_2020S的最大值为 2504504 ( 1) (1444)413frac