2021年高中数学人教A版（新教材）必修第一册课件：3.2.1单调性与最大（小）值.ppt

1、数学 函数的单调性与最大（小）值 01 基础知识 自主回顾 02 学科素养 探究提升 03 高效演练 分层突破 一、知识梳理一、知识梳理 1函数的单调性函数的单调性 (1)单调函数的定义单调函数的定义 增函数增函数 减函数减函数 定义定义 一般地一般地，设函数设函数 f(x)的定义域为的定义域为 I，如果对于定义域如果对于定义域 I 内某个区间内某个区间 D 上的任意两个自变量的值上的任意两个自变量的值 x1，x2 增函数增函数 减函数减函数 定义定义 当当 x1x2时时，都有都有_， 那么就说函数那么就说函数 f(x)在区间在区间 D 上上 是增函数是增函数 当当 x1x2时时，都有都有_，

2、 那么就说函数那么就说函数 f(x)在区间在区间 D 上是上是 减函数减函数 图象图象 描述描述 自左向右看图象是自左向右看图象是_ 自左向右看图象是自左向右看图象是_ f(x1)f(x2) 上升的上升的 下降的下降的 (2)单调区间的定义单调区间的定义 如果如果函函数数 yf(x)在区间在区间 D 上是上是_或或_， 那么就说函数那么就说函数 yf(x)在这一在这一 区间具有区间具有(严格的严格的)单调性单调性，_叫做函数叫做函数 yf(x)的单调区间的单调区间 增函数增函数 减函数减函数 区间区间 D 注意注意 有多个单调区间应分开写有多个单调区间应分开写，不能用符号不能用符号“”“”联结

3、联结，也不能用也不能用“或或”联结联结， 只能用只能用“逗号逗号”或或“和和”联结联结 2函数的最值函数的最值 前提前提 设函数设函数 yf(x)的定义域为的定义域为 I，如果存在实数如果存在实数 M 满足满足 条件条件 (1) 对 于 任 意对 于 任 意xI ， 都 有都 有 _； (2)存在存在 x0I，使得使得_ (1) 对 于 任 意对 于 任 意 xI ， 都 有都 有 _； (2) 存 在存 在x0 I ， 使 得使 得 _ 结论结论 M 为最大值为最大值 M 为最小值为最小值 f(x)M f(x0)M f(x)M f(x0)M 常用结论常用结论 1函数单调性的两个等价结论函数单

4、调性的两个等价结论 设设x1，x2D(x1x2)，则则 (1)f（ （x1）f（x2） x1x2 0(或或(x1x2)f(x1)f(x2)0)f(x)在在 D 上单调递增上单调递增 (2)f（ （x1）f（x2） x1x2 0(或或(x1x2)f(x1)f(x2)0)f(x)在在 D 上单调递减上单调递减 2函数最值存在的两条结论函数最值存在的两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定 在端点取到在端点取到 (2)开区间上的开区间上的“单峰单峰”函数一定存在最大函数一定存在最大(小

5、小)值值 二、教材衍化二、教材衍化 1函数函数 f(x)x22x 的单调递增区间是的单调递增区间是_ 答案：答案：1，)(或或(1，) 2若函数若函数 y(2k1)xb 在在 R 上是减函数上是减函数，则则 k 的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：因为函数因为函数 y(2k1)xb 在在 R 上是减函数上是减函数，所以所以 2k10，即即 k1 2. 答案：答案： ，1 2 3 已知函数已知函数 f(x) 2 x1， ， x2， 6， 则则 f(x)的最大值为的最大值为_， 最小值为最小值为_ 解析：解析：可判断函数可判断函数 f(x) 2 x1在 在2，6上为减函数上为减函数，所以所以

6、f(x)maxf(2)2，f(x)minf(6) 2 5. 答案：答案：2 2 5 一、思考辨析一、思考辨析 判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“”，错误的打错误的打“”“”) (1)若定义在若定义在 R 上的函数上的函数 f(x)，有有 f(1)f(3)，则函数则函数 f(x)在在 R 上为增函数上为增函数 ( ) (2)函数函数 yf(x)在在1，)上是增函数上是增函数，则函数则函数 f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是1，)( ) (3)函数函数 y1 x的单调递减区间是 的单调递减区间是(，0)(0，) ( ) (4)所有的单调函数都有最值所有的单调函数都有最值 ( ) (5)

7、如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是则这个函数在定义域上是 增函数增函数 ( ) (6)闭区间上的单调函闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到数，其最值一定在区间端点处取到 ( ) 二、易错纠偏二、易错纠偏 常见误区常见误区 (1)求单调区间忘记定义域导致出错； 求单调区间忘记定义域导致出错； (2)混淆混淆“单调区间单调区间”与与“在区间上单调在区间上单调”两个概念出错两个概念出错 1已知函数已知函数 f(x) x22x3，则该函数的单调递增区间为则该函数的单调递增区间为 ( ) A(，1 B3，)

8、C(，1 D1，) 解析：解析：选选 B设设 tx22x3，由由 t0，即即 x22x30，解得解得 x1 或或 x3.所以所以 函数的定义域为函数的定义域为(，13，)因因为函数为函数 tx22x3 的图象的对称轴为的图象的对称轴为 x 1，所以函数所以函数 t 在在(，1上单调递减上单调递减，在在3，)上单调递增所以函数上单调递增所以函数 f(x) 的单调递增区间为的单调递增区间为3，) 2 若函数若函数f(x)x22mx1在在2， )上是增函数上是增函数， 则实数则实数m的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：由由题意知题意知，2，)m，)， 所以所以 m2. 答案：答案：(，2 考点一

9、考点一 确定函数的单调性确定函数的单调性(区间区间)(基础型基础型) 复习复习 指导指导 通过已学过的函数特别是二次函数 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义理解函数的单调性及其几何意义 核心素养：核心素养：数学抽象数学抽象 角度一角度一 判断或证明函数的单调性判断或证明函数的单调性 (一题多解一题多解)试讨论函数试讨论函数 f(x) ax x1(a 0)在在(1，1)上的单调性上的单调性 【解】【解】 法一：法一：设设1x1x21， f(x)a x11 x1 a 1 1 x1 ， f(x1)f(x2)a 1 1 x11 a 1 1 x21 a（x2x1） （x11）（

10、）（x21）， ，由于由于1x1x20，x110，x210 时时，f(x1)f(x2)0，即即 f(x1)f(x2)，函数函数 f(x)在在(1，1)上单调上单调递减；递减； 当当 a0 时时，f(x1)f(x2)0，即即 f(x1)0 时时，f(x)0，函数函数 f(x)在在(1，1)上单调递减；上单调递减； 当当 a0，函数函数 f(x)在在(1，1)上单调递增上单调递增 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤利用定义法证明或判断函数单调性的步骤 注意注意 判断函数的单调性还有图象判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等法、导数法、性质法等 角度二角度二 利用函数图象求函数的单调区间利用

11、函数图象求函数的单调区间 求函数求函数 f(x)x22|x|1 的单调区间的单调区间 【解】【解】 f(x) x22x1，x0， x22x1，x0 （ （x1）22，x0， （x1）22，x0. 画出函数图象如图所示画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为可知单调递增区间为(，1和和(0，1， 单调递减区间为单调递减区间为(1，0和和(1，) 【迁移探究迁移探究】 (变条件变条件)若本例函数变为若本例函数变为 f(x)|x22x1|，如何求解？如何求解？ 解：解：函数函数 y|x22x1|的图象如图所示由图象可知的图象如图所示由图象可知，函数函数 y|x22x1|的单的单 调递增区间为调递增区

12、间为(1 2， 1和和(1 2， )； 单调递减区间为； 单调递减区间为(， 1 2和和(1， 1 2 确定函数的单调区间的方法确定函数的单调区间的方法 注意注意 (1)函数在某个区间上是单调函数函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数但在整个定义域上不一定是单调函数，如如 函数函数 y1 x在 在(，0)和和(0，)上都是减函数上都是减函数，但在定义域上不具有单调性但在定义域上不具有单调性 (2)“函数的单调区间是函数的单调区间是 M” 与与 “函数在区间函数在区间 N 上单调上单调”是两个不同的概念是两个不同的概念， 显然显然 NM. 1函数函数 y|x|(1x)在区间

13、在区间 A 上是增函数上是增函数，那么区间那么区间 A 可能是可能是 ( ) A(，0) B 0，1 2 C0，) D 1 2， ， 解析：解析：选选 By|x|(1x) x（ （1x），x0 x（1x），x0 x2x，x0 x2x，x0 x1 2 2 1 4， ，x0， x1 2 2 1 4， ，x0. 画出函数的画出函数的草图草图，如图如图 由图易知原函数在由图易知原函数在 0，1 2 上单调递增上单调递增 2下列函数中下列函数中，满足满足“x1，x2(0，)且且 x1x2，(x1x2) f(x1)f(x2)0”的是的是 ( ) Af(x)2x Bf(x)|x1| Cf(x)1 x x D

14、f(x)ln(x1) 解析：解析：选选 C由由(x1x2) f(x1)f(x2)0 时时，函数函数 f(x)x4 x 2x 4 x 4，当且仅当当且仅当 x2 时取等号； 当时取等号； 当 x0 时时， f(x)2xa(a， 1a， 因此要使因此要使 f(x)有最小值有最小值， 则必须有则必须有 a4. 【答案答案】 (1)1 (2)4，) 求函数最值的五种常用方法求函数最值的五种常用方法 1函数函数 f(x) 1 x1在区间 在区间a，b上的最大值是上的最大值是 1，最小值是最小值是1 3， ，则则 ab_ 解析：解析：易知易知 f(x)在在a，b上为减函数上为减函数， 所以所以 f（a）1

15、， f（b）1 3， ，即 即 1 a1 1， 1 b1 1 3， ， 所以所以 a 2， b4. 所以所以 ab6. 答案：答案：6 2(一题多解一题多解)对于任意实数对于任意实数 a，b，定义定义 mina，b a， ，ab， b，ab. 设函数设函数 f(x)x3， g(x)log2x，则函数则函数 h(x)minf(x)，g(x)的最大值是的最大值是_ 解析：解析：法一：法一：在同一直角坐标系中在同一直角坐标系中， 作出函数作出函数 f(x)，g(x)的图象的图象， 依题意依题意，h(x)的图象如图所示的图象如图所示 易知点易知点 A(2，1)为图象的最高点为图象的最高点， 因此因此

16、h(x)的最大值为的最大值为 h(2)1. 法二：法二：依题意依题意，h(x) log2x， ，0 x2， x3，x2. 当当 0 x2 时时，h(x)log2x 是增函数是增函数， 当当 x2 时时，h(x)3x 是减函数是减函数， 所所以以 h(x)在在 x2 处取得最大值处取得最大值 h(2)1. 答案：答案：1 考点三考点三 函数单调性的应用函数单调性的应用(综合型综合型) 复习复习 指导指导 利用函数单调性求解 利用函数单调性求解，要明确函数的所给区间要明确函数的所给区间，不同区间有不同的单调性不同区间有不同的单调性 角度一角度一 比较两个函数值比较两个函数值 已知函数已知函数 f(

17、x)的图象关于直线的图象关于直线 x1 对称对称， 当当 x2x11 时时， f(x2)f(x1)(x2x1)ab Bcba Cacb Dbac 【解析解析】 因为因为 f(x)的图象关于直线的图象关于直线 x1 对称由此可得对称由此可得 f 1 2 f 5 2 .当当 x2x11 时时， f(x2)f(x1)(x2x1)0 恒成立恒成立， 知知 f(x)在在(1，)上单调递减上单调递减 因为因为 125 2f 5 2 f(e)， 所以所以 bac. 【答案答案】 D 比较函数值大小的思路： 比较函数值的大小时比较函数值大小的思路： 比较函数值的大小时， 若自变量的值不在同一个单调区间内若自变

18、量的值不在同一个单调区间内， 要利用其函数性质要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形对于选择题、填空题能数形 结合的尽量用结合的尽量用图象法求解图象法求解 角度二角度二 解函数不等式解函数不等式 已知函数已知函数f(x)x|x|， x(1， 1)， 则不等式则不等式f(1m)f(m21)的解集为的解集为_ 【解析解析】 由已知得由已知得 f(x) x2， ，1x0， x2，0x1， 则则 f(x)在在(1，1)上单调递减上单调递减， 所以所以 11m1， ， 1m211， m211m， 解得解得 0m4. 若函数若函数 yf(x

19、)在区间在区间(a，a1)上单调递增上单调递增，则实数则实数 a 的取值范围是的取值范围是_ 【解析】【解析】 (1)设设 1x11. 因为函数因为函数 f(x)在在(1，)上是增函数上是增函数， 所以所以 f(x1)f(x2)x1 a x1 a 2 x2 a x2 a 2 (x1x2) 1 a x1x2 0. 因为因为 x1x20， ，即即 ax1x2. 因为因为 1x11，所以所以x1x21，所以所以 a1. 所以所以 a 的取值范围是的取值范围是1，) (2)作出函数作出函数 f(x)的图象如图所示的图象如图所示，由图象可知由图象可知 f(x)在在(a，a 1)上单调递增上单调递增， 需

20、满足需满足 a4 或或 a12， 即即 a1 或或 a4. 【答案答案】 (1)1，) (2)(，14，) 利用单调性求参数的策略利用单调性求参数的策略 (1)视参数为已知数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间确定函数的单调区间，与已知单与已知单 调区间比较求参数；调区间比较求参数； (2)若函数在区间若函数在区间a，b上是单调的上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的则该函数在此区间的任意子集上也是单调的 1 已知函数已知函数 f(x)是定义在区间是定义在区间0， )上的函数上的函数， 且在该区间上单调递增且在该区间上单调递增，

21、则满足则满足 f(2x 1)f 1 3 的的 x 的取值范围是的取值范围是 ( ) A 1 3， ，2 3 B 1 3， ，2 3 C 1 2， ，2 3 D 1 2， ，2 3 解析：解析：选选 D因为函数因为函数 f(x)是定义在区间是定义在区间0，)上的增函数上的增函数，满足满足 f(2x1)f 1 3 .所所 以以 02x11 3， ，解得解得1 2 x2 3.故选 故选 D 2函数函数 yf(x)在在0，2上单调递增上单调递增，且函数且函数 f(x)的图象关于直线的图象关于直线 x2 对称对称，则下列则下列 结论成立的是结论成立的是 ( ) Af(1)f 5 2 f 7 2 Bf 7

22、 2 f(1)f 5 2 Cf 7 2 f 5 2 f(1) Df 5 2 f 7 2 f(1) 解析：解析： 选选 B 因为因为 f(x)的图象的图象关于直线关于直线 x2 对称对称， 所以所以 f(x)f(4x)， 所以所以 f 5 2 f 3 2 ， f 7 2 f 1 2 .又又 01 21 3 22， ， f(x)在在0，2上单调递增上单调递增，所以所以 f 1 2 f(1)f 3 2 ，即即 f 7 2 f(1)f 5 2 . 3若函数若函数 f(x)|2xa|的单调增区间是的单调增区间是3，)，则则 a 的值为的值为_ 解析：解析：由图象由图象(图略图略)易知函数易知函数 f(x)|2xa|的单调增区间是的单调增区间是 a 2， ， ，令令a 2 3，得得 a6. 答案：答案：6 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放