2021年高中数学人教A版（新教材）必修第一册课件：5.4三角函数的图象与性质 2.pptx

1、目目 录录 基础基础在批注中理解透在批注中理解透 单纯识记无意义，深刻理解提能力单纯识记无意义，深刻理解提能力 考点考点在细解中明规律在细解中明规律 题目千变总有根，梳干理枝究其本题目千变总有根，梳干理枝究其本 课时跟踪检测课时跟踪检测 5.4三角函数的图象与性质 基础基础在批注中理解透 单纯识记无意义，深刻理解提能力单纯识记无意义，深刻理解提能力 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 在正弦函数在正弦函数ysin x，x0,2的图象上，五个关键点的图象上，五个关键点 是：是：(0,0)， 2， ，1 ，(，0)， 3 2 ，1 ，(2，0) 在余弦函数在余弦

2、函数ycos x，x0,2的图象上，五个关键点的图象上，五个关键点 是：是：(0,1)， 2， ，0 ，(，1)， 3 2 ，0 ，(2，1) 五点法作图有三步：列表、五点法作图有三步：列表、 描点、连线描点、连线(注意光滑注意光滑) 2正弦、余弦、正切函数的图象与性质正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数函数 ysin x ycos x ytan x 图象图象 定义域定义域 R R R R x| xR，且且xk 2， ，kZ 值域值域 1,1 1,1 R R 奇偶性奇偶性 奇函数奇函数 偶函数偶函数 奇函数奇函数 正切函数的图象是由直线正切函数的图象是由直线 xk 2 (kZ)隔开的无隔开的

3、无 穷多支曲线组成的穷多支曲线组成的 判断三角函数的奇偶性，应首先判断函判断三角函数的奇偶性，应首先判断函 数定义域是否关于原点对称数定义域是否关于原点对称 函数函数 ysin x ycos x ytan x 单调性单调性 在在 2 2k， 2 2k (kZ) 上是递增函 上是递增函 数，在数，在 2 2k，3 2 2k (kZ)上是递减函数上是递减函数 在在2k， 2k(kZ)上是上是 递增函数，在递增函数，在 2k，2k (kZ)上是递上是递 减函数减函数 在在 2 k， 2 k(kZ) 上是递上是递增函增函 数数 求函数求函数yAsin(x)的单调区的单调区 间时，应注意间时，应注意的符

4、号，只有当的符号，只有当 0时，才能把时，才能把x看作一个看作一个 整体，代入整体，代入ysin t的相应单调区的相应单调区 间求解，否则将出现错误间求解，否则将出现错误 写单调区间时，不要忘记写单调区间时，不要忘记kZ. (1)ytan x无单调递无单调递 减区间；减区间； (2)ytan x在整个定在整个定 义域内不单调义域内不单调. 函数函数 ysin x ycos x ytan x 周期性周期性 周期是周期是2k(k Z且且k0)，最，最 小正周期是小正周期是2 周期是周期是2k(kZ且且 k0)，最小正周，最小正周 期是期是2 周期是周期是k(k Z且且k0)，最，最 小正周期是小正

5、周期是 对称性对称性 对称轴是对称轴是x 2 k(kZ)， 对称中心是对称中心是 (k，0)(kZ) 对称轴是对称轴是xk(k Z)，对称中心是，对称中心是 k 2， ，0 (kZ) 对称中心是对称中心是 k 2 ，0 (kZ) 函数函数yAsin(x)和和yAcos(x)的最小正周的最小正周 期都是期都是2 |， ，yAtan(x)的最小正周期是的最小正周期是 |. 熟记常用结论熟记常用结论 1对称与周期对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间 的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是的距离是半个周期，

6、相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 1 4 个周期个周期 (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期 2奇偶性奇偶性 若若f(x)Asin(x)(A0，0)，则：，则： (1)f(x)为偶函数的充要条件是为偶函数的充要条件是 2 k(kZ)； (2)f(x)为奇函数的充要条件是为奇函数的充要条件是k(kZ) 小题查验基础小题查验基础 一、判断题一、判断题(对的打对的打“”，错的打，错的打“”“”) (1)ysin x在第一、第四象限是增函数在第一、第四象限是增函数 ( ) (2)余弦函数余弦函数ycos x的对称轴是的对称轴是y轴轴 ( ) (3

7、)正切函数正切函数ytan x在定义域内是增函数在定义域内是增函数 ( ) (4)ysin|x|是偶函数是偶函数 ( ) 二、选填题二、选填题 1函数函数ytan 3x的定义域为的定义域为 ( ) A. x x3 2 3k，kZ B. x x 6 k，kZ C. x x 6 k，kZ D. x x 6 k 3 ，kZ 解析：解析：由由3x 2 k(kZ)，得，得x 6 k 3 ，kZ. D 2函数函数 y2cosx 3(x R)的最大值和最小正的最大值和最小正周期分别是周期分别是 ( ) A2,3 B1,6 C3,6 D3,3 解析：解析：由由y2cos x 3 知，知，ymax2(1)3，最

8、小正周，最小正周 期期T2 1 3 6. C 3下列函数中最小正周期为下列函数中最小正周期为且图象关于直线且图象关于直线x 3对称的是 对称的是 ( ) Ay2sin 2x 3 By2sin 2x 6 Cy2sin x 2 3 Dy2sin 2x 3 解析：解析：函数函数y2sin 2x 6 的最小正周期的最小正周期T2 2 ， sin 2 3 6 1， 函数函数y2sin 2x 6 的图象关于直线的图象关于直线x 3对称 对称 B 4函数函数ysin x 4 的图象的对称轴为的图象的对称轴为_， 对称中心为对称中心为_ 解析：解析：由由x 4 2 k，kZ，得，得x3 4 k，kZ； 由由x

9、 4 k，kZ，得，得x 4 k，kZ， 故函数故函数ysin x 4 的图象的对称轴为的图象的对称轴为x 3 4 k，kZ， 对称中心为对称中心为 4 k，0 ，kZ. x3 4 k，kZ 4 k，0 ，kZ 5函数函数f(x) 3 2 cos x 1 2 sin x x0， 的单调递增区间为的单调递增区间为 _ 解析：解析：f(x) 3 2 cos x 1 2 sin xcos x 6 ，由，由2kx 6 2k(kZ)，得，得2k7 6 x2k 6(k Z) x0，f(x)在在 5 6 ， 上单调递增上单调递增 5 6 ， 6函数函数f(x)sin 2x 4 在区间在区间 0， 2 上的最

10、小值为上的最小值为 _ 解析：解析：由由x 0， 2 ，得，得2x 4 4， ，3 4 ， 所以所以sin 2x 4 2 2 ，1 ，故函数，故函数f(x)sin 2x 4 在区在区 间间 0， 2 上的最小值为上的最小值为 2 2 . 2 2 考点考点在细解中明规律 题目千变总有根，梳干理枝究其本题目千变总有根，梳干理枝究其本 考点一考点一 三角函数的定义域三角函数的定义域基础自学过关基础自学过关 题组练透题组练透 1函数函数f(x)2tan 2x 6 的定义域是的定义域是 ( ) A. x x 6 B. x x 12 C. x x k 6， ，kZ D. x x k 2 6， ，kZ 解析

11、：解析：由正切函数的定义域，得由正切函数的定义域，得 2x 6 k 2(k Z)， 即即 xk 2 6(k Z)，故选，故选 D. D 2 函数 函数 y sin xcos x的定义域为的定义域为_ 解析：解析：法一：法一：要使函数有意义，必须使要使函数有意义，必须使 sin xcos x0.利用利用 图象，在同一坐标系中画出图象，在同一坐标系中画出0,2上函数上函数 ysin x 和函数和函数 ycos x 的图象，如图所示的图象，如图所示 在在0,2内，满足内，满足sin xcos x的的x为为 4， ，5 4 ，再结合正弦、余，再结合正弦、余 弦函数的周期性，所以原函数的定义域为弦函数的

12、周期性，所以原函数的定义域为 x 2k 4 x2k5 4 ，kZ . 2k 4， ，2k5 4 (kZ) 法二：法二：利用三角函数线，画出满足条件利用三角函数线，画出满足条件 的终边范围的终边范围(如图阴影部分所示如图阴影部分所示) 所以定义域为所以定义域为 x 2k 4 x2k5 4 ，kZ . 3函数函数ylg(sin 2x) 9x2的定义域为的定义域为_ 解析：解析：由由 sin 2x0， 9x20， 得得 kxk 2， ，kZ， 3x3. 3x 2或 或0 x 2. 函数函数ylg(sin 2x) 9x2的定义域为的定义域为 3， 2 0， 2 . 3， 2 0， 2 名师微点名师微点

13、 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式 (组组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解，常借助三角函数线或三角函数图象来求解 考点二考点二 三角函数的值域三角函数的值域(最值最值) 师生共研过关师生共研过关 典例精析典例精析 (1)函数函数f(x)3sin 2x 6 在区间在区间 0， 2 上的值域为上的值域为_ 解析解析 当当x 0， 2 时，时，2x 6 6， ，5 6 ， sin 2x 6 1 2， ，1 ， 故故3sin 2x 6 3 2， ，3 ， 函数函数f(x)在区间在区间 0， 2 上的值域为上的值域为 3 2， ，3 . 3

14、 2， ，3 解析解析 依题意，依题意，f(x)sin2x 3cos x 3 4 cos2x 3 cos x1 4 cos x 3 2 2 1， 因为因为x 0， 2 ，所以，所以cos x0,1， 因此当因此当cos x 3 2 时，时，f(x)max1. (2)(2017 全国卷全国卷)函数函数f(x)sin2x 3cos x 3 4 x 0， 2 的最大值是的最大值是_ 1 解析解析 设设tsin xcos x，则，则 2t 2，t2sin2x cos2x2sin xcos x，则，则sin xcos x1 t2 2 ， yt 2 2 t1 2 1 2(t 1)21. 当当t1时，时，y

15、max1；当；当t 2时，时，ymin1 2 2. 函数的值域为函数的值域为 1 2 2，1 . (3)函数函数ysin xcos xsin xcos x的值域为的值域为_ 1 2 2，1 解题技法解题技法 求三角函数的值域求三角函数的值域(最值最值)的的3种类型及解法思路种类型及解法思路 (1)形如形如yasin xbcos xc的三角函数化为的三角函数化为yAsin(x )k的形式，再求值域的形式，再求值域(最值最值)； (2)形如形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设的三角函数，可先设sin x t，化为关于，化为关于t的二次函数求值域的二次函数求值域(最值最值)； (3)形

16、如形如yasin xcos xb(sin x cos x)c的三角函数，可的三角函数，可 先设先设tsin x cos x，化为关于，化为关于t的二次函数求值域的二次函数求值域(最值最值) 过关训练过关训练 1若函数若函数f(x)(1 3tan x)cos x， 3 x 6，则 ，则f(x)的最的最 大值为大值为 ( ) A1 B2 C. 3 D. 31 解析：解析：f(x)(1 3tan x)cos xcos x 3sin x2sin x 6 . 因为因为 3 x 6，所以 ，所以 6 x 6 3，故当 ，故当x 6时， 时，f(x)取最取最 大值为大值为 3，故选，故选C. C 2(201

17、8 北京高考北京高考)已知函数已知函数f(x)sin2x 3sin xcos x. (1)求求f(x)的最小正周期；的最小正周期； 解：解：因为因为f(x)sin2x 3sin xcos x 1 2 1 2cos 2x 3 2 sin 2x sin 2x 6 1 2， ， 所以所以f(x)的最小正周期为的最小正周期为T2 2 . (2)若若f(x)在区间在区间 3， ，m 上的最大值为上的最大值为3 2，求 ，求m的最小值的最小值 解：解：由由(1)知知f(x)sin 2x 6 1 2. 由题意知由题意知 3 xm，所以所以5 6 2x 6 2m 6. 要使要使f(x)在区间在区间 3， ，m

18、 上的最大值为上的最大值为3 2， ， 即即sin 2x 6 在区间在区间 3， ，m 上的最大值为上的最大值为1. 所以所以2m 6 2， ，即即m 3. 所以所以m的最小值为的最小值为 3. 考点三考点三 三角函数的单调性三角函数的单调性全析考法过关全析考法过关 考法全析考法全析 考法考法(一一) 求三角函数的单调区间求三角函数的单调区间 例例1 (1)函数函数ysin 3 2x 的单调递减区间为的单调递减区间为_ 解析解析 函数函数ysin 3 2x sin 2x 3 的单调递减区的单调递减区 间是函数间是函数ysin 2x 3 的单调递增区间的单调递增区间 由由2k 2 2x 3 2k

19、 2， ，kZ， 得得k 12 xk5 12， ，kZ. 故所给函数的单调递减区间为故所给函数的单调递减区间为 k 12， ，k5 12 ，kZ. k 12， ，k5 12 ，kZ 解析解析 作出函数作出函数y|tan x|的图象，如图的图象，如图 观察图象可知，函数观察图象可知，函数y|tan x|的单调递增区间为的单调递增区间为 k，k 2 ，kZ；单调递减区间为；单调递减区间为 k 2， ，k ，kZ. (2)函数函数y|tan x|的单调递增区间为的单调递增区间为_， 单调递减区间为单调递减区间为_ k 2， ，k ，kZ k，k 2 ，kZ 考法考法(二二) 已知三角函数的单调性求参

20、数已知三角函数的单调性求参数 例例2 (2018 全国卷全国卷)若若f(x)cos xsin x在在a，a是是 减函数，则减函数，则a的最大值是的最大值是 ( ) A. 4 B. 2 C.3 4 D A 解析解析 f(x)cos xsin x 2sin x 4 ， 当当 x 4， ，3 4 ，即，即 x 4 2， ， 2 时，时， 函数函数 ysin x 4 单调递增，单调递增， 则函数则函数 f(x) 2sin x 4 单调递减单调递减 函数函数 f(x)在在a，a是减函数，是减函数， a，a 4， ，3 4 ，0a 4， ， a 的最大值为的最大值为 4. 规律探求规律探求 看看 个个 性

21、性 考法考法(一一)是已知三角函数的解析式求单调区间是已知三角函数的解析式求单调区间 解决此类问题有以下两种方法：解决此类问题有以下两种方法： (1)代换法：代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数 式整体当作一个角式整体当作一个角u(或或t)，利用复合函数的单调性列不，利用复合函数的单调性列不 等式求解等式求解 (2)图象法：图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象 求它的单调区间求它的单调区间 找找 共共 性性 看看 个个 性性 解决此类问题常用以下三种方法：解决此类问题常用以下三种方法： (1)子集法：子

22、集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间求出原函数的相应单调区间，由已知区间 是所求某区间的子集，列不等式是所求某区间的子集，列不等式(组组)求解求解 (2)反子集法：反子集法：由已知区间求出整体角的范围，由该范由已知区间求出整体角的范围，由该范 围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列 不等式不等式(组组)求解求解 (3)周期法：周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心由所给区间的两个端点到其相应对称中心 的距离不超过的距离不超过1 4周期列不等式 周期列不等式(组组)求解求解 1.将解析式转化为将解析式转化为yAsin(x)或或yA

23、cos(x)(其其 中中0)的形式再求解的形式再求解 2.整体代换思想及数形结合思想整体代换思想及数形结合思想 考法考法(二二)是已知三角函数的单调性求参数是已知三角函数的单调性求参数 过关训练过关训练 1设函数设函数f(x)sin 2x 3 ，x 2， ， ，则以下结论正确的是，则以下结论正确的是 ( ) A函数函数f(x)在在 2， ，0 上单调递减上单调递减 B函数函数f(x)在在 0， 2 上单调递增上单调递增 C函数函数f(x)在在 2， ，5 6 上单调递减上单调递减 D函数函数f(x)在在 5 6 ， 上单调递增上单调递增 C 解析：解析：由由x 2， ，0 ，得，得2x 3 4

24、 3 ， 3 ，所以函数，所以函数f(x) 先减后增；由先减后增；由x 0， 2 ，得，得2x 3 3， ，2 3 ，所，所以函数以函数f(x) 先增后减；由先增后减；由x 2， ，5 6 ，得，得2x 3 2 3 ，4 3 ，所以函数，所以函数f(x) 单调递减；由单调递减；由x 5 6 ， ，得，得2x 3 4 3 ，5 3 ，所以函数，所以函数f(x) 先减后增故选先减后增故选C. 2若函数若函数 f(x)sin x(0)在区间在区间 0， 3 上单调递增，在区上单调递增，在区 间间 3， ， 2 上单调递减，则上单调递减，则 _. 解析：解析：f(x)sin x(0)过原点，过原点，

25、当当0 x 2，即 ，即0 x 2时， 时，ysin x是增函数；是增函数； 当当 2 x3 2 ，即，即 2 x 3 2时， 时，ysin x是减函数是减函数 由由f(x)sin x(0)在在 0， 3 上单调递增，上单调递增， 在在 3， ， 2 上单调递减，知上单调递减，知 2 3， ，3 2. 3 2 考点四考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性三角函数的周期性、奇偶性、对称性 全析考法过关全析考法过关 考法全析考法全析 考法考法(一一) 三角函数的周期性三角函数的周期性 例例 1 在函数在函数ycos|2x|，y|cos x|，ycos 2x 6 ， ytan 2x 4 中，最小正

26、周期为中，最小正周期为 的所有函数为的所有函数为 ( ) A B C D 解析解析 ycos|2x|cos 2x，最小正周期为，最小正周期为 ； 由图象知由图象知 y|cos x|的最小正周期为的最小正周期为 ； ycos 2x 6 的最小正周期的最小正周期 T2 2 ； ytan 2x 4 的最小正周期的最小正周期 T 2，故选 ，故选 A. A 考法考法(二二) 三角函数的奇偶性三角函数的奇偶性 例例 2 (2019 抚顺调研抚顺调研)已知函数已知函数 f(x)2sin x 3 2， ， 2 是偶函数，则是偶函数，则 的值为的值为_ 解析解析 函数函数 f(x)为偶函数，为偶函数， 3 k

27、 2(k Z)又又 2， ， 2 ， 3 2，解得 ，解得 6，经检验符合题意 ，经检验符合题意 6 考法考法(三三) 三角函数的对称性三角函数的对称性 例例 3 (1)已知函数已知函数 f(x)2sin x 6 (0)的最小正周的最小正周 期为期为 4，则该函数的图象，则该函数的图象 ( ) A关于点关于点 3， ，0 对称对称 B关于点关于点 5 3 ，0 对称对称 C关于直线关于直线 x 3对称 对称 D关于直线关于直线 x5 3 对称对称 B 解析解析 (1)因为函数因为函数 f(x)2sin x 6 (0)的最小正周的最小正周 期为期为 4，而，而 T2 4，所以，所以 1 2，即

28、，即 f(x)2sin x 2 6 . 令令x 2 6 2 k(kZ)，解得，解得 x2 3 2k(kZ)， 故故 f(x)的对称轴为的对称轴为 x2 3 2k(kZ) 令令x 2 6 k(kZ)，解得，解得 x 3 2k(kZ)， 故故 f(x)的对称中心为的对称中心为 3 2k，0 (kZ)， 对比选项可知， 对比选项可知 B 正确正确 解析解析 由题意得由题意得 f 3 sin 2 3 1， 2 3 k 2(k Z)，k 6(k Z) 2， ， 2 ， 6. (2)(2018 江苏高考江苏高考)已知函数已知函数 ysin(2x) 2 2 的的 图象关于直线图象关于直线 x 3对称，则 对

29、称，则 的值为的值为_ 6 规律探求规律探求 看看 个个 性性 考法考法(一一)是函数周期性的计算是函数周期性的计算. 利用函数利用函数 yAsin(x)，yAcos(x)(0)的最的最 小正周期为小正周期为2 ， 函数， 函数 yAtan(x)(0)的最小正周的最小正周 期为期为 求解 求解. 考法考法(二二)是函数奇偶性的判断及应用是函数奇偶性的判断及应用. 三角函数中奇函数一般可化为三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或或yAtan x 的形式，而偶函数一般可化为的形式，而偶函数一般可化为 yAcos xb 的形式的形式. 找找 共共 性性 看看 个个 性性 考法考法(三三)是研究三

30、角函数图象的对称性是研究三角函数图象的对称性. (1)对于可化为对于可化为 f(x)Asin(x)(0)形式的函数，如果求形式的函数，如果求 f(x) 的对称轴，只需令的对称轴，只需令 x 2 k(kZ)，求，求 x 即可；如果求即可；如果求 f(x) 的对称中心的横坐标，只需令的对称中心的横坐标，只需令 xk(kZ)，求，求 x 即可即可 (2)对于可化为对于可化为f(x)Acos(x)(0)形式的函数， 如果求形式的函数， 如果求f(x) 的对称轴，只需令的对称轴，只需令 xk(kZ)，求，求 x 即可；如果求即可；如果求 f(x) 的对称中心的横坐标，只需令的对称中心的横坐标，只需令 x

31、 2 k(kZ)，求，求 x 即可即可 这类问题解题的关键是把原三角函数关系式统一角，统一这类问题解题的关键是把原三角函数关系式统一角，统一 名，即名，即“一角一函数一角一函数”，其解题思维流程是：，其解题思维流程是： 过关训练过关训练 1若函数若函数 f(x) 3sin(2x)cos(2x)(0)的图象关于的图象关于 2， ，0 中心对称， 则函数中心对称， 则函数 f(x)在在 4， ， 6 上的最小值是上的最小值是_ 解析：解析：f(x)2sin 2x 6 ，又图象关于，又图象关于 2， ，0 中心对称，所中心对称，所 以以 2 2 6 k(kZ)， 所以所以 k7 6 (kZ)，又，又

32、 0，所以，所以 5 6 ， 所以所以 f(x)2sin 2x，因为，因为 x 4， ， 6 ， 所以所以 2x 2， ， 3 ， f(x) 3， 2， 所以， 所以 f(x)的最小值是的最小值是 3. 3 2若若 x 8是函数 是函数 f(x) 2sin x 4 ，xR 的一个零点，且的一个零点，且 010，则函数，则函数 f(x)的最小正周期为的最小正周期为_ 解析：解析：依题意知，依题意知，f 8 2sin 8 4 0， 即即 8 4 k，kZ，整理得，整理得 8k2，kZ. 又因为又因为 010， 所以所以 08k210，得，得1 4 k1， 而而 kZ，所以，所以 k0，2， 所以所以 f(x) 2sin 2x 4 ，f(x)的最小正周期为的最小正周期为 .