河南省2020-2021学年高三上学期质量检测（五）数学（理科）试题附答案.docx

1、 河南省河南省 2020202020212021 年度高三质量检测年度高三质量检测( (五五) ) 数学数学( (理科理科) ) 考生须知： 1 本试卷满分 120 分，考试时间为 120 分钟. 2 答题前，考生先将自己的“姓名” 、 “考号” 、 “考场” 、 “座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准 确粘贴在条形码区域内. 3 请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答案 无效. 4 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清 楚. 5 保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准

2、使用涂改液、刮纸刀. 第第 I I 卷卷 一一、选择题选择题: :本大题共本大题共 1212 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分. .出出 6060 分在每小颍给出的四个分在每小颍给出的四个选选项中项中. .只有一项是只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. . 1.已知集合 2 40 ,24 x Ax xxBx，则AB （ ） A02xx B 02xx C2x x D01xx 2. 已知复数 2 1 1 2 i zai i ,若z在复平面内所对应的点位于第二象限,则实数a的取值范围是（ ） A1,0 B0,1 C, 1 D1, 3. 若向区域 ,01,01Dx yxy内随机投点,则该

3、点落在区域 22 1 , 4 x y xy 内的概率 为（ ） A 4 B 8 C 16 D 32 4. 若, x y满足约束条件 220 10 20 xy xy y ，则4zxy的最大值为（ ） A 2 B4 C. 6 D8 5. 正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素,加上它们的多种变体,一直是科学、艺术、哲学灵感 的源泉之一。如图,该几何体是一个棱长为2的正八面体,则此正八面体的体积与表面积之比为（ ） A 6 18 B 6 9 C. 6 12 D 6 3 6.已知0,，且 2 cos22coscos，则sin（ ） A 2 3 B 2 3 C. 1 3 D 2 2 3 7. 8

4、3 xx展开式中 3 x的系数为（ ） A28 B32 C.56 D72 8. 若函数 2 20 x f xm exx m在0,1上有极值点,则m的取值范围为（ ） A2,0 B 1 2, e C. 1 ,0 e D 1 1, e 9. 已知,A B分别为椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左、 右顶点，,P Q是椭圆上的不同两点且关于x轴对称， 设直线,AP BQ的斜率分别为,m n，若 1 4 mn .则该椭圆的离心率为（ ） A 6 3 B 2 2 C. 3 2 D 2 3 10. 已知函数 sin0, 2 f xx 的部分图象如图所示,则（ ） A 3 B 6 C. 23420

5、19 0? 0 66666 ffffff D 2342019 0 66666 fffff 11.已知二次函数 f x满足 121f xf xx，且 11f ，对任意 12 1xx ， 12 12 12 f xf x m xx xx 成立，则m的取值范围为（ ） A2, 1 B2, 1 C. 4, 1 D4, 1 12. 已知双曲线 22 22 :10,0 xy ab ab 的左,右焦点分别为 12 ,F F,点P是双曲线上的一点,若 12 120FPF ,且 12 FPF外接圆与内切圆的半径之比为8:1,则双曲线的离心率为（ ） A 4 46 23 B 4 69 23 C. 2 D2 第第 I

6、III 卷卷 二二、填空题填空题: :本大题共本大题共 4 4 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 2020 分分. .把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. . 13.已知平面向量,2 ,1,am mbm，且abab，则m 14. 定义在R上的奇函数 f x在0,上是减函数, 32()0f mfmf若,则m的取值范围 为 15. 如图,在四棱锥PABCD中,PA 平面ABCD,若 2,/ /, 3 PAADADBCDABADCPC 与平面ABCD所成角的正切值为 2 3 3 ,则四棱锥 PABCD外接球的表面积为 16. 已知等边三角形ABC的边长为2,边AB

7、上有两点,M N满足30MCN ,则 MCN S的最小值 是 三三、 解答题解答题: :本大题共本大题共 6 6 小题小题, ,共共 7070 分分. .解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤,17,17 2l2l 题为必考题题为必考题, ,每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答. .第第 22,2322,23 题为选考题题为选考题, ,考生根据要求作答考生根据要求作答. . 17.已知数列 n a的首项为 1 2 ，且满足 * 1 112, nn nanannN 1求 n a的通项公式 2已知 1 nn n ba na ，求数列 n

8、 b的前n项和 n S 18. 如图,已知四边形ABCD为菱形,对角线AC与BD相交于,60OBAD ,点E不在平面ABCD内, 平面ADEF 平面 ,BCEFEF OF平面,22ABCD BCCEDEEF. 1证明:/ /EFAD. 2求平面ADEF与平面BCEF所成锐二面角的余弦值. 19. 已知动点M到点3,0F的距离比它到直线:50l x的距离小2. 1求动点M的轨迹E的方程. 2过点F作斜率为()0k k 的直线 l与轨迹E交于点,A B,线段AB的垂直平分线交x轴于点N,证明: AB FN 为定值. 20. 已知函数 2 2ln m f xxx x 1若 f x在定义域内单调递增,

9、求m的取值范围; 2若存在 0 1,xe,使得 0 0f x成立,求m的取值范围. 21. 某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人们群众脱贫奔小康， 经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加,为了制定提升农民收入,实现 2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计2019了年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图: 1根据频率分布直方图,估计这50位农民的平均年收入x(单位:千元)(同一组数据用该组数据区间的中 点值表示). 2为推进精准扶贫,某企业开设电商平台进行扶贫,让越来越多的农村偏远地区的农户通过经营网络商城 脱贫致富.甲计划在A

10、店,乙计划在B店同时参加一个订单“秒杀”抢购活动,其中每个订单由 * 2,()n nnN个商品W构成,假定甲,乙两人在,A B两店订单“秒杀成功的概率分别为, p q,记甲、乙 两人抢购成功的订单总数量、商品W总数量分别为,X Y 求X的分布列及数学期望E X 若 2 7sinsin , 44 nn pq nnn ，求当的数学期望 E Y取最大值时正整数n的值. ( (二二) )选考题选考题: :共共 1010 分分. .请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答. .如果多做如果多做, ,则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分. . 22.选修 4-4:坐标

11、系与参数方程 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 12 32 xt yt （t为参数） ,曲线C为 22 420 xxy， 以为O 极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 1求直线l和曲线C的极坐标方程; 2若射线02 与曲线C相切于点M(点M位于第一象限),且与直线l相交于点N,求 MN 23.选修 4-5:不等式选讲 已知正实数, ,a b c满足abbcacabc. 1证明:9abc . 2证明: 222 1 bca abc 2020202020212021 年度河南省高三质量检测年度河南省高三质量检测( (五五) ) 数学参考答案数学参考答案( (理科理科) ) 1.B 2 40

12、04Ax xxxx， 242 x Bxx x 02ABxx 2. A 21 225 1111 1 21 21 25 iiii zaiaiaiaai iii 则 0 10 a a 得10a 3.C 区域D的面积为1 11 ,在区域D中,满足 22 1 4 xy的面积为 2 11 4216 则所求概率 16 P 4.C 作出不等式组表示的可行域(图略),当直线4yxz 过点2, 2时,z取得最大值6 5.B 正八面体的上、下结构是两个相同的正四棱锥,由勾股定理求得斜高,再由棱锥的体积公式即可求解. 由边长为2,可得正八面体上半部分的斜高为 2 213 ,高为3 12 ,则其体积为 2 228 2

13、2 33 ，其表面积为 2 3 828 3 4 ,所以此正八面体的体积与表面积之比为 6 9 6.D 由 2 cos22coscos，得 2 3cos2cos10 ， 解得 1 coscos1 3 或 又因为0, 所以 1 cos 3 则 2 2 2 sin1 cos 3 7. A 8 3 xx展开式的通项公式为 8 4 3 6 88 r rr rr CxxC x 令43 6 r ，得6r ， 所以展开式中 3 x的系数为 6 8 28C。 8.A 220 x fxm exm 所以 fx在0,1上为减函数 所以 020 10 fm fme 解得20m 9.C 设 00 ,P xy，则 2 00

14、0 00 22 000 , yyy Q xymnmn xaxaxa 又因为 2 222 00 2 b yxa a 所以 222 22 13 , 42 bab mne aa 10.D 由函数图象可知 7 41234 T 即 2 2T 将 7 , 1 12 代入得 773 sin 212, 1262 kkZ 2, 3 kkZ 又 2 3 sin 2 3 f xx sin 633 nn f 是以6为最小正周期的周期函数 则 232343453 sin,sin0,sin,sin 6326632632 ffff 5673 sin20,sin 6632 ff 2342019 +? +0 66666 fff

15、ff 11.A设二次函数 2 0f xaxbxc a 则 2 2 1112f xa xb xcaxab xabc 又 121f xf xx 22 221axab xabcaxbxc 22 1 abb abcc 解得 1 2 a b 11f 1abc 2c 2 22f xxx 12 12 12 f xf x m xx xx 22 1122 f xmxf xmx 12 1xx 函数 2 f xmx在1, 上单调递增 令 22 122g xf xmxm xx 当1m 时， 22g xx满足题意 当1m 时 10 2 1 2 1 m m 解得21m 综上，m的取值范围为2, 1 12.B 设的外接圆与

16、内切圆的半径分别为,R r,则8Rr 因为 1212 120 .2FPFFFc 所以 12 12 2 2 sinsin120 FFc R FPF 则 2 33 , 312 Rc rc 如图，圆E是 12 FPF的内切圆，且与 12 FPF的三边分别切于, ,A B C三点 设点 0,0 A x，则 12121212 PFPFPCCFPBBFCFBFF AAF 所以 00 2acxcx 解得 0 xa 即 11 AFCFca， 22 AFBFca 因为直线PE是 12 FPF的角平分线，且 2 EBPF 所以tan60 EB PB 可得 1 12 PBPCc 因为 112211212 11 si

17、n 22 PFFFPFrPFFFFPF 所以 22 125311693 261221442 ccca 整理得 22 4823ac 故 4 69 23 c e a 13.1 由abab，可得向量, a b反向， 所以 2 2mm 解得 21mm 舍去 或 14.3,由题可知函数 f x在R上单调递减,且 00f, 320f mfmf可化为 2()3f mfm, 则23mm,解得3,m 即m的取值范围为3, 15. 8连接AC,则PCA为PA与平面ABC所成角, 即 2 3 3 tan PCA, 所以3AC 因为/ /, 3 ADBCDABADC , 所以四边形ABCD为等腰梯形,且可求得1,CD

18、ACCD, 所以底面ABCD外接圆的半径为1,且四边形ABCD外接圆的圆心为AD的中点, 四棱锥PABCD外接球的半径 22 112R , 故该四棱锥外接球的表面积 2 48SR 16.63 3设, MCN CMx CNy S记为S 则在MCN中,有 11 sin30 24 Sxyxy , 即4xyS.在ACB中,点C到AB的距离3d 故 13 22 SdMNMN, 即 2 3 S MN 由余弦定理可得 22222 2cos30323MNxyxyxyxyxyxy 当且仅当xy时，取等号， 即 2 2 234 3 SS 可得63 3S 17.解： 1由 1 11 nn nana 得 1 1 1

19、n n an an 又 1 1 2 a 所以当2n时， 1232 1 12321 12321 1143 nnn n nnn aaaaannn aa aaaaannn 11 21n n 又1n 也满足上式 所以 1 1 n a n n 111 21 1 nn n ban nann 所以 2111111111 1? 22334412 n nn S nn 2 13 1 12 nn n 2 3 21 nnn n 18. 1证明:因为四边形ABCD为菱形, 所以/ / ADBC， 因为AD平面, BCEF BC 平面BCEF， 所以/ /AD平面BCEF 因为平面ADEF 平面,BCEFEF AD平面A

20、DEF， 所以/ /EFAD 2解:因为四边形ABCD为菱形, 所以.ACBD 因为OF 平面ABCD, 所以以O为坐标原点,OA OB OF所在直线为, ,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 取CD的中点M,连接,EM OM, 则60 ,2,BADBC 所以3,1OAOCOBOD. 因为2BCCDCEDE, 所以CDE为正三角形，3EM 因为 11 / /,/ /, 22 OMBC OMBC EFBC EFBC 所以/ /,EFOM EFOM 所以/ /,OFEM OFEM 从而 3131 3,0,0 ,0,1,0 ,3,0,0 ,0, 1,0 , 3 ,3 2222 ABC

21、DEED 设平面ADEF一个法向量为, ,mx y z 所以 0 0 mAD m ED 所以 3, 1,00 3 1 ,30 22 m m 所以 30 31 30 22 xy xyz 令1x 所以 3,1,1,3,1yzm 设平面BCEF一个法向量为, ,na b c 所以 0 0 n BC n EC 所以 3, 1,00 3 1 ,30 22 n n 所以 30 31 30 22 ab abc 令1a 所以 3,1,1,- 3, 1bcn 所以 3 cos, 5 m n m n m n 因此平面ADEF与平面BCEF所成锐二面角的余弦值为 3 5 19. 1解:由题意知,动点M到点3,0F的

22、距离与到直线 1: 30lx距离相等， 由抛物线的定义知,轨迹E是以3,0F为焦点,以直线 1: 30lx为准线的抛物线. 所以点M的轨迹E的方程为 2 12yx 2证明:设直线:3lxty 联立 2 3 12 xty yx 得 2 12360yty 设 1122 ,A x yB xyG为线段AB的中点， 则 2 121212 12 ,6126yyt xxt yyt, 所以 2 ,(66 )3Gtt， 所以线段AB的垂直平分线的方程为 2 663ytt xt , 则 2 69,0Nt 从而 22 69366FNtt 2 12 61212ABxxt 所以2 AB FN 为定值. 20.解： 2

23、22 2222 11+0 mxxm fx xxx 在0,上恒成立 2 22mxx 则1m m的取值范围为1, 2令 2 22 22222 2ln1,1 mmxxm f xxx xefx xxxx 1xe 22 12222mxxmeem 当10m 即1m 时， f x在1,e上单调递增 max 2 20 m f xf ee e 2 122mee 当 2 220eem 即 2 22mee 时， f x在1,e上单调递减 max 110f xfm 2 22mee 当 2 221eem 时 存在 1 1,xe，使得 f x在 1 1,x上单调递减，在 1, x e上单调递增 max max1 ,f x

24、ff e 110fm 或 2 20 m f ee e 解得 2 221eem 综上所述,m的取值范围是 2 ,22ee 21.解： 112 0.04 14 0.12 16 0.28 18 0.3620 0.1022 0.0624 0 .0417.4x 千元 故估计这50位农民的年平均收入x为17.4千元. 2由题知,X的可能取值为0,1,2. 01)1(P Xpq ()(111)P Xp qqp 2P Xpq 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 1pqpq 2pqpq pq 01122E Xpqpqpqpqpq 因为YnX 所以 2 7sinsin 2sin 44 nn E YnE Xn p

25、qn nnnnn 令 11 0, 2 t n 设 2sinf ttt 则 E Yf t 1 2 cos2cos 2 fttt 且0, 2 t 当时 1 0, 3 t ， 0ft 所以 f t在区间 1 0, 3 上单调递增 当 1 1 , 3 2 t 时， 0ft 所以 f t在区间 1 1 , 3 2 上单调递减 所以 1 3 t ，即3n 时 1 3 33 f tf 故当 E Y取最大值时,n的值为3 22.解: 1消去t可得:40l xy 将cos ,sinxy代入普通方程， 可得直线l的极坐标方程为cossin40 曲线C的极坐标方程为 2 4cossin40 2在极坐标系中,联立 2

26、 4cos20 可得 2 4cos20 因为射线与曲线C相切, 所以 2 44 20cos , 即 2 cos 2 ,又点M位于第一象限, 即 4 所以2OM 联立4 cossin40 解得2 2, 即2 2ON 所以2MNONOM 23.证明： 1因为abbcacabc 所以 111 1 abc 所以 111 332 abaccbab abcabc abcbacabcca 229 accb cabc 当且仅当abc时取等号 所以9abc 222222222 1111112 211 bcabcabca abcabcabcabbccaa 22 1 1 bc 当且仅当abc时取等号 即 222 1 bca aac