2021年上海市徐汇区高考数学一模试卷.docx

1、 第 1 页（共 15 页） 2021 年上海市徐汇区高考数学一模试卷年上海市徐汇区高考数学一模试卷 一一.填空题（本大题共填空题（本大题共 12 题，题，1-6 每题每题 4 分，分，7-12 每题每题 5 分，共分，共 54 分）分） 1 （4 分）计算： 2 2 2 lim 253 n nn nn 2 （4 分）已知(2, 3)am，( 1, )bm ，若/ /ab，则m 3 （4 分）不等式 1 | 0 32 x 的解集为 4 （4 分）在 6 (1)x的二项展开式中，中间项的系数是 5（4 分） 设集合( , )|4xAx yy，xR，( , )|6 28 x Bx yy ，xR，

2、则AB 6 （4 分）函数arccosyx， 1x ，0的反函数 1( ) fx 7 （5 分）用数学归纳法证明： 251* 1 222() n nN 能被 31 整除时，从k到1k 添加 的项数共有 项（填多少项即可） 8 （5 分）如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大 小为 9 （5 分）小王同学有 4 本不同的数学书，3 本不同的物理书和 3 本不同的化学书，从中任 取 2 本，则这 2 本书属于不同学科的概率是 （结果用分数表示） 10 （5 分）在ABC中，45A，M是AB的中点，若| | 2ABBC，D在线段AC上 运动，则DB DM的最小值是 1

3、1 （5 分） 已知函数( )f xaxb（其中a、)bR满足： 对任意的0 x，1， 有| ( )| 1f x， 则(21)(21)ab的最小值是 12 （5 分）已知双曲线 22 :1 45 xy 的左、右焦点分别是 1 F、 2 F，直线l与的左、右支 分别交于P、(Q P、Q均在x轴上方） ，若直线 1 PF、 2 QF的斜率均为k，且四边形 21 PQF F的 面积为20 6，则k 二二.选择题（本大题共选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 第 2 页（共 15 页） 13 （5 分）已知xR，条件 2 :p xx，条件 1 :1q x ，则p是q

4、的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 14 （5 分）若2i是关于x的实系数方程 2 0 xaxb的一根，则(ab ) A1 B1 C9 D9 15 （5 分）方程 8 coslogxx的实数解的个数是( ) A4 B3 C2 D1 16 （5 分）设T是平面直角坐标系xOy上以(0,2)A、(3, 1)B 、( 3, 1)C为顶点的正三 角形，考虑一下五种平面上的变换：绕原点作120的逆时针旋转；绕原点作240的逆 时针旋转；关于直线OA对称；关于直线OB对称；关于直线OC对称任选三种变 换（可以相同）共 125 种变换方式，若要使得T变回起始的位

5、置（即点A、B、C分别都 在原来的位置） ，共有( )种变换方式 A12 B16 C20 D24 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 题，共题，共 14+14+14+16+1876 分）分） 17 （14 分） 如图， 在直三棱柱 111 ABCABC中，2ACBC， 1 4CC ，90ACB，E、 F分别为棱 1 AA、AB的中点 （1）求异面直线 1 AC与EF所成的角的大小（结果用反三角函数值表示） ； （2）求五棱锥 11 CEFBB A的体积 1 1 C EFBB A V 18 （14 分）设椭圆 22 22 1(0) 1 xy m mm 的两个焦点分别为是 1 F、 2 F

6、，M是椭圆上任意一 点， 12 FMF的周长为22 2 （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆在y轴负半轴上的顶点B及椭圆右焦点 2 F作一直线交椭圆于另一点N，求 第 3 页（共 15 页） 1 F NB的大小（结果用反三角函数值表示） 19 （14 分）进博会期间，有一个边长80m的正方形展厅OABC，由于疫情，展厅被分割成 如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以O为圆心，60m为半径的扇形ODE作为展厅， 现要在余下的地块中划出一个矩形的样品说明会场地PGBF， 矩形有两条边分别落在AB和 BC上，设 5 () 1212 POA 剟 （1）用表示矩形PGBF的面积，并求出当矩形PGBF为正方

7、形时的面积（精确到 2 1)m； （2）当为何值时，矩形PGBF的面积 PGBF S最大？并求出最大面积（精确到 2 1)m 20 （16 分）设( ) x表示不小于x的最小整数，例如：(0.3)1，( 2.5)2 （1）解方程：(1)3x； （2）设( )( )f xxx， * nN，试分别求出( )f x在区间(0，1、(1，2以及(2，3上 的值域，若( )f x在区间(0，n上的值域为 n M，求集合 n M中的元素的个数； （3）设实数0a ， ( ) ( )2 x g xxa x ， 2 sin2 ( ) 57 x h x xx ，若对于任意 1 x， 2 (2x ，4 都有 12

8、 ()()g xh x，求实数a的取值范围 21 （18 分）对于项数为(3,)m mmN的有限数列 n a，记该数列前i项 1 a， 2 a， i a中 的最大项为(1 i x i ， 2，)m， 记 1 i xm a xa， 2 a， i a， 该数列后mi项 1i a ， 2i a ， ， m a中的最小项(1 i y i ， 2，1)m， 记 1 ii ymin a ， 2i a ， m a，(1 iii dxy i， 2，3，1)m （1）对于共有四项的数列：3，4，7，1，求出相应的 1 d、 2 d、 3 d； （2）设c为常数，且 1 (1 km k axc k ，2，3，)m

9、，求证：(1 kk xa k，2，3， )m； （3）设实数0，数列 n a满足 1 1a ， 1 2 (2 3 nn aan ，3，)m，若数列 n a对 应的 1 d满足 1ii dd 对任意的正整数1i ，2，3，2m 恒成立，求实数的取值范围 第 4 页（共 15 页） 2021 年上海市徐汇区高考数学一模试卷年上海市徐汇区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题（本大题共填空题（本大题共 12 题，题，1-6 每题每题 4 分，分，7-12 每题每题 5 分，共分，共 54 分）分） 1 （4 分）计算： 2 2 2 lim 253 n nn nn 1 2

10、 【解答】解： 2 2 2 2 1 21 limlim 53 2532 2 nn nn n nn nn ， 故答案为： 1 2 2 （4 分）已知(2, 3)am，( 1, )bm ，若/ /ab，则m 1或 3 【解答】解：因为(2, 3)am，( 1, )bm ，若/ /ab， 所以(2)3mm 解答1m 或3m 故答案为1或 3 3 （4 分）不等式 1 | 0 32 x 的解集为 2 ( 3 ，) 【解答】解：由 1 | 0 32 x 可得：1 ( 2)3 ()0 x ，解得： 2 3 x ， 原不等式的解集为 2 ( 3 ，) 故答案为： 2 ( 3 ，) 4 （4 分）在 6 (1

11、)x的二项展开式中，中间项的系数是 20 【解答】解： 6 (1)x的二项展开式的通项为 16 ( 1)r rr r TC x ， 其展开式共 7 项，中间项为第四项， 则3r 时， 3322 46 ( 1)20TC xx ， 即中间项的系数是20， 故答案为20 5 （4 分）设集合( , )|4xAx yy，xR，( , )|6 28 x Bx yy ，xR，则AB (1,4)，(2,16) 第 5 页（共 15 页） 【解答】解：由题意，令 4 628 x x y y ，消去y，得4628 xx ，解得1x 或2x ； 当1x 时，4y ；当2x 时，16y ； 所以集合(1,4)AB

12、，(2,16) 故答案为：(1,2)，(2,16) 6 （4 分）函数arccosyx， 1x ，0的反函数 1( ) fx cosx，, 2 x 【解答】解：由反函数的定义可得 1( ) cosfxx ， 令cos 1x ，0，解得, 2 x ， 故答案为：cosx，, 2 x 7 （5 分）用数学归纳法证明： 251* 1 222() n nN 能被 31 整除时，从k到1k 添加 的项数共有 5 项（填多少项即可） 【解答】解：当nk时，原式 251 1 222 k ， 那么，当1nk时，原式 251551525354 1 22222222 kkkkkk ， 从k到1k 添加的项为 55

13、1525354 22222 kkkkk ，共 5 项 故答案为：5 8 （5 分）如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大 小为 60 【解答】解：设圆锥的母线长为R，底面半径为r， 则：2Rr， 2Rr， 母线与底面所成角的余弦值 1 2 r R ， 母线与底面所成角是60 故答案为：60 第 6 页（共 15 页） 9 （5 分）小王同学有 4 本不同的数学书，3 本不同的物理书和 3 本不同的化学书，从中任 取 2 本，则这 2 本书属于不同学科的概率是 11 15 （结果用分数表示） 【解答】解：小王同学有 4 本不同的数学书，3 本不同的物理书和 3 本

14、不同的化学书， 从中任取 2 本，基本事件总数 2 10 45nC， 这 2 本书属于不同学科包含的基本事件个数 2222 10433 33mCCCC， 则这 2 本书属于不同学科的概率是 3311 4515 m p n 故答案为： 11 15 10 （5 分）在ABC中，45A，M是AB的中点，若| | 2ABBC，D在线段AC上 运动，则DB DM的最小值是 7 8 【解答】解：在ABC中，45A，| | 2ABBC，45C，90B， ABC是等腰直角三角形，| 2 2AC ，如右图所示， 以AC所在的直线为x轴，以AC的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则(2A ，0)， (0, 2)B

15、， 2 ( 2 M ， 2 ) 2 ， 设( ,0)D t，2t ，2，则(, 2)DBt ， 2 ( 2 DMt ， 2 ) 2 ， 2 2227 ()2() 2248 DB DMttt ，2t ，2， 当 2 4 t 时，DB DM取最小值 7 8 ， 故答案为： 7 8 11 （5 分） 已知函数( )f xaxb（其中a、)bR满足： 对任意的0 x，1， 有| ( )| 1f x， 第 7 页（共 15 页） 则(21)(21)ab的最小值是 9 【解答】解：因为( )f xaxb，对任意0 x，1，有|( )| 1f x， 所以(0)fb，f（1）ab，即(0)bf，af（1）(0

16、)f， 所以(21)(21)42()14abababf （1）(0)(0)2fff（1）1 2 4 (0)4 (0)fff（1）f（1） 2 f（1） 2 2f（1）1 f （1） 2 2 (0)ff（1） 2 1f（1） 2 2 (0)f， 当f（1）1 ，(0)1f时， f（1） 2 2 (0)f最大为 9， 此时 f（1） 2 2 (0)f最小为9， 所以(21)(21)ab的最小值为9， 故答案为：9 12 （5 分）已知双曲线 22 :1 45 xy 的左、右焦点分别是 1 F、 2 F，直线l与的左、右支 分别交于P、(Q P、Q均在x轴上方） ，若直线 1 PF、 2 QF的斜率

17、均为k，且四边形 21 PQF F的 面积为20 6，则k 2 【解答】解：由题意绘制示意图如图所示： 由双曲线方程可得：2a ，3c ，因为直线 1 PF、 2 QF的斜率均为k， 所以直线 12 / /PFQF，在三角形 12 QFF中，设 2 QFx，则 1 24QFaxx， 设 2 QF的倾斜角为，则由余弦定理得 22 364 cos 26 xx x ， 第 8 页（共 15 页） 解得 2 5 23cos QFx ，同理可得： 1 5 23cos PF ， 所以四边形 21 PQF F的面积： 1212 1155 sin6sin20 6 22 23cos23cos SPFQFFF ，

18、 解得 6 sin 3 或 5 6 sin 18 （舍去） ，故tan2k 故答案为：2 二二.选择题（本大题共选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知xR，条件 2 :p xx，条件 1 :1q x ，则p是q的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 【解答】解：求解二次不等式 2 xx，可得01x，则 |01Axx， 求解分式不等式 1 1 x 可得01x，则101Bx， 因为AB，所以p是q的充分必要条件 故选：C 14 （5 分）若2i是关于x的实系数方程 2 0 xaxb的一根，则(ab )

19、 A1 B1 C9 D9 【解答】解：因为2i是关于x的实系数方程 2 0 xaxb的一根， 根据实系数方程虚根成对原理知，方程 2 0 xaxb的另一根为2i， 根据韦达定理得22iia ，(2)(2)iib， 4a ，5b ， 1ab， 故选：A 15 （5 分）方程 8 coslogxx的实数解的个数是( ) A4 B3 C2 D1 【解答】解：方程 8 coslogxx的实数解的个数，即函数cosyx的图象和函数 8 logyx的 图象交点的个数 数形结合可得函数cosyx的图象和函数 8 logyx的图象 （图中红色曲线） 交点的个数为 3， 故选：B 第 9 页（共 15 页） 1

20、6 （5 分）设T是平面直角坐标系xOy上以(0,2)A、(3, 1)B 、( 3, 1)C为顶点的正三 角形，考虑一下五种平面上的变换：绕原点作120的逆时针旋转；绕原点作240的逆 时针旋转；关于直线OA对称；关于直线OB对称；关于直线OC对称任选三种变 换（可以相同）共 125 种变换方式，若要使得T变回起始的位置（即点A、B、C分别都 在原来的位置） ，共有( )种变换方式 A12 B16 C20 D24 【解答】解：要使三角形回到原来的位置，又能通过一次旋转变换两次对称变换组合使用或 使用三次旋转变换， 只用旋转变换时，可以通过 3 次或 3 次实现，共有 2 种， 当使用对称和旋转

21、组合时，则不能出现相同对称变换， 若旋转变换在第一位可选或， 在第二位的对称变换可在中任选一种， 而前两位一 旦选下，则第三位就已定下， 此时共有 11 23 6C C 种， 若旋转变换在第二位， 则第一位的对称变换可在中任选一种， 第二位的旋转或选， 而前两位一旦选下，则第三位就已定下， 此时共有 11 23 6C C 种， 若旋转变换在第三位， 则第一位的对称变换可在中任选一种， 则第二位的对称不能选 第一位的，前两位一旦选下，则第三位就已定下， 此时共有 11 23 6C C 种， 总共有666220种， 故选：C 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 题，共题，共 14+14+1

22、4+16+1876 分）分） 17 （14 分） 如图， 在直三棱柱 111 ABCABC中，2ACBC， 1 4CC ，90ACB，E、 第 10 页（共 15 页） F分别为棱 1 AA、AB的中点 （1）求异面直线 1 AC与EF所成的角的大小（结果用反三角函数值表示） ； （2）求五棱锥 11 CEFBB A的体积 1 1 C EFBB A V 【解答】解： （1）如图建立里空间坐标系， 1(2 A，0，4)，(2E，0，2)，(1F，1，0)，(0C， 0，0)， 1 ( 2AC ，0，4)，( 1EF ，1，2)， 1 2 ( 1)0 1( 4)( 2)10AC EF ， 222

23、1 |( 2)0( 4)2 5AC ， 222 |( 1)1( 2)6EF ， 1 1 1030 cos 6| |230 AC EF ACEF ， 30 arccos 6 （2） 1 11 1 11 1 1 11111114 224224222 2323223 C EFBB AABCA B CCA B CCAEF VVVV 18 （14 分）设椭圆 22 22 1(0) 1 xy m mm 的两个焦点分别为是 1 F、 2 F，M是椭圆上任意一 点， 12 FMF的周长为22 2 第 11 页（共 15 页） （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆在y轴负半轴上的顶点B及椭圆右焦点 2 F作一直线

24、交椭圆于另一点N，求 1 F NB的大小（结果用反三角函数值表示） 【解答】解： （1）由已知可得三角形 12 FMF的周长为22ac， 而由椭圆方程可得： 22 1am， 22 bm，所以 222 1cab， 所以 2 1am，1c ，则 2 21222 2m ，解得1m ， 所以椭圆的方程为 2 2 1 2 x y； （2）由椭圆方程可得 2(1 F，0) (0B，1)， 1( 1,0) F ， 则直线 2 BF的方程为：1yx， 联立方程 2 2 1 1 2 yx x y ，消去y可得： 2 340 xx，解得0 x 或 4 3 x ， 所以点N的坐标为 4 1 ( , ) 3 3 N，

25、 直线BN的斜率为 1 1 3 1 4 0 3 BN k ，所以直线BN的倾斜角为 4 ， 所以 22 1 415 2 |(1)( ) 333 NF ， 而 22 414 2 |( )(1) 333 BN ， 22 1 |112BF ， 所以在三角形 1 BF N中，由余弦定理可得： 222 222 11 1 1 5 24 2 ()()( 2) |4 33 cos 2|55 24 2 2 33 F NBNFB F NB F NBN ， 则 1 4 arccos 5 F NB 19 （14 分）进博会期间，有一个边长80m的正方形展厅OABC，由于疫情，展厅被分割成 如图所示的相互封闭的几个部分

26、，已划出以O为圆心，60m为半径的扇形ODE作为展厅， 现要在余下的地块中划出一个矩形的样品说明会场地PGBF， 矩形有两条边分别落在AB和 BC上，设 5 () 1212 POA 剟 （1）用表示矩形PGBF的面积，并求出当矩形PGBF为正方形时的面积（精确到 2 1)m； 第 12 页（共 15 页） （2）当为何值时，矩形PGBF的面积 PGBF S最大？并求出最大面积（精确到 2 1)m 【解答】 解： （1） 过点P作 1 PPOA， 2 PPOC， 如图所示：， 则 1 80808060sinBGGAPP， 2 808060cosPGPP， 所以80608060 PGBF SBG

27、PGsincos 矩形 ， 当矩形PGBF为正方形时，有BGPG，即8060sin8060cos， 又 5 1212 剟， 4 ， 此时 22 2 (8060)1412 2 PGBF Sm 矩形 （2） 80608060400 16129 PGBF SBG PGsincossincossincos 矩形 ， 令sincos2sin() 4 t ， 5 1212 剟， 6 , 2 2 t ， 2 2 91 4 400 16121800()1400 23 PGBF t Stt 矩形 ， 6 , 2 2 t， 故当 6 2 t 即 12 时， PGBF S矩形有最大值 2 1421m 20 （16

28、分）设( ) x表示不小于x的最小整数，例如：(0.3)1，( 2.5)2 （1）解方程：(1)3x； （2）设( )( )f xxx， * nN，试分别求出( )f x在区间(0，1、(1，2以及(2，3上 第 13 页（共 15 页） 的值域，若( )f x在区间(0，n上的值域为 n M，求集合 n M中的元素的个数； （3）设实数0a ， ( ) ( )2 x g xxa x ， 2 sin2 ( ) 57 x h x xx ，若对于任意 1 x， 2 (2x ，4 都有 12 ()()g xh x，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）由题意可得21 3x ，解得(3x，4 （2）

29、当(0 x，1时，( )1x，( )( )1f xx，值域为1， 当(1x，2时，( )2x，( )(2 )f xx，2(2x，4， 当2(2x，3，时，( )(2 )3f xx； 当2(3x，4，时，( )(2 )4f xx； 值域为3，4； 当(2x，3时，( )3x，( )(3 )f xx，2(6x，9， 当2(6x，7时，( )(3 )7f xx； 当2(7x，8时，( )(3 )8f xx； 当2(8x，9时，( )(3 )9f xx； 值域为7，8，9； 可知当(1xn，n时，( ) xn，( )()f xnx，( (1)nxn n， 2 n， 这一区间上，值域中共有元素 2 (1

30、)nn nn个 所以在区间(0，n上的值域的元素有 (1) 123 2 n n n 个 （3）依题意可知当(2x，4时，有( )( ) minmax g xh x， 令 0 5 2 x ，(2x，4时， 0 sin2 sin2xx且 22 00 5757xxxx， 所以 0 4 ( )()34 3 max h xh x 所以( )4g x 在(2x，4时恒成立， 因为( )0 x，所以 2 6 ( ) xx a x 在(2x，4时恒成立，令 2 6 ( ) ( ) xx t x x ， 当(2x，3时，( )3x， 2 6 ( ) 3 xx t x ， 二次函数对称轴为3x ， 所以( )t

31、xt（3）3； 当(3x，4时，( )4x， 2 6 ( ) 4 xx t x ，二次函数对称轴为3x ， 所以函数( )t x此时在(3，4上单调递减， 所以( )t xt（3） 9 4 ，所以( )maxt xt（3）3， 第 14 页（共 15 页） 所以3a ，即实数a的取值范围是(3,) 21 （18 分）对于项数为(3,)m mmN的有限数列 n a，记该数列前i项 1 a， 2 a， i a中 的最大项为(1 i x i ， 2，)m， 记 1 i xm a xa， 2 a， i a， 该数列后mi项 1i a ， 2i a ， ， m a中的最小项(1 i y i ， 2，1)

32、m， 记 1 ii ymin a ， 2i a ， m a，(1 iii dxy i， 2，3，1)m （1）对于共有四项的数列：3，4，7，1，求出相应的 1 d、 2 d、 3 d； （2）设c为常数，且 1 (1 km k axc k ，2，3，)m，求证：(1 kk xa k，2，3， )m； （3）设实数0，数列 n a满足 1 1a ， 1 2 (2 3 nn aan ，3，)m，若数列 n a对 应的 1 d满足 1ii dd 对任意的正整数1i ，2，3，2m 恒成立，求实数的取值范围 【解答】 解： （1） 由题意可得 1 3x ， 2 4x ， 3 7x ， 123 1yy

33、y，所以 1 2d ， 2 3d ， 3 6d ； （2）证明：显然 1ii xx ，对任意1i ，2，1m成立，又 1km k acx ， 所以 1kk aa 对任意的1k ，2，1m成立， 这样 1 k xmax a， 2 a， kk aa； （3）这是个迭代的套路，主要计算 11 2 3 aa得到 1 3 ， 所以 1 0 3 时数列递减， 1 3 时数列递增，下面给出解答： 若1，则 1 2 3 nn aa ， n a为递增数列； 若 1 3 ，则1 n a ， n a为常数列； 若1且 1 3 ，则 1 2 3 nn aa ，即有 1 22 33 () 11 nn aa ， 记 2

34、3 1 nn ba ，则 n b是以为公比的等比数列，且首项为 1 3 1 ， 当 1 (0, ) 3 时，数列 n b首项为正，公比在(0,1)内，所以 n b递减； 当 1 (3，1)时，数列 n b首项为负，公比在(0,1)内，所以 n b递增； 当(1,)时，数列 n b首项为正，公比在(1,)内，所以 n b递增 注意到 n b与 n a单调性相同， 第 15 页（共 15 页） 所以 1 (0, ) 3 时， n a递减， 所以 1 1 i xa， im ya，1 im da 不满足题意； 1 3 时， n a为常数列，所以1 ii xy，0 i d 不满足题意； 1 (3，)时， n a递增， ii xa， 1ii ya ， 1 (1) iiii daaa ， 11 ()(1) iiii ddaa ， 由于 n a递增，所以10， 所以 1 (3，1)