（新教材）2021年高中数学人教A版必修第2册课件：8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 .pptx

1、第八章 立体几何初步 8.3 简单几何体的表面积与体积简单几何体的表面积与体积 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 必备知识必备知识探新知探新知 关键能力关键能力攻重难攻重难 课堂检测课堂检测固双基固双基 素养作业素养作业提技能提技能 素养目标素养目标定方向定方向 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 素养目标素养目标 定方向定方向 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 素养目标 学法指导 1了解圆柱、圆锥、圆台、球 的表面积和体积的计算公式.(逻 辑推理) 2理解并掌握侧面展开图与几 何体的表面积之间的关系

2、，并 能利用计算公式求几何体的表 面积与体积.(逻辑推理)(数学运 算) 1求几何体的表面积时，要充分利用侧 面展开图与原几何体的关系.求体积问题 时，要准确把握底面积和高. 2球心和球的半径是球的“灵魂”. 3在许多有关球的问题中，要画出实际 空间图形比较困难，可以通过构造多面 体或取球的截面，把球的问题转化为多 面体或平面图形的问题来解决. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 必备知识必备知识 探新知探新知 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 圆柱、圆锥、圆台的表面积 知识点1 图形 表面积公式 旋 转 体 圆柱 底面积：S 底_ 侧面积：S 侧

3、_ 表面积：S_ 2r2 2rl 2r(rl) 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 图形 表面积公式 圆锥 底面积：S 底_ 侧面积：S 侧_ 表面积：S_ 旋 转 体 圆台 上底面面积：S 上底_ 下底面面积：S 下底_ 侧面积：S 侧_ 表面积：S_ r2 rl r(rl) r2 r2 (rlrl) (r2r2rlrl) 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 圆柱、圆锥、圆台的体积 知识点2 几何体 体积 说明 圆柱 V 圆柱Sh_ 圆柱底面圆的半径为 r，面积 为 S，高为 h 圆锥 V 圆锥1 3Sh_ 圆锥底面圆的半径为 r，面积 为 S，高

4、为 h 圆台 V 圆台1 3(S SS S)h _ 圆台上底面圆的半径为 r， 面积为 S，下底面圆的半径 为 r，面积为 S，高为 h r2h 1 3r 2h 1 3(r 2rrr2)h 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 1球的表面积公式S_(R为球的半径). 2球的体积公式V_. 球的表面积和体积公式 知识点3 4R2 4 3R 3 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 知识解读 1对圆柱、圆锥、圆台侧面积与表面积的求解 (1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，可直接使用公式.但圆 台的表面积公式比较复杂，不要求记忆，因此，表面积的求解方法是

5、最 重要的. (2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算以上旋转 体的母线长和底面圆的半径长. (3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路，那 就是主要通过空间观念等有关知识，将立体几何问题转化为平面几何问 题. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系 S 圆柱侧2rl rr S 圆台侧(rr)l r0 S 圆锥侧rl. 2对于圆柱、圆锥、圆台体积公式的几点认识 (1)等底、等高的两个圆柱的体积相同. (2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出， 等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的 3

6、 倍. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (3)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系 VSh SS V1 3(S SSS)h S0 V1 3Sh. (4)求圆台的体积转化为求圆锥的体积.根据台体的定义进行“补 形”，还原为圆锥，采用“大圆锥”减去“小圆锥”的方法求圆台的体 积. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 3与球的体积、表面积有关的问题 (1)球的表面积(体积)与半径之间的函数关系 S 球4R2 V球4 3R 3 从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定 R 都有唯一确定的 S 和 V 与之对应，故表面积和体积是关于 R 的

7、函数. (2)利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是 把空间问题转化为平面问题的主要途径. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 关键能力关键能力 攻重难攻重难 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 题型探究题型探究 题型一题型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积 典典例例 1 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面 积为 ( ) A12 2 B12 C8 2 D10 B 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (2)已知一个圆锥的轴截

8、面是等边三角形，其面积为 3，则这个圆锥 的侧面积为_. (3)圆台的上、下底面半径和高的比为 144，若母线长为 10，则 圆台的表面积为_. 2 168 解析 (1)因为过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，所以圆柱的高为 2 2，底面圆的直径为 2 2，所以该圆柱的表 面积为 2( 2)22 22 212. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (2)由题意， 母线长 l2， 底面半径为 1， 所以侧面积为 122. (3)先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解.圆台的轴截面 如图所示，设上底面半径为 r，下底面半径为 R，则它的母线长

9、为 l h2Rr2 4r23r25r10，所以 r2，R8 故S侧(Rr)l(82)10100， S表S侧r2R21004 64168. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 求旋转体表面积的要点 (1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截 面中边角关系是解题的关键； (2)对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法； (3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件 先计算出它们的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常需要列 方程. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (1)圆台的一个底面

10、周长是另一个底面周长的3 倍，母线长为3，圆台的表面积为574，则圆台较小的底面半径为_. (2)一个圆柱的底面面积是S，其侧面积展开图是正方形，那么该圆 柱的侧面积为_. (3)(2020 浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2，且它的侧面展 开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是_. 7 4S 1 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)设圆台较小的底面半径为 r，那么较大的底面半径为 3r， 由已知得 (r3r)3r29r2574，解得 r7 (2)设圆柱的底面半径为 R，则 SR2，R S ，底面周长 c2R. 故圆柱的侧面积为 S 圆

11、柱侧c2(2R)242 S 4S. (3)设圆锥底面半径为 r，母线长为 l，则 rl2 2r1 22l ，解得 r1，l2 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 题型二题型二 圆柱、圆锥、圆台的体积 典典例例 2 (1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 16 2， 则圆锥的体积是 ( ) A64 3 B128 3 C64 D128 2 A 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (2)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的 最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为 ( ) A5 B6 C20 D10 (3)已知某圆台的上、

12、下底面面积分别是，4，侧面积是6，则这 个圆台的体积是_. D 7 3 3 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l， 圆锥的轴截面是等腰直角三角形， 2r l2l2，即 l 2r， 由题意得，侧面积 S 侧r l 2r216 2， r4l4 2，高 h l2r24 圆锥的体积 V1 3Sh 1 34 2464 3 ，故选 A 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (2)用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱， 如图，则圆柱的体积为22520，故所求几何体的体积为 10. (3)设圆台的上、下底面半径

13、分别为 r 和 R，母线长为 l，高为 h，则 S 上r2，S下R24，r1，R2，S侧(rR)l6，l2， h 3，V1 3(1 22212) 37 3 3 . 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和 高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组 成的直角三角形中列出方程并求解.一些不规则几何体体积可以利用割补 法. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (1)若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的 体积是_. (2)(2020 江苏卷)如图，六角螺帽毛坯是由一

14、个正六棱柱挖去一个圆 柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径 为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是_cm. 12 12 3 2 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)易知圆锥的高 h4，所以 V 圆锥1 33 2412. (2)正六棱柱体积为 6 3 4 22212 3，圆柱体积为 1 2 2 2 2， 所求几何体体积为 12 3 2. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 题型三题型三 球的体积与表面积 典典例例 3 (1)球的体积是32 3 ，则此球的表面积是 ( ) A12 B16 C16 3 D6

15、4 3 (2)一平面截一球得到直径为 2 5 cm 的圆面，球心到这个平面的距 离是 2 cm，则该球的体积是 ( ) A12 cm3 B36 cm3 C64 6 cm3 D108 cm3 (3)一球与棱长为 2 的正方体的各个面相切，则该球的体积为_. B B 4 3 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)设球的半径为 R，则由已知得4 3R 332 3 ，解得 R2故 球的表面积 S 表4R216. (2)设球心为 O，截面圆心为 O1，连接 OO1，则 OO1垂直于截面圆 O1，如图所示. 在 RtOO1A 中，O1A 5 cm，OO12 cm， 球的半径

16、 ROA 22 523(cm)， 球的体积 V4 33 336(cm3). (3)由题意可知球是正方体的内切球， 因此球的半径为 1， 其体积为4 3 . 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (1)(2020 天津卷)若棱长为 2 3的正方体的顶点都 在同一球面上，则该球的表面积为 ( ) A12 B24 C36 D144 (2)将本例(3)变为：圆柱内接于球，圆柱的底面半径为 3，高为 8， 则球的表面积为_. C 100 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角 线的一半， 即

17、 R 2 322 322 32 2 3， 所以，这个球的表面积为 S4R243236. 故选 C 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (2)如图，由条件知，O1A3，OO14，所以OA5，所以球的表面 积为100. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 一个球的内接正方体的表面积是54，求该球的表面积和 体积. 易错警示易错警示 典典例例 4 找错内切球截面致错 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 错解 设正方体的棱长为 a，则有 6a254， 解得 a3 或 a3(舍去). 正方体的面对角线长 d 32323 2， 球的半径 R

18、1 2d 3 2 2 . S 球4R24 3 2 2 218， V 球4 3R 34 3 3 2 2 39 2. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 错因分析 将球的内接正方体所取截面理解为正方体一个面所在 截面，错误得到正方体的面对角线的长等于球的直径的结论. 正解 设正方体的棱长为 a，则有 6a254， 解得 a3 或 a3(舍去). 正方体的体对角线长 d 3323 3. 球的半径 R1 2d 3 3 2 . S 球4R24 3 3 2 227， V 球4 3R 34 3 3 3 2 327 3 2 . 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 误区警示 正方体的一个面所在截面是球的小圆面，不是球的大 圆面.解决此类问题应取正方体的体对角线所在的截面. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这 个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_. 解析 设正方体的棱长为 a，则 6a218， a 3. 设球的半径为 R，则由题意知 2R a2a2a23， R3 2. 故球的体积 V4 3R 34 3 3 2 39 2 . 9 2