（新教材）2021年高中数学人教A版必修第2册课件：6.4.3 第2课时 正弦定理1 .pptx

1、第六章 平面向量及其应用 6.4 平面向量的应用平面向量的应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理余弦定理、正弦定理 第第2课时课时 正弦定理正弦定理 必备知识必备知识探新知探新知 关键能力关键能力攻重难攻重难 课堂检测课堂检测固双基固双基 素养作业素养作业提技能提技能 素养目标素养目标定方向定方向 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 素养目标素养目标 定方向定方向 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 素养目标 学法指导 1通过对任意三角形边长 和角度关系的探索，掌握正 弦定理的内容及其证明.(逻 辑推理) 2能应用正弦定理解三角 形.(数学运算

2、) 3能综合利用余弦定理、 正弦定理、三角恒等变换、 三角形面积公式解决较为复 杂的三角形问题.(数据分析) 1通过研究特殊的三角形到一般的三角形， 从而得到任意三角形的边角之间的数量关系， 感受从特殊到一般的探究思想. 2根据不同的条件选择不同的方法解三角 形，特别是在已知两边及其中一边的对角解 三角形时，要能正确确定解的个数并求解. 3用正弦定理解决问题时，注意数形结合 思想的应用. 4在解三角形中灵活地选择定理进行边角 互化. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 必备知识必备知识 探新知探新知 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 正弦定

3、理的表示 知识点1 文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的_的比相 等 符号语言 a sin A_ 正弦 b sin B c sin C 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 正弦定理的常见变形 知识点2 (1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(R 为ABC 外接圆的半径). (2)sin A a 2R，sin B b 2R，sin C c 2R(R 为ABC 外接圆的半径). (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比， 即abcsin Asin B sin C. (4) abc sin Asin Bsin C a sin A b sin B c

4、 sin C. (5)asin Bbsin A，asin Ccsin A，bsin Ccsin B. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 微提醒 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题 (1)已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的 边和角. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 关键能力关键能力 攻重难攻重难 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 在ABC中，已知A60，B45，c2，求ABC中 其他边与角的大小. 分析 已知两角，由三角形内角和定

5、理可求出第三个角，已知一 边可由正弦定理求其他两边. 题型探究题型探究 题型一题型一 已知两角和一边解三角形 典典例例 1 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 在ABC 中，C180 (AB)180 (60 45 )75 . sin 75 sin(45 30 )sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 2 2 3 2 2 2 1 2 2 31 4 . 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 根据正弦定理， 得 acsin A sin C 2sin 60 sin 75 2 3 2 2 31 4 6( 31)3 2 6， bcsi

6、n B sin C 2sin 45 sin 75 2 2 2 2 31 4 2( 31). 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 已知任意两角和一边，解三角形的步骤： (1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角. (2)求边：根据正弦定理，求另外的两边. 已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求 解. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (1)(2019 大同高二检测)在ABC 中，已知 a8， B60 ，C75 ，则 b 等于 ( ) A4 6 B4 5 C4 3 D22 3 (2)在ABC 中，B

7、45 ，C60 ，c1，则最短边的边长等于_. A 6 3 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)A180 BC45 ， 由正弦定理得 a sin A b sin B， basin B sin A 8 3 2 2 2 4 6. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (2)由题意，因为 B45 ，C60 ， 所以 A180 BC75 ， 最短边为 b，由正弦定理， 得 bcsin B sin C 1sin 45 sin 60 6 3 . 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 分析 在ABC中，已知两边和其中一边的

8、对角，可运用正弦定 理求解，但要注意解的个数的判定. 题型二题型二 已知两边和其中一边的对角解三角形 典典例例 2 已知在ABC 中，a2 3，b6，A30 ，求ABC 中 其他边与角的大小. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 A 为锐角，bsin A6sin 30 3ab， 本题有两解， sin Bbsin A a 3 2 ，B60 或 120 ， 当 B60 时，C90 ，casin C sin A 2 3sin 90 sin 30 4 3； 当 B120 时，C30 ，casin C sin A 2 3sin 30 sin 30 2 3； 综上，B60

9、，C90 ，c4 3或 B120 ，C30 ，c2 3. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 已知三角形两边及一边对角解三角形时利用正弦定理 求解，但要注意判定解的情况.基本步骤是：(1)求正弦：根据正弦定理求 另外一边所对角的正弦值.判断解的情况.(2)求角：先根据正弦值求角， 再根据内角和定理求第三角.(3)求边：根据正弦定理求第三条边的长度. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (1)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，若 a 2，b2，sinBcosB 2，则角 A 的大小为_. (2)在

10、ABC 中，若 a 3，b 2，B 4，则 A_. 6 3或 2 3 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)由 sin Bcos B 2，得 sin(B 4)1，由 B(0，)，得 B 4，由正弦定理， a sin A b sin B，得 sin A asin B b 1 2，又 ab，AB，A 3或 2 3 . 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 在ABC中，若(ac cos B) sin B(bc cos A) sin A， 判断ABC的形状. 分析 题型三题型三 判断三角形的形状 典典例例 3 返回导航 第六章 平面向量及其应

11、用 数学（必修第二册RJA） 解析 方法一：(角化边)因为(ac cos B) sin B(bc cos A) sin A， 所以(ac a2c2b2 2ac ) b(bc b2c2a2 2bc ) a， 整理得：b2(a2c2b2)a2(b2c2a2)， 即(a2b2)(a2b2c2)0， 所以 a2b2c20 或 a2b2 所以 a2b2c2或 ab. 故ABC 为直角三角形或等腰三角形. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 方法二：(边化角)根据正弦定理，原等式可化为： (sin Asin Ccos B)sin B(sin Bsin Ccos A)sin A，

12、即 sin Ccos Bsin Bsin Ccos Asin A. 因为 sin C0，所以 sin Bcos Bsin Acos A. 所以 sin 2Bsin 2A.所以 2B2A 或 2B2A， 即 AB 或 AB 2. 所以ABC 是等腰三角形或直角三角形. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 在判断三角形的形状时，一般考虑从两个方向进行变 形：一个方向是边，走的是代数变形途径，通常是正、余弦定理结合； 另一个方向是角，走的是三角变换途径.由于高考重点考查的是三角变 换，故解决此类问题时，可先考虑把边转化成角，若用此种方法不好解 决问题，再考虑把角转

13、化成边，但计算量常较大. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 在ABC中，若sin A2sin Bcos C，且sin2A sin2Bsin2C，试判断ABC的形状. 解析 法一：根据正弦定理，得 a sin A b sin B c sin C， sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A 是直角，BC90 ， 2sin Bcos C2sin Bcos(90 B)2sin2Bsin A1， sin B 2 2 . 0 B90 ，B45 ，C45 ， ABC 是等腰直角三角形. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 法二：根据

14、正弦定理，得 a sin A b sin B c sin C， sin2Asin2Bsin2C， a2b2c2，A 是直角， A180 (BC)，sin A2sin Bcos C， sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C， sin(BC)0 又90 BC90 ，BC0，BC， ABC 是等腰直角三角形. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 题型四题型四 正、余弦定理的简单综合 典典例例 4 设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bsin A 3acos B. (1)求角 B 的大小； (2)若 b3，sin

15、C2sin A，求 a，c 的值. 分析 (1)对条件用正弦定理可转化统一成角的关系， 进而求出 B.(2) 由正弦定理可知 c2a，再用余弦定理列方程可求得 a，c. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)bsin A 3acos B， 由正弦定理得 sin Bsin A 3sin Acos B. 在ABC 中，sin A0， 即得 tan B 3，B 3. (2)sin C2sin A，由正弦定理得 c2a， 由余弦定理 b2a2c22accos B， 即 9a24a22a 2acos 3， 解得 a 3，c2a2 3. 返回导航 第六章 平面向量及其应

16、用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (2019 山东临沂高二检测)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，asin Acsin C 2asin Cbsin B. (1)求角 B 的大小； (2)若 A75 ，b2，求 a，c. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)由正弦定理得 a2c2 2acb2 由余弦定理得 b2a2c22accos B. 故 cos B 2 2 ，因此 B45 . (2)sin Asin(30 45 )sin 30 cos 45 cos 30 sin 45 2 6 4 . 故由正弦定理得 ab sin A sin

17、 B1 3. 由已知得，C180 45 75 60 ，cb sin C sin B2 sin 60 sin 45 6. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 易错警示易错警示 典典例例 5 忽视三角形中大边对大角 在ABC 中， 已知 a2 3， b2， A60 ， 则 B_. 30 错解 由正弦定理，得 sin Bbsin A a 2sin 60 2 3 1 2. 因为 0 B180 ，所以 B30 或 B150 . 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 错因分析 本题最易犯的错误就是： (1)由 sin B1 2得 B30 或 150 ，而忽

18、视 b2a2 3，从而易出错. (2)在求出角的正弦值后，要根据“大边对大角”和“内角和定理” 讨论角的取舍. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 正解 由正弦定理，得 sin Bbsin A a 2sin 60 2 3 1 2. 因为 0 B180 ，所以 B30 或 B150 . 因为 ba，根据三角形中大边对大角可知 BA， 所以 B150 不符合条件，应舍去，所以 B30 . 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 已知ABC 中，a 2，b 3，B60 ，那么角 A 等于 ( ) A135 B90 C45 D30 C 解析 在ABC 中，由正弦定理，得 a sin A b sin B， 即 2 sin A 3 sin 60 ，sin A 2 3 2 3 2 2 . ab，AB，A45 .