导数及其运算.docx

1、 1 第一讲第一讲 导数及其运算导数及其运算 1、已知 0 fxa ，则 00 0 3 lim 2 x f xxf xx x 的值为（ ） A.2a B.2a C.a D.a 【答案】B 【解析】若 0 fxa ，则 00 0 lim x f xxf x a x ， 又 000000 000 33 lim2 lim2 lim 24 xxx f xxf xxf xxf xxf xxf x xxx = 0 22f xa，故选 B. 2、设 2 ( )cos 2f xx，则 8 f （ ） A.2 B.2 C.1 D.2 【答案】D 【解析】 2 11 ( )cos 2cos4 22 f xxx 1

2、、理解导数的概念，会求函数在某一点处的导数 2、利用导数的几何意义，求曲线上某点处的切线的斜率和切线的方程 3、熟练运用导数公式及运算法则求较复杂函数的导数 4、了解复合函数的概念 5、理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数 2 1 ( )(cos4 ) (4 )2sin42sin2 282 fxxxxf ，故选 D. 3、已知函数( )ln ,(0,) x f xax x，其中a为实数，( )fx 为 f x的导函数，若(1)3f ，则 a的值为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【解析】因为( )ln x f xax，所以 1 ( )lnln xx fxa ax

3、a x ，又(1)3f ，所以3a ； 故答案为 D. 4、若曲线 2x ye的一条切线l与直线280 xy垂直，则l的方程为（ ） A. 1 1 2 yx B.21yx C.21yx D. 21yx 【答案】D 【解析】设切点为 22 , mx m eye的导数为 2 2 x ye ，切线的斜率为 2 2 m e， 由切线l与直线280 xy垂直，可得 2 22 m e，解得0m，切点为0,1， 可得切线l的方程为21yx.故选 D 5、已知曲线 3 ( )f xaxb经过点0,1，且在1x 处的切线方程为31yx. （1）求 yf x的解析式； （2）求曲线过点1,0的切线方程. 【答案】

4、 3 (1) ( )1;(2)33f xxyx或 33 44 yx 【 解 析 】 （ 1 ） 2 ( )3(1)3 ,fxaxfa 又 函 数 在1x 处 的 切 线 方 程 为31yx， 331aa ， 3 ( )f xaxb经过点0,1，1b ， 3 ( )1f xx. （2）设切点为 2 ( , ),( )3m nfxx ，则 2 3 1 n m m ， ( )f mn，即 3 1mn ，解得1m或 1 2 ， 故切线的斜率为 3 或 3 4 . 所以由点斜式可得切线方程为33yx或 33 44 yx. 3 1、导数的概念 设函数 yf x在 0 xx附近有定义，如果0 x 时，y与x

5、的比 y x （也叫函数的平均 变化率）有极限，即 y x 无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数 yf x在 0 xx处 的导数，并记作 0 fx 或 0 x x y .即 0 000 0 00 0 ( ) limlimlim xxxx f xxf xf xf xy fx xxxx . 对导数的定义要抓住三个层次： （1） 函数的变化（增量） ：对函数 yf x，自变量的增量是x，相应的函数值的增量y 00 f xxf x. （2）平均变化率（增量之比） ： 00 f xxf xy xx . （3）瞬时变化率（增量之比的极限） ： 00 0 00 limlim xx f xxf xy

6、fx xx . 2、可导与导函数 如果 f x在开区间( , )a b内每一点都是可导的，则称 f x在区间( , )a b可导.这样，对开区 间( , )a b内每个值x，都对应一个确定的导数( )fx .于是，在区间( , )a b内，( )fx 构成一个新的 函数，我们把这个函数称为函数 yf x的导函数，记作( )fx 或y（或 x y）.导函数通常简称 为导数. 注意：如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数. 3、基本初等函数的导数公式 ( )0C ； 1( 0,Q)xx ； (sin )cosxx ； 4 (cos )sinxx ； ln (0,1) xx aaa

7、 aa ，特别地， xx ee ； 1 log(0,1) ln a xaa xa ，特别地， 1 (ln )x x . 注： 2 111 (), 2 x xxx . 4、导数的四则运算法则 ( )( )( )( )f xg xfxg x ，特别地， ( )( )f xCfx （C为常数） ； ( ) ( )( ) ( )( )( )f x g xfx g xf x g x ，特别地，( )( )Cf xCfx （C为常数） ， ( )( )( ) xx e f xef xfx ； 2 ( )( ) ( )( )( ) ( ( )0) ( )( ) f xfx g xf x g x g x g

8、xgx ； 特别地， 2 ( )( )( )( )( ) xx xx x f xfx ef x efxf x ee e . 5、复合函数的求导法则 ( ( ) ( )( ) u f u xf uu x ，若()yf axb，则() ()()yfaxbaxba faxb . 6、导数的几何意义 设函数 yf x的图象如图所示.AB为过点 00 ,A xf x与 00 ,B xx f xx的 一 条 割 线 . 由 此 割 线 的 斜 率 是 00 f xxf xy xx ，可知曲线割线的斜率就是函数的平均 变化率.当B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最 终位置为直线AD，这条直线AD

9、叫做此曲线过点A的切线，即 00 0 lim x f xxf x x 等于切线的斜率.由导数意义可知， 曲线 yf x过点 00 ,xf x的切线 的斜率等于 0 fx . x y O x0 C A B D x 5 题型一：导数的定义 对所给极限经过添项、拆项等恒等变形与导数定义相同的结构，然后根据导数定义直接 求出. 【例1】已知 0 0 0 0 ( ) lim,(3)2,(3)2 xx f xf x fxff xx ，则 （1） 0 (3)(3) lim 2 k fkf k ； （2） 3 ( )2 lim 3 x f x x ； （3） 3 23 ( ) lim 3 x xf x x .

10、 【答案】(1)1 ; (2) 2 ;(3) 8 【解析】 （1） 0 (3)(3)1 lim(3)1; 22 k fkf f k （2） 33 ( )2( )(3) limlim(3)2; 33 xx f xf xf f xx （3） 33 23 ( )2(3)63 ( ) limlim23(3)8 33 xx xf xxf x f xx . 【练 1-1】若 00 0 2 lim2 3 x f xxf x x ，则 0 fx （ ） A. 2 3 B. 3 2 C.3 D.2 【答案】C 【解析】 00 0 0 22 lim2 33 x f xxf x fx x ，解得 0 3fx . 【

11、练 1-2】设 f x在 0 x处可导，则 00 0 2 lim x f xxf xx x （ ） A. 0 4fx B. 0 3fx C. 0 2fx D. 0 fx 【答案】B 【解析】 0000 0 00 23 lim3lim3 3 xx f xxf xxf xxf xx fx xx . 6 题型二：导数的运算 总体原则：先化简解析式，再求导. 具体方法：连乘积：先展开化为多项式形式，再求导（注：若相乘的因式个数大于3个， 则利用乘法公式求解）； 分式：先化为整式或较简单的分式，再求导； 对数：先化为和差的形式再求导法； 根式：先化为分数指数幂，再求导. 【例 2】求下列函数的导数： （

12、1） 32 2436yxxx； （2） 2 2 1 x y x ； （3） ln x y x ； （4）cos x yexx. 【答案】 2 2 22 221 ln (1)683;(2);(3); (1) xxx yxxyy xx (4)1 cossin xx yexexx . 【解析】 （1） 2 683yxx ； （2） 2 2 22 2 (1)2 22 (1)(1) x xx xx y xx ； （3） 22 1 ln 1 ln xx x x y xx ； （4）1 cossin xx yexexx . 【练 2-1】求下列函数的导数： （1） 432 432 xxx yx； （2） 1

13、 lnyx x ； （3）(21) x yxe； （4） cos x x y e ； 【答案】 32 2 11 (1)1;(2);yxxxy xx sincos (3)(23)(4;) x x xx yxey e . 【解析】 （1） 432 32 1 432 xxx yxxxx ； （2） 22 11111 (ln )yx xxxxx ； （3） (21)(21)(23) xxx yxexexe ； 7 （4） 22 (cos )cos sincossincos xx xx x xx xexe x ex exx y e ee . 题型三：复合函数求导 复合函数求导主要先分解函数，使之成为几个

14、基本初等函数的复合形式. 注意事项： （1）分清复合关系，即复合函数由哪几个基本初等函数复合而成，适当地选定中间变量 ； （2）分步计算时，要注意对哪个变量求导，由求导公式及四则运算由外向内逐层求导， 求导后，要把中间变量转换成自变量. 【例 3】求下列函数的导数： （1） 2 ln1yx； （2） 2 sinyx； （3） 11 11 xx y xx ； （4） 3 2 1 ( )ln 1 x f x x . 【答案】 42 2 2 23 2 32 (1);(2)2 cos;(3)1;(4)( ) 111 1 xxxxx yyxxyfx xxx x . 【解析】 （1） 2 22 12 1

15、1 21 xx y x xx ； （2） 22 cos22 cosyxxxx ； （3） 2 2 2 (11) 1,1 (11)(11) 1 xxx yxxy xxxx x ； （4） 223 242 23 23 2 3121 132 ( ) 111 1 xxxx xxxx fx xxx x . 【练 3-1】求下列函数的导数： （1） 32x ye ； （2） 2 log (21)yx； （3）sin 2 3 yx ； （4） 1 1 y x . 【答案】 32 2 21 (1)3(2);(3)2cos 2;(4) (21)ln21 ; 3() x yeyyxy xx . 【解析】 （1）设

16、32ux，则 u ye，由复合函数求导法则，有 (3 2)3 uu yexe ，再把 8 32ux代入得 32 3 x ye ； （2）设21ux，则 2 logyu，由复合函数求导法则，有 2 2 log(21) ln2 yux u ，再把 21ux代入得 2 (21)ln2 y x ； （3）设2 3 ux ，则sinyu，由复合函数求导法则，有(sin )22cos 3 yuxu ，再 把2 3 ux 代入得2cos 2 3 yx . （4）设1ux ，则 1 y u ，由复合函数求导法则，有 22 111 (1)( 1)yx uuu ，再把 1ux 代入得 2 1 (1) y x .

17、【例 4】已知函数 f x的导函数为( )fx ，且满足关系式 2 ( )3(2)lnf xxxfx ，则(2)f 的 值等于（ ） A.2 B.2 C. 9 4 D. 9 4 【答案】D 【解析】 2 1 ( )3(2)ln ,( )23(2),f xxxfxfxxf x 令2x，则 1 (2)43(2) 2 ff ，即 99 2(2),(2) 24 ff .故选 D. 【练 4-1】已知 3 2 ( )(21)3 a f xxa x ， 2 2 2 ( )3(21)2 a fxx x ， ( 1)8,3 228fa ，故有 33 22 1,( )(21)3(21)3 a af xxax x

18、x ， ( 1)1234f ，故选 A. 【练 4-2】已知 3 27 0,( ) x mf xmx m ，且(1)18f ，则实数m等于（ ） A.9 B.3 C.3 D.9 【答案】B 【解析】 2 2727 ( )3,(1)3fxmxfm mm ， 9 2 27 (1)18,318,318270fmmm m ， 即 2 3(3)0,3mm ，故选 B. 题型四：求切线方程的方法 若已知曲线过点 00 ,P x y，求曲线的切线方程，分为两种情况： 求曲线在点 00 ,P x y的切线方程，此时点 00 ,P x y就是切点，其切线方程为 000 yyfxxx ； 求曲线过点 00 ,P

19、x y的切线方程， 此时点 00 ,P x y不是切点， 解题步骤可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标 11 ,P x f x ； 第二步：写出过 11 ,P x f x 的切线方程 111 yf xfxxx ； 第三步：将点 00 ,P x y代入切线方程，求出 1 x； 第四步：将 1 x的值代入方程 111 yf xfxxx ，可得过点 00 ,P x y的切线方程. 【例 5】 （1）曲线 32 31yxx在点(1, 1)处的切线方程为（ ） A.34yx B.32yx C.43yx D.45yx 【答案】B 【解析】点(1, 1)在曲线上， 2 1 36 ,3 x yxxy ，即

20、切线的斜率为3. 利用点斜式，切线方程为13(1)yx ，即32yx ，故选 B. （2）已知曲线 3 2yxx，求过点(1, 1)P的曲线的切线方程. 【答案】20 xy和5410 xy （此时切点为 1 7 , 2 8 ） 【解析】设 00 ,P x y为切点，则切线的斜率为 0 2 0 32 x x yx . 切线方程为 232 0000000 32,232yyxxxyxxxxx， 又知切点过点(1, 1)，把它代入上述方程，得 32 0000 1232 1xxxx ， 10 解得 0 1x 或 0 1 2 x . 故所求切线方程为(1 2)(32)(1)yx，或 131 12 842

21、yx . 即20 xy和5410 xy . 【练 5-1】 （1）已知函数 f x在R上满足 2 ( )2 (2)88f xfxxx，则曲线 yf x在点 (1,(1)f处的切线方程为 . 【答案】210 xy 【解析】由已知(1)1,(1)2ff ，所以切线方程为210 xy . （2）求曲线 32 ( )32f xxxx过原点的切线方程. 【答案】2yx和 1 4 yx . 【解析】 2 ( )362fxxx .设切线的斜率为k. 当切点是原点时，(0)2kf ，所以所求曲线的切线方程为2yx. 当切点不是原点时，设切点是 00 ,x y， 则 322 0000000 32,362yxxx

22、 kfxxx ，又 2 0 00 0 32 y kxx x ， 所以 0 0 0 31 , 24 y xk x . 所以所求曲线的切线方程为 1 4 yx . 综上所述，曲线的切线方程为2yx和 1 4 yx . 【练 5-2】设曲线 2 yax在点(1, )a处的切线与直线260 xy平行，则a（ ） A.1 B. 1 2 C. 1 2 D.1 【答案】A 【解析】2yax ，于是切线的斜率 1 2 x kya ， 切线与直线260 xy平行，22,1aa，故选 A. 11 【例 6】若曲线 f x存在垂直于y轴的切线，且 2 ( )232fxxa ，求实数a的取值范围. 【答案】 3 2

23、a 【解析】曲线 f x存在垂直于y轴的切线，存在斜率为 0 的切线， 22 ( )232 ,2320fxxaxa 有根， 即230a ，得出 3 2 a ，故实数a的取值范围是 3 2 a . 【练 6-1】若直线yx是曲线 32 3yxxax的切线，则a . 【答案】1 或 13 4 【解析】设切点 00 ,P x x，直线yx是曲线 32 3yxxax的切线，切线的斜率为 1， 0 0 3222 00 3,36361 x x x x yxxaxyxxaxxa 点P在曲线上， 32 0000 3xxaxx 由联立得 0 2 00 0 3610 x xxa 或 2 00 2 00 310 3

24、610 xxa xxa 由得1a ， 由得 22 0000 336xxxx， 解得 0 0 x 或 3 2 ， 把 0 x的值代入中得到a1 或13 4 ， 综上所述，a1 或 13 4 . 【练 6-2】若存在过点1,0的直线与曲线 3 yx和 2 15 9 4 yaxx都相切，则a（ ） A.1或 25 64 B.1或 21 4 C. 7 4 或 25 64 D. 7 4 或 7 【答案】A 【解析】 由 32 3yxyx ， 设曲线 3 yx上任一点 3 00 ,xx处的切线方程为 32 000 3yxxxx， 将1,0代入方程得 0 0 x 或 0 3 2 x ， 当 0 0 x 时，

25、切线方程为0y ，此直线是 3 yx的切线，故 2 15 90 4 axx仅有一解， 由0 ，解得 25 64 a ， 当 0 3 2 x 时，切线方程为 2727 44 yx， 12 由 2 22 15 9 99 4 30,3401,1 272744 44 yaxx axxaaa yx 或 25 64 a . 故选 A. 13 1、设函数 f x可导，则 0 (1)(1) lim 3 x fxf x （ ） A.(1)f B.3(1)f C. 1 (1) 3 f D.(3)f 【答案】C 【解析】 00 (1)(1)1(1)(1)1 limlim(1) 333 xx fxffxf f xx

26、，故选 C. 2、已知函数 2 ( )ln1f xxx，则(3)f （ ） A. 5 10 B. 10 10 C. 3 10 10 D. 3 10 5 【答案】B 【解析】令 2 1xxu， 则 22 22 11 111 11 xux yy uxxx xxxx 2 22222 112111 1 2 11111 xxx xxxxxxx 2 110 (3) 10 1 3 f .故选 B. 3、函数 2 ( )(1) (0)f xxaxa，且(2)5f ，则a（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【解析】由 222223 ( )(1)1 22f xxaxxaxa xxaxa x， 得出

27、 22 ( )1 43fxaxa x ， 又(2)5f ，即有 2 1 8125(0)aaa， 解得1a .故选 B. 4、若曲线 4 yx的一条切线l与直线480 xy垂直，则l的方程为（ ） 14 A.430 xy B.450 xy C.430 xy D.430 xy 【答案】A 【解析】设切点 00 ,P x y， 因为直线480 xy与直线l垂直，所以直线l的斜率为 4， 即 0 3 0 44 x x yx ，解得 0 1x ，进而得到 0 1y ， 利用点斜式，得到切线方程为430 xy.故选 A. 5、已知函数 32 ( )f xaxbx在1x 处的切线为31yx. （1）求 f

28、x的解析式； （2）求过原点的 f x的切线方程. 【答案】 32 (1) ( )3(2)0;f xxxy 或940 xy 【解析】 （1） 2 ( )32fxaxbx ，(1)2,(1)323fabfab ， 解得 32 1,3,( )3abf xxx ； （2）设切点为 32 ,3mmm， 2 ( )36fxxx ，可得过原点的切线斜率为 2 36mm， 切线方程为 322 336()ymmmmxm 由于切线经过原点，所以 322 0336(0)mmmmm ， 化为 23 32mm，解得0m或 3 2 . 即切线方程为00(0)yx或 9 0(0) 4 yx， 即0y 或940 xy. 1

29、、函数 2 21yxx在2x附近的平均变化率为（ ） A.6 B.6x C.2 D.2x 【答案】B 15 【解析】设 22 ( )21(1)yf xxxx ， 2222 ( 2)( 2)( 21)( 2 1)( 3)9()6yfxfxxxx ， 所以6 y x x ， 所以函数 2 21yxx在2x附近的平均变化率为6x . 2、函数1y 在2,2x上的平均变化率是（ ） A.0 B.1 C.2 D.x 【答案】A 【解析】 1 1 0 y xx . 3、函数 3 cosyxx的导数是（ ） A. 23 3cossinyxxxx B. 23 3cossinyxxxx C. 2 3cosyxx

30、 D. 3 sinyxx 【答案】B 【解析】 3332323 coscos(cos )3cos( sin )3cossinyxxxxxxxxxxxxxx . 4、曲线 sin1 sincos2 x y xx 在点,0 4 M 处的切线的斜率为（ ） A. 1 2 B. 1 2 C. 2 2 D. 2 2 【答案】B 【解析】 2 cos (sincos )sin (cossin )1 (sincos )1 sin2 xxxxxx y xxx ，把 4 x 代入，得导数值为 1 2 ， 即为所求切线的斜率. 5、已知直线31yx与曲线 3 3yax相切，则a的值为（ ） A.1 B.1 C.1

31、 D.2 【答案】A 【解析】设切点为 00 ,x y，则 00 31yx，且 3 00 3yax，所以 3 00 313xax . 16 对 3 3yax求导，得 2 3yax ，则 22 00 33,1axax，由可得， 0 1x ，1a . 6、 已知点P在曲线 4 1 x y e 上，为曲线在点P处的切线的倾斜角， 则的取值范围是 （ ） A.0, 4 B., 4 2 C. 3 , 24 D. 3 , 4 【答案】D 【解析】 2 441 ,2,10 1 21 2 x x xxx x x e yey eee e e ， 即 3 1tan0, 4 . 7、已知函数( )ln ,(0,)f

32、 xaxx x，其中a为实数，( )fx 为 f x的导函数.若(1)3f ，则 a . 【答案】3 【解析】 1 ( )ln(1 ln )fxaxxax x ，由于(1)(1 ln1)faa ，又(1)3f ，3a . 8、已知函数 2 ( )(2)5f xxfx ，则(2)f （ ） 【答案】 5 3 【解析】( )(2) 25fxfx ， 5 (2)(2) 2 253(2)5,(2) 3 ffff . 9、函数 2 ( )2f xxx的导数为 . 【答案】 2 1 2 x xx 【解析】设 2 2uxx，故 2 ( )2f xxx就由 2 ( ),2f uu uxx复合而成， 11 22

33、 2 11 ( )(22 )(1) 2 2 ux x fxfuuxux xx . 10、设函数( )cos( 3)(0)f xx，若( )( )f xfx 是奇函数，则 . 【答案】 6 17 【解析】( )3sin( 3)fxx ， 5 ( )( )cos( 3)3sin( 3)2sin3 6 f xfxxxx . 若( )( )f xfx 是奇函数，则(0)(0)0ff ，即 55 02sin,() 66 kk Z. 又(0, ),. 6 11、求下列函数的导函数. （1） cos cos xx y xx ； （2） 2009 2 cos3 log x yxxx； （3）tanyxx； （

34、4） 2 cos2 3 yx . 【答案】 20092009 2 2(cossin ) (1);(2)2 ln2 cos2 sin3log3log; (cos ) xx xxx xxxe xx 2 sin222 (3);(4)2sin 4. 2cos3 xx x x 【解析】 （1） 2 (cos ) (cos )(cos )(cos ) (cos ) xxxxxx xx y xx 2 (1 sin )(cos )(cos )(1 sin ) (cos ) x xxxxx xx 2 2(cossin ) (cos ) xxx xx （2） 20092009 2cos(cos ) 23loglo

35、g xx yxxxxxx 20092009 1 2 ln2 cossin23 loglog xx xxxe x x 20092009 2 ln2 cos2 sin3log3log xx xxxe （3） 2 sin( sin ) cossin (cos ) ( tan ) cos(cos ) xxxxxxxx yxx xx 18 22 2 2222 1 sin2 sin coscossin (sincos )cossinsin22 2 (cos )(cos )(cos )2cos xx xxxxx xxxxxxxx xxxx . （4）函数 2 2 1 cos 4 3 cos2 32 x yx

36、 可以看作函数 11 cos 22 yu和函数 2 4 3 ux的复合函数， 11212 cos4sin42sin 4 22323 xnx yyuuxux . 12、已知 23 ( ), ( )f xxg xx，求满足( )2( )fxg x 的x的值. 【答案】 17 3 x 或 17 3 x 【解析】 22 0 () ( )lim2 x xxx fxx x ， 33 2 0 () ( )lim3 x xxx g xx x . 因为( )2( )fxg x ，所以 2 223xx，解得 17 3 x 或 17 3 x . 13、已知曲线 2 2yxa在点P处的切线方程为8150 xy，求切点

37、P的坐标和实数a的值. 【答案】7a 【解析】设切点P的坐标为 00 ,x y，切线斜率为k. 由 22 0000 2()2 limlimlimlim(42)4 xxxx xxaxa yy yxxx xxx ， 得 00 4kfxx . 根据题意得 00 48,2xx. 分别代入 2 2yxa和815yx，解得 0 1,7ya ， 故所求切点点P的坐标为(2,1),7.a 14、 （1）设函数 2 ( )31 (23)f xxxx，求( ),( 1)fxf ； （2）设函数 32 ( )25f xxxx，若 0 0fx ，求 0 x的值. 19 【答案】 2 0 (1)( )18225,( 1

38、)182251;(2)1.fxxxfx 或 0 1 3 x . 【解析】 （1） 32 ( )61153f xxxx， 2 ( )18225( 1)182251fxxxf . （2） 322 ( )25,( )341f xxxxfxxx ， 由 0 0fx ，得 2 00 3410 xx ， 解得 0 1x 或 0 1 3 x . 15、曲线 2 cos3 x yex在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为5，求直线l的方程. 【答案】260 xy或240 xy 【解析】 222 cos3cos3(cos3 ) xxx yexexex 222 2cos3( 3sin3 )(2cos33sin3 ) xxx exexexx 0 2 x y . 则切线方程为12(0)yx ，即210 xy . 若直线l与切线平行可设直线l方程为20 xyc， 两平行线间的距离 |1| 56 5 c dc 或4c. 故直线l的方程为260 xy或240 xy