2021凉山州一诊试题数学(理科）答案.pdf

1、凉山州凉山州 20212021 届高中毕业班第一次诊断性检测届高中毕业班第一次诊断性检测 数学（理科）参考答案及评分意见数学（理科）参考答案及评分意见 评分说明：评分说明： 1.1. 本解法给出了一种或几种解法供参考本解法给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解法不同如果考生的解答与本解法不同，可根据试题的主可根据试题的主 要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2.2. 对计算题对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变试题的内容如果后续部分的解答未改变试题的内容 及难度可视影响的程度决定

2、后续部分的给分，但不得超过该部分的正确解答应得分数的一及难度可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分的正确解答应得分数的一 半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3.3. 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4. 只给整数分数，选择题不给中间分。只给整数分数，选择题不给中间分。 一、一、选择题选择题( (每小题每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分) ) 1-12. BAACBBABDABB 二、二、填空题填空题( (每小题每小题 5 5 分

3、，共分，共 2020 分分) ) 13. 13514. , 20,2 15. 50916. 三、解答题（共解答题（共 7070 分）分） 17.解：2 2 列联表如下： 大龄受试者年轻受试者合计 舒张压偏高或偏低101020 舒张压正常206080 合计3070100 2 2 100 (10 60 10 20) 4.7626.635.5 30 70 20 80 K 分 所以，没有 99%的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关.6 分 3021 3333 33 66 1203 3333 33 66 01 2,3. 19 (0)=(1)= 2020 91 (2)=(3)=.10 2020 X

4、 C CC C P XP X CC C CC C P XP X CC （2）由题意得，采用分层抽样抽取的6人中，大龄受试者有3人，年轻受试者有3人； 的可能取值为 ， ， ， ，分 故 X 的分布列为 X0123 P1 20 9 20 9 20 1 20 19913 ()0123. .12 202020202 E X 分 222 33 18.1=(), =cos .2 42 131 =sincos=sintan3. .4 222 0,. 3 SacbSacB SacBacBacBB BB 解：（） 由余弦定理得分 又 ，即分 222 222 .5 2=2c= 3 3 =-2cos -cos=3

5、=1.7 3 3 = 2 abB bacacB cccc BC 分 （ ）由题意得， 由余弦定理，得 44，即分 设边与x轴的交点为D，则 ABD为正三角形 23 =sin() 22 1313 = 3232 33 sin()=sin()=1 2323 =+2,=+2,. 326 x A kkZkkZ 且AD=2 函数f(x)的最小正周期为2.9分 f(x) 又点（ ，）在函数f(x)的图像上 f() 即，即 ，即.11 =.12 26 分 又0 分 19.1 2 = . PA ABCDADBCABCAB AB A PBPB 解：（）平面ABCD且AD平面ABCD PAAD.2分 在底面中， A

6、D 而PA AD平面PAB， 平面PAB AD.4 .5AFAADEF 分 又在 PAD中，PA=AB=2,F是PB的中点 AFPB AD PB平面分 1 =(24) 2=6 2 1 22,1.7 3 ABCDS S PAPAPA （2） 底面的面积 四棱锥P-ABCD的体积V=分 以点AB为x轴，AD为y轴，PA为z轴，建立如图所示的空间坐标系, 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,1) 20.解： （1）由题意得：2c ，1b ，则 222 3abc 椭圆方程为 2 2 1 3 x y .4 分 （2）解法一（常规方法） ：设 1122 (

7、 ,), (,)A x yB xy， 联立 2 2 21 1 3 ykxk x y 化简可得: 22 (31)6 (21)12 (1)0kxkkxk k 直线 21(0)ykxkk与椭圆 C 交于 A、B 两点 0 即 22 12(31)(21) 48 (1)0kkk k 解得：01k 由韦达定理得： 1212 22 6 (21)12 (1) ,.7 3131 kkk k xxxx kk 分 12122112 1212 1212 12 2 2 11() 2(22)() =.9 66 (21)1212 1 12 (1)1212 PAPB yyx yx yxx kk xxx x kx xkxx x

8、 x kkkkk k kkk 分 1.12PAPB直线、得斜率和为定值分 解法二（构造齐次式） ：由题直线21(0)ykxkk恒过定点( 2, 1) 当直线AB不过原点时，设直线AB为(1)1( )mxn y， 1 1 1 1 2 1 12 =040 , 220 =0 1,=4,11,1,4 cos, PDPC n n PDyz xyz n PC yzxn n n n n =(0,4,-1),=(2,2,-1) 设平面PDC的法向量 =(x,y,z),则 ，即 取则 =（）.10分 又平面PDA的法向量=（1,0,0） 2 12 12 .11 63 2 2 .12 6 n n n 分 所以，二

9、面角A-PD-C的余弦值为分 则221mxn即 1 2 mn 有 1 2 mn 由 2 2 1 3 x y有 22 3(1)6(1)0 xyy 则 22 3(1)6(1)(y 1)0 xyymxn 整理成关于 ,1x y 的齐次式： 22 (36 )(1)6(1)0n ymx yx， 进而两边同时除以 2 x，则 2 11 (36 )()6 () 10 yy nm xx 令 1y k x 则 12 12 1 6() 116 2 1 3636 PAPB n yym kk xxnn .10 分 当直线AB过原点时，设直线AB的方程为 1 2 yx， 0000 (,), (,)A xyBxy， 00

10、0 000 1121 21 2 PAPB yyy kk xxx 综合可得：直线PA与直线PB的斜率之和为定值 1.12 分 分，没有极大值 分上单调递增，上单调递减，在，在 ，则，若，则若 分时，当 ，的定义域为、解： 极小值 3.0) 1 ()( 2.)1 () 10()( 100)(10)( 1. ) 1)(12(1 12)(1 )0()() 1 (21 fxf xf xxfxxf x xx x xxfa xf 0 0 (2)(1) (2)( )2(2)(0). .4 10( )01( )001 ( )(01)(1) 20120 2 ( )001 2 axa x fxxax xx afxx

11、fxx f x a a a fxxx 分 当时，若，则，若，则 在 ，上单调递减，在 ，上单调递增 当，即时， 若，则或，若 0 ( )01 2 ( )(1)(0) (1) 22 312( )0 2 a fxx aa f x a afx ，则 在，上单调递减，在，上单调递增 当，即时，恒成立， 0 ( )(0).6 412 2 ( )001( )01 22 ( )(1)(0 1) ( 22 f x a a aa fxxxfxx aa f x 在 ，上单调递增分 当，即时， 若，则或;若，则 在 ，上单调递减，在，) 12( )(1)(0 1) () 22 22( )(0) 320( )(1)(

12、0) (1) 22 40( )(01)(1) aa af x af x aa af x af x 上单调递增 综上所述： 当时，在 ，上单调递减，在，上单调递增； 当时，在 ，上单调递增; 当时，在，上单调递减，在，上单调递增; 当时，在 ，上单调递减，在 ，上单调递增;.8分 2 2 2 2 2 (3) (1)( )ln(01) (01)ln(1)0 ln .9 1(1) f xxxx xxxxf xxx nn xxx nn 由知在 ，上为减函数 ，时， 令，得分 分 加得将以上各式左右两边相 分， ，即 12. ) 1(4 3 3 2 2 1 ) 1ln( ) 1(4 3 3 2 2 11

13、 ln 3 4 ln 2 3 ln2ln 11. ) 1( 1 ln 4 3 3 4 ln 3 2 2 3 ln 2 1 2ln ) 1( 1 ln 1 ln 1 ln ) 1( 2222 2222 2222 22 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 22.（1）解：将直线)( 2 :为参数t ty tx l 化为直角坐标系方程为：02 yx.1 分 1.2 4 直线的斜率为，即直线的倾斜角为分 由曲线 C 的极坐标方程：02,cos2cos2 222 xyx变形得 曲线 C 得直角坐标系方程为02 22 xyx。.5 分 222 12 121

14、212 2 2 ().7 2 2 2 :203 240 18 1620, 3 20,40,0,0. xt lt yt C xyxtt ABtt ttt ttt (2)将直线 化为标准参数方程为：为参数分 代入中，整理得： 设 、 所对应的参数分别是 、 1212 .9 3 2.10PAPBtttt 分 分 23.11,0,0 1 13.4 abab bbabba ababab 解：（ ） 分 (当 1ba b a a b 即 2 1 ba时，等号成立) ba b1 的最小值为 3.5 分 （2）122 1 xx ba b 恒成立 由（1）知3122xx .7 分 313- 1- x x 或 312-2 11- xx x 或 3122 1 xx x 解得：10 x或 3 4 1 x .9 分 x的取值范 3 4 , 0 .10 分