相交线垂线（提高）知识讲解.doc

1、 1 相交线，垂线相交线，垂线（提高提高）知识讲解）知识讲解 撰稿：孙景艳 审稿： 赵炜 【学习目标】【学习目标】 1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质； 2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质； 3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离； 4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算. 【要点梳理】【要点梳理】 知识点一、知识点一、邻补角与对顶角邻补角与对顶角 1邻补角邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两 个角叫做互为邻补角 要点诠释：要点诠释： (

2、1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系： “邻”指的是位置相邻， “补”指的是两个 角的和为 180 (2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角 (3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角 (4)邻补角满足的条件：有公共顶点；有一条公共边；另一边互为反向延长线. 2. 对顶角及性质对顶角及性质： （1）定义：）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角 （2）性质：）性质：对顶角相等 要点诠释：要点诠释： (1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角 (2)对顶角满足的条件：相等的两个角；有公共顶点且一角的两

3、边是另一角两边的反向延长线. 3. . 邻补角与对顶角对比邻补角与对顶角对比： 角的 名称 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点 对顶 角 两条直线 相交形成的角； 有一个公 共顶点； 没有公共 边. 对 顶 角 相等. 都是两条直 线相交而成的角； 都有一个公 共顶点； 都是成对出 现的. 有无 公 共边； 两直 线 相交时， 对顶角 只有 2 对； 邻补 角有 4 对. 邻补 角 两条直线 相交而成； 有一个公 共顶点； 有一条公 共边. 邻 补 角 互补. 【高清课堂：高清课堂：相交线相交线 403101 两条直线垂直】两条直线垂直】 知识点二、知识点二、垂线垂线 1 1垂线的定义：垂

4、线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其 中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足 2 要点诠释：要点诠释： (1)记法：直线a与b垂直，记作：ab； 直线 AB 和 CD 垂直于点 O，记作：ABCD 于点 O. (2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： 90AOC 判定 性质 CDAB 2 2垂线的垂线的画法：画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一 条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则 所画直线就为已知直线的垂

5、线(如图所示) 要点诠释：要点诠释： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长 线上，也可能在线段的延长线上 (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段 3 3垂线的垂线的性质：性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短简单说成：垂线段最短 要点诠释：要点诠释： （1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内” ， “有”表示存在， “只有”表示唯一， “有且只有”说 明了垂线的存在性和唯一性 （2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段

6、中，垂线段最短 ”实际上，连接直线 外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短在实际问题中经常应用其“最短 性”解决问题 4 4点到直线的距离：点到直线的距离： 定义：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 要点诠释：要点诠释： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、邻补角与对顶角邻补角与对顶角 1如图所示，AB 和 CD 相交于点 O，OM 平分AOC，ON 平分BOD，试说明 OM

7、和 ON 成 一条直线。 3 【答案与解析】 解解： OM 平分AOC，ON 平分BOD（已知） ， AOC=2AOM，BOD=2BON（角平分线定义） 。 AOC=BOD（对顶角相等） ，AOM=BON（等量代换） 。 AON+BON=180（邻补角定义） ，MON=AON+AOM=180（等量代换） ， OM 和 ON 共线。 【总结升华】要得出 OM 和 ON 成一条直线，就要说明MON 是平角，从图中可以看出AON 是 MON 和平角AOB 的公共部分，所以只要证明它们的非公共部分相等，即AOM 和BON 相等，本题 得证。 2.如图所示，已知直线 AB、CD 相交于点 O，OE 平分

8、BOD，OF 平分COE，2:14:l， 求AOF 【答案与解析】 解：设1x，则24x OE 平分BOD， BOD212x 2+BOD180，即 4x+2x180， x30 DOE+COE180， COE150 又 OF 平分COE， COF 1 2 COE75 AOCBOD60， AOFAOC+COF60+75135 【总结升华】涉及有比值的题设条件，如 a:bm:n，在解题时设amx，bnx，这是常用的用方 程思想解题的方法 举一反三：举一反三： 【变式】已知的补角是一个锐角，有 3 人在计算 2 5 时的答案分别是 32、87、58，其中只有 一个答案是正确的，求的度数 【答案】 解法

9、 1： 的补角是一个锐角， 是一个钝角，即 90180， 2 3 67 2 5 由已知三人计算出的答案分别为 32、87、58， 可知 2 58 5 145 4 解法 2：由题意可知是一个钝角，即90180 如果 2 32 5 ，那么80，不满足90180； 如果 2 87 5 ，那么217.5，不满足90180； 如果 2 58 5 ，那么145，满足90180， 所以此人计算的答案正确所以145 【总结升华】在处理数学问题中的误选答案问题时，常采用验算法，如本题的解法 2：先利用假设求 出相应的的度数，再验证是否正确 3.（1）如图（1） ，已知直线 a、b 相交于点 O，则（1）图中共有

10、几对对顶角?几对邻补角？ （2）如图（2） ，已知直线 a、b、c、d 是经过点 O 的四条直线，则图（2）中共有几对对顶角（不含 平角）?几对邻补角？ 【答案与解析】 解： （1）2 对对顶角，4 对邻补角。 （2）将图（2）拆分为下图： 通过观察图形不难发现 a、b、c、d 四条直线两两相交，最多有 6 个交点，而由（1）知：每个交点 处有两对对顶角，有四对邻补角， 对顶角的对数：2 612 （对） ；邻补角的对数:4 624 (对) 答：图中共有 12 对对顶角，24 对邻补角 【总结升华】本例分析问题的方法是通过直线的移动，将直线相交于一点转化为直线两两相交这样 移动，可将抽象的问题直

11、观化因为 n 条直线两两相交，最多有 (1) 2 n n 个交点每个交点处有两组对顶 角，故 n 条直线相交于一点共有 n(n-1)对对顶角，2n(n-1)对邻补角。 举一反三：举一反三： 【变式】若有 180 条直线相交于一点，则可形成_对对顶角（不含平角） 【答案】32220 类型二、类型二、垂线垂线 4下列语句： 两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直。 5 一条直线的垂线有无数条。 空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直。 其中正确的是。 【答案】 【解析】解此题必须严格按照垂线的定义“两条直线相交成直角

12、”及垂线的性质“过平面内任意一点， 即过直线上或直线外任意一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直”来作判断。 正确；正确，过任意一点都可以作；对于只有在“同一平面内”才成立，因为空间内，当这点 在直线上时，过这点并非只有一条直线与已知直线垂直，故错误；错误，必须是两个邻角相等，如下 图： 【总结升华】应用垂线的定义及垂线的性质时要把握其中的本质要求： 关于垂线的定义：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直 角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直； 关于垂线的性质：平面内，过任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，这条性质说明了已知直 线的垂线的“存在性”和

13、“唯一性” ，尤其值得注意的是性质中的“任意一点”可能在这条已知直线上， 也可能在这条已知直线外。 举一反三：举一反三： 【变式】在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的，是因为 ( ) A经过两点有且只有一条直线 B两点之问的所有连线中，线段最短 C在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直 D在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 提示：注意区分直线性质与垂线性质 5. 如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，OECD，OFAB，DOF65，求BOE 与AOC 的度数。 【答案与解析】 解：OFAB，OECD(已知)

14、 BOFDOE90(垂直定义) BODBOFDOF906525 BOEDOEBOD902565。 AOCAOBBOECOE 180659025。 【总结升华】利用垂直的定义，及同一条直线上的三点组成一个平角可以帮助我们求解图中某些角的 大小。 6 【高清课堂：高清课堂：相交线相交线403101 例例 4 4 变式（变式（1 1） 】 举一反三：举一反三： 【变式】如图，若 OM 平分AOB，且 OM ON，求证：ON 平分BOC. 【答案】 解：如图， OM 平分AOB 1=2 又OM ON 3=902 由图可得：4=180223=18022 （902）=902 3=4 ON 平分BOC 6.

15、如图所示，一辆汽车在直线形公路 AB 上由 A 向 B 行驶，M、N 分别是位于公路两侧的村庄 (1)设汽车行驶到公路 AB 上点 P 位置时，距离村庄 M 最近；行驶到点 Q 位置时，距离村庄 N 最 近，请在图中的公路 AB 上分别画出点 P 和点 Q 的位置(保留作图痕迹) (2)当汽车从 A 出发向 B 行驶时， 在公路 AB 的哪一段路上距离 M、 N 两村庄都越来越近?在哪一 段路上距离村庄 N 越来越近，而离村庄 M 越来越远?(分别用文字表述你的结论，不必说明) 【答案与解析】 解：(1)过点 M 作 MPAB，垂足为 P，过点 N 作 NQAB，垂足为 Q，点 P、Q 就是要画的两点， 如图所示 (2)当汽车从 A 向 B 行驶时，在 AP 这段路上，离两个村庄越来越近；在 PQ 这段路上，离村庄 M 越 来越远，离村庄 N 越来越近 【总结升华】利用垂线段最短解决实际问题是常用的一种方法 举一反三：举一反三： 【变式 1】如图所示，过 A 点作 ADBC，垂足为 D 点 7 【答案】 解：如图所示 【变式 2】点 P 为直线l外一点：点 A、B、C 为直线l上三点，PA4 cm，PB5 cm，PC2 cm，则 点 P 到直线l的距离是 ( ) A2 cm B4 cm C5 cm D不超过 2 cm 【答案】D