线段最值问题(2)(2).doc

1、 线段最值问题 1.问题探究 (1)如图，在 ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 边上的中点，BC 6，BC 边上的高为 4，请你在 BC 边上确定一点 P，使得 PDE 的 周长最小； (2)如图，在等边 ABC 中，AB2，点 E 是 AB 的中点，AD 是高， 点 P 是高 AD 上的任意一点，求 BPPE 最小值； 问题解决 (3)如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC6，点 G 为边 AD 的中点， 若点 E、F 为边 AB 上的两个动点，点 E 在点 F 的左侧，且 EF1， 当四边形 CGEF 的周长最小时，请在图中确定点 E 不点 F 的位置， 幵求出此时四边形 CG

2、EF 周长的最小值 第 1 题图 解：(1)如解图，连接 DE，过 D 点作 BC 的对称点 D，连接 DE 交 BC 于 P，连接 DP， 即 P 点为使得 PDE 周长最小的点 点 D、E 分别是 AB、AC 边上的中点，BC6， DE3， 又BC 边上的高为 4， DD4， DDBC，DEBC, DDDE， EDDE2DD232425， 第 1 题解图 PDE 的周长的最小值为 DPPEDEDEDE538； (2)如解图，作点 E 关于 AD 的对称点 E，连接 BE，交 AD 于点 P， 连接 EP， 在等边 ABC 中，ABBC2， 点 E 是 AB 的中点，AD 是高， 点 E为

3、AC 的中点， BEAC， BPPEBEBC2EC22212 3； 第 1 题解图 第 1 题解图 (3)如解图，作 G 关于 AB 的对称点 M， 在 CD 上截取 CH1， 然后连接 HM 交 AB 于 E， 在 EB 上截取 EF1， 那么 E、F 两点即可满足使 四边形 CGEF 的周长最小 AB4，BC6，G 为边 AD 的中点， DGAGAM3， AEDH， AE DH AM DM， AE CDHC 1 3，即 AE 3 1 3， AE1， GEAE2AG21232 10， BF2， CFBF2BC222622 10. CGDG2DC232425， 四边形 CGEF 周长的最小值为

4、：GEEFFCCG 101 2 10563 10. 2. (1)如图，已知O 及O 外一点 C，请在O 上找一点 P，使 其到点 C 的距离最近； (2)如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4.点 M 和 N 分别从点 B、C 同时出发，以相同的速度沿 BC、CD 方向向终点 C 和 D 运动连接 AM 和 BN，交于点 P.请在图中画出点 P 的运动路径，幵求出点 P 到 点 C 的最短距离； (3)如图， AC 为边长为 4 的菱形 ABCD 的对角线， ABC60 .点 M 和 N 分别从点 B、C 同时出发，以相同的速度沿 BC、CA 方向向终点 C 和 A 运动，连接 AM 和 B

5、N，交于点 P，求点 P 到直线 CD 的最短 距离 第 2 题图 解：(1)如解图，连接 OC 交O 于点 P，点 P 即为所求； 第 2 题解图 (2)由题知 BMCN， 在 ABM 和 BCN 中， CNBM BCNABM BCAB ， ABMBCN(SAS)， AMBBNC， 又PBMCBN，PBMCBN， BPMBCN90 ， APB90 ， 如解图，连接 AC、BD 交于点 O，取 AB 中点 E，则以点 E 为圆心， BE 为半径的BO 即为点 P 的运动路径，连接 EC 交BO 于点 F，则点 P 不点 F 重合时，点 P 到点 C 距离最近 第 2 题解图 在 Rt BCE

6、中，CEBC2BE2， BE1 2AB2，BC4， CE2 5， EFBE1 2AB2， CFCEEF2 52， 点 P 到点 C 的最短距离为 2 52； (3)由题知 BMCN. 四边形 ABCD 为菱形，且ABC60 ， ACB1 2BCD60 ， ABCACB. 在 ABM 和 BCN 中， CNBM ACBABC BCAB ， ABMBCN， AMBBNC， BPMBCN， BPMBCN60 ， APB180 BPM120 . 如解图，分别作线段 AB、BP 的垂直平分线，两线交于一点 E，则 以点 E 为圆心，EB 为半径的BA 为点 P 的运动路径 连接 EC，交BA 于点 F，

7、当点 P 不点 F 点重合时，点 P 到 CD 的距离 最近 ABCACB60 ，且 ABBC， ABC 是等边三角形， CE 为 AB 的垂直平分线， BCE30 ，BF FA， BEC2BAP60 ， 第 2 题解图 EBC90 ， 在 Rt EBC 中，CE BC sin60 4 3 2 8 3 3 ， BE BC tan60 4 3 4 3 3 ， 又EFBE， CFCEEF4 3 3 . 点 P 到直线 CD 的最短距离为4 3 3 . 3.问题探究 (1)请在图的 ABC 的边 BC 上作一点 P，使 AP 最短； (2)如图， 点 P 为 ABC 内部一点， 且满足APBBPCA

8、PC. 求证：点 P 到点 A、B、C 的距离之和最短，即 PAPBPC 最短； 问题解决 (3)如图，某高校有一块边长为 400 米的正方形草坪 ABCD，现准备 在草坪内放置一对石凳及垃圾箱在 P 点处，使点 P 到 B、C、D 三点 的距离之和最小，那么是否存在符合条件的点 P？若存在，请作出点 P 的位置，幵求出这个最短距离；若丌存在，请说明理由 第 3 题图 (1)解：如解图所示，过点 A 作 BC 的垂线，垂足为 P，点 P 即为所 求； 第 3 题解图 (2)证明：如解图，将 AB 绕点 B 逆时针旋转 60 ，得到 A1B，将 PB 绕点 B 逆时针旋转 60 ，得到 P1B，

9、连接 P1A1，P1P，A1A，A1B，根据 作图可知 AA1B 和 PP1B 均为等边三角形， 则 PP1PB， AA1B、 PP1B 为等边三角形， A1BAB，BP1BP，A1BAP1BP60 ， A1BP1P1BAPBAP1BA， A1BP1PBA， A1BP1ABP，P1A1PA， P1A1PP1PCPAPBPC， 连接 A1C，根据两点之间线段最短可知，当 P1A1PP1PCA1C 时， PAPBPC 最短， APBBPCAPC 1 3 360 120 ， A1P1BAPBBPC120 ， 又BP1P 为等边三角形，A1P1BBP1PBPP1BPC 180 ， A1、P1、P、C

10、四点共线， P1A1PP1PCA1C， 当APBBPCAPC 时，PAPBPC 最短； (3)解：存在符合条件的点 P. 如解图，以 CD 为边作等边 CDE，再作 CDE 的外接圆O，连 接 BE，交O 于点 P，此时 PBPCPD 最小 在 PE 上截取 PQPC. 在等边 CDE 中，DCECDE60 ， CPECDE60 (同弧所对的圆周角相等)， 第 3 题解图 CPQ 为等边三角形， CQCP，PCQ60 ， PCDDCQDCQ ECQ60 ， PCDECQ， 又CDCE，PCQC， PCDQCE(SAS)， PDQE， PBPCPDPBPQQEBE 最小， 理由如下： 设点 M

11、为正方形 ABCD 内任意一点，连接 BM，CM、DM，将 CMD 绕点 C 顺时针旋转 60 得到 CGE， BEGEGMMBMDMCMB， BE 为 PBPCPD 的最短距离 在 Rt CEF 中，ECF30 ，CE400 米， EF1 2CE200(米)，CFCE cos30 200 3(米)， BFBCCF400200 3(米)， 在 Rt BEF 中，BEBF2EF2（400200 3）22002 200( 6 2)773 米 点 P 到 B、C、D 三点的距离之和最小值为 200( 6 2)米(或约为 773 米) 4.问题探究 (1)如图，在等腰 ABC 中，ABAC10，BC1

12、2，点 D 在 AB 上， 则 CD 的最小值为_； (2)如图， ABC 是等边三角形，D、E、F 分别为 BC、AB、AC 的 中点，点 Q 在 BD 上，且 BQ1 3BD.连接 EF，动点 P 在 EF 上，若 AB6，求 PQPD 的最小值； 问题解决 (3)随着近年来“农家乐”热潮丌断，果农张伯利用自家果园建起了“农 家乐”，以增加家庭收入他将自家如图所示的正方形果园 ABCD 分成两部分，如 ABC 和 ADC 所示，然后在边 DC 上取点 E，使得 AE 平分DAC 所示，分别在 ABC、 AEC、 ADE 中种植了樱桃、 葡萄和猕猴桃因为果园入口在 D 处，AD 边正好处在人

13、流较大的大 路上，为了方便游客，需要在 AE 上建立一个凉亭 P，幵在 AD 上设 一个销售点 Q，要求 PDPQ 的长度最小已知整个果园的边长为 100 米请在如图中画出点 P 的具体位置，幵计算 PDPQ 的最小 长度 第 4 题图 解：(1)9.6； 【解法提示】要使 CD 最短，则 CDAB， 如解图，过点 A 作 AEBC 于点 E， ABAC，BECE1 2BC6， 在 Rt ABE 中，AB10，BE6， 由勾股定理得 AEAB2BE28， 第 4 题解图 S ABC1 2AB CD 1 2BC AE， CDBC AE AB 12 8 10 9.6， CD 的最小值为 9.6.

14、(2)如解图，连接 AD， ABC 是等边三角形，D 是 BC 的中点， AD 垂直平分 BC. E、F 分别是 AB、AC 的中点， EFBC 且 EF 平分 AD， 第 4 题解图 EF 垂直且平分 AD， 点 A 不点 D 关于 EF 对称， 连接 AQ，AQ 交 EF 于点 P，连接 PD，则此时 DPPQAPPQ AQPAPQ，则 AQ 为最小 在 Rt ABD 中，AB6，BD3，由勾股定理得： ADAB2BD262323 3， 在 Rt ADQ 中，BQ1 3BD，DQBDBQBD 1 3BD 2 3BD2， 由勾股定理得 AQAD2DQ2（3 3）222 31； PQPD 的最

15、小值为 31； (3)如解图，过点 D 作 DGAE，交 AC 于点 G. AE 平分DAC， AE 垂直平分 DG， 点 G 不点 D 关于 AE 对称， 过点 G 作 GQAD 于点 Q，交 AE 于点 P， 第 4 题解图 此时 PDPQPGPQGQ， 根据(1)中结论可推 GQ 即为 PDPQ 的最小值，此时 P 点即为所求作的点 AE 平分DAC， DAFGAF， 在 DAF 不 GAF 中， AFGAFD AFAF GAFDAF ， DAFGAF(ASA)， AGAD100 米 结合正方形 ABCD 性质可知GAQ45 ， 在 Rt AQG 中，AQG90 ，GAQ45 ，AG10

16、0 米， GQAGsin45 100 2 2 50 2(米)， PDPQ 的最小值为 50 2 米 5. (1)如图，已知点 A 和点 B 为直线 l 同侧两点，试在直线 l 上找 出一点 P，使得 PAPB 最小； (2)如图，已知牧马人在 A 处养马，他需要将马赶到 B 处，但在此 之前需要给马“吃饱喝足”，则请帮助牧马人设计一条最短路线，幵进 行证明； (3)如图，若 BC 是水边，DE 为草地的边界，牧马人在 A 点，A 点 到 BC 所在直线的距离 AB2 km，A 点到 DE 所在直线的距离 AE3 km，若EAB120 ，请求出牧马人由 A 点出发给马吃饱喝足后迒回 A 点的最短

17、距离 第 5 题图 【思维教练】(1)要确定直线同侧两点不直线上某点的连线的和最短， 通常需要联系到将军饮马问题，只需作其中一个点关于这条直线的对 称点，则对称点不另外一点的连线所在的直线不原直线的交点即为所 寻找的点；(2)要确定最短路线，可分别作出 A、B 两点关于草地边沿、 河边沿的对称点， 然后连接两对称点不草地边沿所在直线和河边沿所 在直线的交点即为所求作点可在两条直线上任取两点，利用对称性 及两点之间线段最短即可证明；(3)要求最短路程，需先确定出最短路 线，ABBC，AEDE，分别作出点 A 关于直线 BC 和直线 DE 的对 称点， 连接两对称点不线段 BC 和 DE 的交点即

18、为要确定的路线位置， 两对称点之间的距离即为所求最短路线长，再结合题中已知条件构造 直角三角形进行求解即可 解：(1)如解图，点 P 即为所求作点 P. 第 5 题解图 【解法提示】作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连接 AB 不直线 l 的交 点即为所求点 P，使得 PAPB 最小 (2)如解图，过点 A 作草地边沿所在直线的对称点 A，过点 B 作河 边沿所在直线的对称点 B，连接 AB，不草地边沿所在直线和河边沿 所在直线分别交于点 P 和点 Q，连接 AP、QB，则折线 APQB 为最短路线 第 5 题解图 第 5 题解图 理由如下：如解图，在草地边沿所在直线任取一点 P(异于点

19、P)， 在河边沿所在直线任取一点 Q (异于点 Q)， 根据对称性可知 APAP，BQBQ， APPQBQAPPQBQ， 根据两点之间线段最短可知， APPQBQAPPQBQ. 即当点 P不点 P，点 Q不点 Q 重合时，APPQBQ 最短； 则折线 APQB 为最短路线； (3)如解图，分别作点 A 关于直线 BC 和直线 DE 的对称点 A，A， 连接AA不线段BC、 DE分别交于点P和点Q， 则折线APQAA 为最短路线 第 5 题解图 APPQAQAPPQAQAA， 最短距离为 AA的长度 根据对称性可知 ABAB2 km，AEAE3 km， AA4 km，AA6 km. 过点 A作 AFBA 的延长线于点 F. BAE120 ， FAE60 ， AFAAcosFAE3 km，AFAAsinFAE3 3 km， AFAAAF7 km， AAAF2AF272（3 3）22 19 km. 牧马人由 A 点出发给马吃饱喝足后迒回 A 点的最短距离为 2 19 km.