乐山市高中2021届第一次调查研究考试理科.pdf

1、乐山市高中 2021 届第一次调查研究考试 数学 (理工农医类)(2020.12.23) 满分：150 分考试时间：120 分钟 一、选择题：本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的. 1.设集合U =x|x 是小于9 的正整数,A=1,2,3,B =3,4,5,6, 则UA)B =() A. 4,5,6B. 3,4,5,6C. 4,5,6,7D. 4,5,6,7,8 【答案】 A 【解答】由题知U =x|x 是小于9 的正整数=1,2,3,4,5,6,7,8, 则CUA=4,5,6,7,8, 则(CUA) B =4,5,

2、6, 故选 A . 2. 已知 lg2=a,lg3=b，则 log34=() A. a2 b B. a 2b C. a b2 D. 2a b 【答案】 D 【解答】 由题知log34= lg4 lg3 = 2lg2 lg3 = 2a b , 故选 D 3.已知关于x 的不等式 sinx3 ax2+bx+2 0 的解集是x|x2, 则a+b 的值是() A. 0B. 1C. 1D. 2 【答案】 A 【解答】因为 sinx30, 故原不等式等价于 ax2+bx+2 0, 由题知 a2B. f(1)+f(2)2D. f(ln2)+f(ln3)2 【答案】 C 【解答】由图象关于点 P(1,1) 成

3、中心对称, 得 f(2x)+f(x)= 2, 可知 f(1)=1, 即 b= c, 由 f(0)+f(2)=2, 得 2b c=3, 由此可解得 b=c=3, 所以 f(x)=x3+3x23, 画出其图象, 如图所示: 对于 (A), 因为 f(2)=2f(4), 所以 f(2)+f(5)2 即为 f(4)2, 即为 f(2)2, 即为 f(2ln2)f(2ln2), 因为 ln30 时, f(x)=ex+ex2(e 为自然对数的底数). 则曲线 y =f(x) 在点 (1,f(1) 处的切线方程为. 【答案】 y =3ex+e 【解答】 令x0, 因为f(x) 为奇函数, 所以 f(x)=f

4、(x)=ex+e(x)2, 所以f(x)=exex2, 则f(x)=ex2ex, 则f(1)=e+2e=3e, f(1)=ee=2e, 所以切线方程为 y +2e=3e(x+1), 即 y =3ex+e . 16. 在数列 an 中 ,a1=1,Sn为 an 的前 n 项和 . 关于 x 的方程 x2an+1cosx+an+1=0 有唯的 解. 则 (1)an=； (2) 若不等式 2Sn+9(1)nkan, 对任意的 nN恒成立, 则实数 k 的取值范围为. 【答案】 【解答】设 F(x)=x2an+1cosx+an+1, 则 f(x) 为偶函数， 由关于 x 的方程 x2an+1cosx+

5、an+1=0 有唯一的解, 知 x=0 是该方程的唯一解, 则有 an+1an=1, 所以数列 an 为等差数列, 易求 an=n. 则 Sn= n(n+1) 2 ; 由 2Sn+9(1)nkan, 可得 n2+n+9(1)nkn， 则有 n+ 9 n +1(1)nk (nN)， 令 cn=n+ 9 n +1, 则 cncn1=1+ 9 n 9 n1 = n2n9 n(n1) , 易得, 当 n3 时 ,cncn1, 所以有 c1c2=7.5c3=7c4=7.25c5c，解得 a=3，c=2，9 分 ABC 中，cosC = 9+74 23 7= 2 7 10 分 在 BCD 中，BD2=9+

6、 7 4 23 7 2 2 7= 19 4 BD= 19 2 12 分 18. 2020 年新春伊始， “新型冠状病毒”肆虐神州大地，中共中央政治局常务委员会召开会议，研究新 型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话. 会议强调， 疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全. 因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用 等任何一个环节都容不得半点瑕疵. 国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实 验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效. 某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白 鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下： 未感染病毒感染

7、病毒总计 未注射疫苗40px 注射疫苗60qy 总计100100200 现从未注射疫苗的小白鼠中任取 1 只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为 3 5. (1) 求 22 列联表中的数据 p ，q ，x ，y 的值； (2) 能否在犯错误概率不超过 0.005 的情况下，认为注射此种疫苗有效？ (3) 感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取 5 只进行病例分析，然后从这五只 小白鼠中随机抽取 3 只对注射疫苗情况进行核实，记其中未注射疫苗的小白鼠有 X 只，求 X 的分 布列和数学期望. 第 3 页共 6 页 附： K2= n(adbc)2 (a+b)(a+c)(c+d)(b+d

8、)， n=a+b+c+d. P(K2k0)0.050.010.0050.001 k03.8416.6357.87910.828 【答案】 【解答】 (1) 所以40 x =1 3 5 = 2 5, 所以x=100 , 2 分 则y =200100=100,p=10040=60,q =10040=604 分 (2) 由 K2= n(adbc)2 (a+b)(a+c)(c+d)(b+d) 得 K2= 200(40406060)2 100100100100 =87.8795 分 所以能在犯错误查率不超过 0.005 的情况下，认为注射此种疫苗有效.7 分 (3) 由于在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫

9、苗和注射疫苗的比例为 3:2 ，故抽取的 5 只小白鼠中 3 只未注射疫苗，2 只已注射疫苗.8 分 从中抽取 3 只，则 X 的取值为 1，2，3， P(X =1)= C2 2C 1 3 C3 3 = 3 10, P(X =2)= C1 2C 2 3 C3 3 = 6 10, P(X =2)= C0 2C 3 3 C3 3 = 1 10 10 分 所以 X 的分布列为 X123 P 3 10 6 10 1 10 11 分 所以 EX =1 3 10 +2 6 10 +3 1 10 = 9 5. 12 分 19. 已知点 C 在圆 x2+y2=36 上运动, 过点 C 作 CDx 轴, 垂足为

10、 D, 点 M 在线段 CD 上, 且簧足 |DM| |CD| = 1 2 （1）求点 M 的轨速方程； (2) 若斜率为 1 2 的直线 l 经过点 P(33,0) 与曲线 M 交于 AB 两点, 求 AOB 的面积. 【答案】 【解答】 (1) 由题意令设 M(x,y), 圆上任意一点 C (x0,y0) 则 x=x0 y = y0 2 1 分 因为点 C 在圆上, 所以有 x2+(2y)2=36, 即 x2 36 + y2 9 =13 分 又 |DM| |CD| = 1 2, 所以 |CD|=0, 故点 M 不能与点 D 重合, 所以 y =0, 所以点 M 的轨迹方程是 x2 36 +

11、 y2 9 (y =0)5 分 (2) 由已知可得直线 l 的方程为 y = 1 2(x+3 3), 即 x=2y 33 6 分 由 x=2y 33 x2 36 + y2 9 =1 , 可得 8y2123y 9=08 分 若设 A(x1,y1),B (x2,y2) 则 y1+y2= 33 2 ,y1.10 分 因为 SAOB= 1 2 |OP|y1y2| = 1 2 33 (y1+y2)24y1y2= 35 2 35 2 = 915 4 . 所以 AOB 的面积为 915 4 .12 分 20. 如图, 边长为 4 的正方形 ABCD 中 , 点 E 是 AB 的中点, 点 F 是 BC 的中

12、点, 将 AED,DCF 分别沿 DE,DF 折起，使 A,C 两点重合于点 A. E D F B A C (1) 求证: ADEF; (2) 求 AB 与面 EBFD 所成角的余弦值. 【答案】 【解答】 (1) 证明: 因为 ADAE,ADAF ， AE AF =A 所以 AD 面AEF, 且EF 面AEF , 所以 ADEF.4 分 (2) 法一: 设点 A到面 EFD 的射影为 O， 则 ABO 即为所求角 O 在线段 BD 上）.5 分 因为 VAEFD=VDAEF 易求得AO= 4 3， 7 分 连接AM , MO= AM 2AO2= 2 3 ,BM = 2 8 分 所以 BO=B

13、M +MO= 42 3 9 分 AB = AO2 +BO2= 43 3 ，10 分 所以 cosABO= BO AB = 6 3 12 分 21. 已知 f(x)=(x+1)lnx. (1) 求 f(x) 的单调区间； (2) 若对任意 x1, 不等式 x f(x) x+1 ax+a0 恒成立，求 a 的取值范围. 【答案】 【解答】 (1) f(x) 的定义域为 (0,+), f(x)=lnx+1+ 1 x, 令 g(x)=lnx+1+ 1 x(x0) 则 g (x)=1 x 1 x2 = x1 x2 ， 所以当 0x1 时 ,g(x)1 时 ,g(x)0, 所以 g(x) 在 (0,1)

14、单语递减，在 (1,+) 单调递增, 所以 x0 时 ,g(x)g(1)=20, 即 f(x) 在 (0,+) 上单调递增 , 第 4 页共 6 页 所以 f(x) 的增区间为 (0,+), 无减区间. (2) 解法 1 : 直接求导，分类讨论 对任意 x1, 不等式 x f(x) x+1 x+a0 恒成立等价于对任意 x1, 不等式 x(lnxax)+a0 恒成立. 令 h(x)=xlnxax2+a(x1), 则 h(x)=1+lnx2ax 令 m(x)=1+lnx2ax(x1), 则 m(x)= 1 x 2a 2 1当 2a1, 即 a 1 2 时 因为 x1, 所以 0 1 x 1, 所

15、以 m(x)0, 所以 m(x) 在 1,+) 上单调递减 ,又 m(1)=12a0, 所以 x1 时 ,m(x)0, 即 h(x)0, 所以 h(x) 在 1,+) 上单调递又 h(1)=0, 所以 x1 时 ,h(x)0, 符合题意. 3 2若 02a1, 即 0a 1 2 时， 所以 1x0, 即 h(x)0, 所以 h(x) 在 1, 1 2a ) 单调递增 所以 1x0, 即 h(x)0, 所以 h(x) 在 1,+) 单调递增， 所以 x1 时 ,h(x)h(1)=0, 所以 x(lnxax)+a0 恒成立. 综上所述, a 的取值范围是 1 2,+ ). 解法 2 : 对任意 x

16、1, 不等式 x f(x) x+1 ax+a0 恒成立等价于对任意 x1,lnxa(x 1 x)0 恒成立. 令 t(x)=lnxa(x 1 x)(x1), 则 t (x)=1 x a(1+ 1 x2 )=ax 2 x+a x2 记 =14a2 2 1当 a 1 2时，,0，此时t (x)0,t(x) 在1,) 单调递减，又 t(1)=0， 所以 x1 时 ,t(x)0, 即对任意 x1,lnxa(x 1 x)0 恒成立. 3 2当 a1 2 时，t(x)0，t(x) 在 1,+) 上单调递增，又 t(1)=0， 所以 x1 时，t(x)0 ，即对任意 x1，lnxa(x 1 x)0 恒成立，

17、不符合题意 4 3a=0 时, 不等式化为 lnx0(x1), 显然不成立. 5 4当 1 2 a 1 2, 且 a=0 时 , 方程 ax 2 x+a=0 的二根为 x1= 1+ 14a2 2a ,x2= 1 14a2 2a ， 若 0a1,0x21, 则 t(x) 在 (1,x1) 单调递增， 又 t(1)=0, 所以 x(1,x1) 时 ,t(x)0, 即不等式 lnxa(x 1 x)0 不恒成立； 若 1 2 a0,x1x21, 不等式 x f(x) x+1 x+a0 恒成立等价于对任意 x1,a xlnx x21 恒 成立. 记 m(x)= xlnx x21(x1), 则 m(x)=

18、 (1+lnx)(x21)2x2lnx (x2 1)2 = x21(1+x2)lnx (x2 1)2 = 1 x2+1 ( 1 2 x2+1lnx ) (x21)2 记 t(x)=1 2 1+x2 lnx(x1), 则 t(x)= 4x (1+x2)2 1 x = 4x2(1+x2)2 x(1+x2)2 = (1x2)2 x (1+x2)21 时，t(x)0，即 m(x)0, 所以 m(x) 在 (1,+) 单调递减 所以 m(x)min0) 分别交于 M,N 两点且 |PM|,|MN|,|PM| 成等比数列. (1) 写出直线 l 的参数方程； （2）求 a 的值. 【答案】 【解答】由题可

19、知，直线 l 的参数方程为 x=1+cos 4 t y =2+sin 4 t (t 为参数)3 分 即 x=1+ 2 2 t y =2+ 2 2 t (t 为参数)4 分 (2) 将直线 l 的参数方程代人物线方程得 t2(42+22a)t+8+4a=0 可得 t1+t2=42+22a, t1t2=8+4a6 分 由 t 的几何意义知 |PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1t2|，7 分 因为 |PM|,|MN|,|PN| 成等比数列 , 得 |MN|2=|PM|PN|，8 分 第 5 页共 6 页 故 |t1t2|2=|t1|t2|, 又 a0, 知 t1t20, 所以 (

20、t1+t2)2=5t1t2, 即 (42+22a)2=5(8+4a)， 解得 a= 1 2 或 a=2 (舍) , 故 a 的值为 1 2. 10 分 23. 已知函数 f(x)=|2x+a|a. (1) 当 a=2 时, 求不等式 f(x)4 的解集； (2) 若不等式 f(x)|2x1|3 的解集非空, 求 a 的取值范围. 【答案】 【解答】 (1) 当 a=2 时, f(x)=|2x+2|2, 解不等式 |2x+2|24, 得 |2x+2|6,2 分 即 62x+26，所以 4x2， 故 f(x)4 的解集为 x|4x2 .4 分 (2) f(x)|2x1|3 即为 |2x+a|a|2x1|3 即 |2x+a|2x1|3+a 的解集非空，5 分 即 |2x+a|2x1|3+a 有解，6 分 因为 |2x+a|2x1|2x+a2x+1|=|a+1| 故只要 3+a|a+1| 即可，7 分 当 a1 时，a+3a+1，不成立.8 分 当 a1 时，a+3a1 解得 a2 .9 分 故 a 的取值范围为 a2.10 分 第 6 页共 6 页