高中数学必修五全套学案.doc

1、 1.1.1 正弦定理 学习目标 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题 学习过程 一、课前准备 试验：固定ABC 的边 CB 及B，使边 AC 绕着顶点 C 转动 思考：C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边 AB 的长度随着其对角C 的大小的增大而 能否用一个等式把这种关 系精确地表示出来？ 二、新课导学 学习探究 探究 1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直 角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在 RtABC 中，设 BC=a， AC=b，AB=c， 根据锐角三角函数中正弦

2、函数的定义， 有sin a A c ，sin b B c ，又sin1 c C c ， 从而在直角三角形 ABC 中， sinsinsin abc ABC ( 探究 2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义， 有 CD=sinsinaBbA，则 sinsin ab AB ， 同理可得 sinsin cb CB ， 从而 sinsin ab AB sin c C 类似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立请你试试导. 新知：正弦定理正弦定理 在一个三角形

3、中，各边和它所对角的 的比相等，即 sinsin ab AB sin c C 试试： （1）在ABC中，一定成立的等式是（ ） AsinsinaAbB B.coscosaAbB C. sinsinaBbA D.coscosaBbA （2）已知ABC 中，a4，b8，A30，则B 等于 理解定理理解定理 （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数， 即存在正数 k 使sinakA， ，sinckC； （2） sinsin ab AB sin c C 等价于 ， sinsin cb CB ， sin a A sin c C （3）正弦定理的基本作用为： 已知三角形

4、的任意两角及其一边可以求其他边，如 sin sin bA a B ；b 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sinsin a AB b ；sinC （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形解三角形 典型例题 例 1. 在ABC中，已知45A，60B ，42a cm，解三角形 变式：在ABC中，已知45B ，60C ，12a cm，解三角形 例 2. 在6,45 ,2,ABCcAabB C中，求 和 变式：在3,60 ,1,ABCbBcaA C中，求 和 三、总结提升 学习小结 1. 正弦定理： sinsin ab AB sin c C 2

5、. 正弦定理的证明方法：三角函数的定义， 还有 等积法，外接圆法，向量法. 3应用正弦定理解三角形： 已知两角和一边； 已知两边和其中一边的对角 知识拓展 sinsin ab AB 2 sin c R C ，其中2R为外接圆直径. 学习评价学习评价 自我评价自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 在ABC中，若 cos cos Ab Ba ，则ABC是（ ）. A等腰三角形 B等腰三角形或直角三角形 C直角三角形 D等边三角形 2. 已知ABC 中，ABC114， 则 abc 等

6、于（ ）. A114 B112 C113 D223 3. 在ABC 中，若sinsinAB，则A与B的大小关系为（ ）. A. AB B. AB C. AB D. A、B的大小关系不能确定 4. 已知ABC 中，sin:sin:sin1:2:3ABC ，则:a b c= 5. 已知ABC 中，A60，3a ，则 sinsinsin abc ABC = 课后作业 1. 已知ABC 中，AB6，A30，B120，解此三角形 2. 已知ABC 中，sinAsinBsinCk(k1)2k (k0)，求实数 k 的取值范围为 1.1.2 余弦定理 学习目标 1. 掌握余弦定理的两种表示形式； 2. 证明

7、余弦定理的向量方法； 3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 学习过程 一、课前准备 复习 1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = 复习 2：在ABC 中，已知10c ，A=45，C=30，解此三角形 思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？ 二、新课导学 探究新知 问题： 在ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b. c a b AB C AC ， ACAC 同理可得： 222 2c o sabcb cA， 222 2coscababC 新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它 们的夹角的 的积的两倍 思考：这个式子中有几个量？

8、从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论： 222 cos 2 bca A bc ， ， 理解定理理解定理 （1）若 C=90，则cosC ，这时 222 cab 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例 （2）余弦定理及其推论的基本作用为： 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； 已知三角形的三条边就可以求出其它角 试试： （1）ABC 中，3 3a ，2c ，150B ，求b （2）ABC 中，2a ，2b ，31c ，求A 典型例题 例 1. 在ABC 中，已知3a ，2b ，45B ，求,A C和c

9、 变式：在ABC 中，若 AB5，AC5，且 cosC 9 10 ，则 BC_ 例 2. 在ABC 中，已知三边长3a ，4b ，37c ，求三角形的最大内角 变式：在ABC 中，若 222 abcbc，求角 A 三、总结提升 学习小结 1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 2. 余弦定理的应用范围： 已知三边，求三角； 已知两边及它们的夹角，求第三边 知识拓展 在ABC 中， 若 222 abc，则角C是直角； 若 222 abc，则角C是钝角； 若 222 abc，则角C是锐角 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B.

10、 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 已知已知 a3，c2，B150，则边，则边 b 的长为（的长为（ ）. A. 34 2 B. 34 C. 22 2 D. 22 2. 已知三角形的三边长分别为已知三角形的三边长分别为 3、5、7，则最大角为（，则最大角为（ ）. A60 B75 C120 D150 3. 已知锐角三角形的边长分别为已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x，则，则 x 的取值范围是（的取值范围是（ ）. A513x B13x5 C 2x5 D5x5 4. 在在ABC中，中， |AB|3， |AC|2，AB与与AC的夹角为的夹角为

11、60， 则， 则|ABAC|_ 5. 在在ABC 中，已知三边中，已知三边 a、b、c 满足满足 222 bacab，则，则C 等于等于 课后作业 1. 在ABC 中，已知 a7，b8，cosC 13 14 ，求最大角的余弦值 2. 在ABC 中，AB5，BC7，AC8，求AB BC的值. 1.1 正弦定理和余弦定理（练习） 学习目标 1. 进一步熟悉正、余弦定理内容； 2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情 形 学习过程 一、课前准备 复习 1：在解三角形时 已知三边求角，用 定理； 已知两边和夹角，求第三边，用 定理； 已知两角和一边，用 定理 复习

12、 2：在ABC 中，已知 A 6 ，a252，b502，解此三角形 二、新课导学 学习探究 探究：在ABC 中，已知下列条件，解三角形. A 6 ，a25，b502； A 6 ，a 50 6 3 ，b502； A 6 ，a50，b502. 思考：解的个数情况为何会发生变化？ 新知：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时） b a b a b a b a a 已知边a,b和A 仅有一个解 有两个解 仅有一个解 无解 ab CH=bsinAab a=CH=bsinA aCH=bsinA A C B A C B1 A B A C B2 C H HH 试试： 1. 用图示分析（A 为直角时）解的情况？

13、2用图示分析（A 为钝角时）解的情况？ 典型例题 例 1. 在ABC 中，已知80a ，100b ，45A，试判断此三角形的解的情况 变式：在ABC 中，若1a ， 1 2 c ，40C，则符合题意的 b 的值有_个 例例 2. 在在ABC 中，中，60A ，1b ，2c ，求，求 sinsinsin abc ABC 的值的值 变式：在ABC 中，若55a ，16b ，且 1 sin220 3 2 abC ，求角 C 三、总结提升 学习小结 1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）； 2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）； 3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）； 4.

14、已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有 一解、两解和无解三种情况） 知识拓展 在ABC 中， 已知, ,a b A， 讨论三角形解的情况 ： 当 A 为钝角或直角时， 必须ab 才能有且只有一解；否则无解； 当 A 为锐角时， 如果ab，那么只有一解； 如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若sinabA，则有两解； （2）若sinabA，则只有一解； （3）若sinabA，则无解 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 已知 a、

15、 b 为ABC 的边， A、 B 分别是 a、 b 的对角， 且 sin2 sin3 A B ， 则 ab b 的值= （ ） . A. 1 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 5 3 2. 已知在ABC 中，sinAsinBsinC357，那么这个三角形的最大角是（ ）. A135 B90 C120 D150 3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）. A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D由增加长度决定 4. 在ABC 中，sinA:sinB:sinC4:5:6，则 cosB 5. 已知ABC 中，coscosbCcB，试判断ABC 的形状 课后作业 1.

16、在ABC 中，axcm，2bcm，45B，如果利用正弦定理解三角形有两解， 求 x 的取值范围 2. 在ABC 中，其三边分别为 a、b、c，且满足 222 1 sin 24 abc abC ，求角 C 1.2 应用举例测量距离 学习目标 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题 学习过程 一、课前准备 复习 1：在ABC 中，C60，ab2 32，c22，则A 为 . 复习 2：在ABC 中，sinA sinsin coscos BC BC ，判断三角形的形状. 二、新课导学 典型例题 例 1. 如图，设 A、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A

17、 的同侧，在 所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离是 55m，BAC=51，ACB=75. 求 A、B 两点的距离(精确到 0.1m). 提问 1：ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？ 提问 2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？ 分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题 题目条件告诉了边 AB 的对角，AC 为已知边， 再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出 AC 的对角， 应用正弦定理算出 AB 边. 新知 1：基线 在测量上，根据测量需要适当确定的 叫基线. 例 2. 如图，A、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一

18、种测量 A、B 两点间距离的 方法. 分析：这是例 1 的变式题，研究的是两个 的点之间的距离测量问题. 首先需要构造三角形，所以需要确定 C、D 两点. 根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出 AC 和 BC， 再利用余弦定理可以计算出 AB 的距离. 变式：若在河岸选取相距 40 米的 C、D 两点，测得BCA=60，ACD=30， CDB=45，BDA =60. 练： 两灯塔 A、 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km， 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30， 灯塔 B 在观察站 C 南偏东 60，则 A、B 之间的距离为多少？ 三、总结提升

19、 学习小结 1. 解斜三角形应用题的一般步骤： （1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图 （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中， 建立一个解斜三角形的数学模型； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解 （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解. 2基线的选取： 测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 水平地面

20、上有一个球， 现用如下方法测量球的大小， 用 锐角45的等腰直角三角板的斜边紧靠球面， P 为切点， 一条直角边 AC 紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如 果测得 PA=5cm，则球的半径等于（ ）. A5cm B5 2cm C5( 21)cm D6cm 2. 台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动， 离台风中心 30 千米内的地 区为危险区，城市 B 在 A 的正东 40 千米处，B 城市处于危险区内的时间为（ ）. A0.5 小时 B1 小时 C1.5 小时 D2 小时 3. 在ABC中，已知 2222 ()sin()()sin()abABabAB， P A C 则AB

21、C的形状（ ）. A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 4.在ABC中，已知4a ，6b ，120C ，则sin A的值是 5. 一船以每小时 15km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东60，行驶 h 后， 船到达 C 处， 看到这个灯塔在北偏东15， 这时船与灯塔的距离为 km 课后作业 1. 隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸边选取相距3km 的 C、D 两点，并测得 ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，A、B、C、D 在同一个 平面，求两目标 A、B 间的距离. 2. 某船在海面 A 处测得灯塔 C 与 A

22、相距10 3海里，且在北偏东30方向；测得灯塔 B 与 A 相距15 6海里，且在北偏西75方向. 船由A向正北方向航行到 D 处，测得灯塔 B 在南偏西60方向. 这时灯塔 C 与 D 相距多少海里？ 1.2 应用举例测量高度 学习目标 1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测 量的问题； 2. 测量中的有关名称. 学习过程 一、课前准备 复习 1：在ABC 中， cos5 cos3 Ab Ba ，则ABC 的形状是怎样？ 复习 2：在ABC 中，a、b、c 分别为A、B、C 的对边，若:a b c=1:1:3，求 A:B:C 的值. 二、新课导学 学

23、习探究 新知：坡度、仰角、俯角、方位角 方位角-从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角 ； 坡度-沿余坡向上的方向与水平方向的夹角； 仰角与俯角-视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，称为仰角；当视线在水平线 之下时，称为俯角. 探究：AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物 高度 AB 的方法. 分析：选择基线 HG，使 H、G、B 三点共线， 要求 AB，先求 AE 在ACE中，可测得角 ，关键求 AC 在ACD中，可测得角 ，线段 ，又有 故可求得 AC 典型例题 例 1. 如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角=54 40 ，在

24、塔底 C 处测得 A 处的俯角=50 1 . 已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m，求出山高 CD(精确到 1 m) 例 2. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到 A 处时测得公路南侧远处一 山顶 D 在东偏南 15 的方向上，行驶 5km 后到达 B 处，测得此山顶在东偏南 25的方向 上，仰角为 8 ，求此山的高度 CD. 问题 1： 欲求出 CD，思考在哪个三角形中研究比较适合呢？ 问题 2： 在BCD 中，已知 BD 或 BC 都可求出 CD，根据条件，易计算出哪条边的长？ 变式：某人在山顶观察到地面上有相距 2500 米的 A、B 两个目标，测得目标 A 在南偏西 5

25、7，俯角是 60，测得目标 B 在南偏东 78，俯角是 45，试求山高. 三、总结提升 学习小结 利用正弦定理和余弦定理来解题时， 要学会审题及根据题意画方位图， 要懂得从所给 的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化. 知识拓展 在湖面上高 h 处， 测得云之仰角为， 湖中云之影的俯角为， 则云高为 sin() sin() h . 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 在ABC 中，下列关系中一定成立的是（ ）. AsinabA BsinabA CsinabA D

26、sinabA 2. 在ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边 AC 上的高为（ ）. A 3 2 2 B 3 3 2 C 3 2 D3 3 3. D、 C、 B 在地面同一直线上， DC=100 米， 从 D、 C 两地测得 A 的仰角分别为30和45， 则 A 点离地面的高 AB 等于（ ）米 A100 B50 3 C50( 31) D50( 31) 4. 在地面上C点，测得一塔塔顶A和塔基B的仰角分别是60和30，已知塔基B高出 地面20m，则塔身AB的高为_m 5. 在ABC 中，2 2b ，2a ，且三角形有两解，则 A 的取值范围是 课后作业 1. 为测某塔 AB 的高度，

27、在一幢与塔 AB 相距 20m 的楼的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30，测得塔基 B 的俯角为 45，则塔 AB 的高度为多少 m？ 2. 在平地上有 A、B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在 A 的南 25西 300 米的 地方，在 A 侧山顶的仰角是 30，求山高. 1.2 应用举例测量角度 学习目标 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题. 学习过程 一、课前准备 复习 1：在ABC中，已知2c ， 3 C ，且 1 sin3 2 abC ，求ab，. 复习 2：设ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 A=60，3c ，求 a

28、c 的值. 二、新课导学 典型例题 例 1. 如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B，然 后从 B 出发，沿北偏东 32 的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发到达 C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到 0.1 ，距离 精确到 0.01n mile) 分析： 首先由三角形的内角和定理求出角ABC， 然后用余弦定理算出 AC 边， 再根据正弦定理算出 AC 边和 AB 边的夹角CAB. 例 2. 某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45 相距 9 海里的 C 处有一艘走私船， 正沿

29、南偏东 75 的方向以 10 海里/小时的速度向我海岸行驶， 巡逻艇立即以 14 海里/小时的速度沿着直线 方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？ 动手试试 练 1. 甲、乙两船同时从 B 点出发，甲船以每小时 10(31)km 的速度向正东航行，乙 船以每小时 20km 的速度沿南 60东的方向航行，1 小时后甲、乙两船分别到达 A、C 两 点，求 A、C 两点的距离，以及在 A 点观察 C 点的方向角. 练 2. 某渔轮在 A 处测得在北 45的 C 处有一鱼群，离渔轮 9 海里，并发现鱼群正沿南 75东的方向以每小时 10 海里的速度游去，渔轮立即以每小时

30、14 海里的速度沿着直线 方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上鱼群？ 三、总结提升 学习小结 1. 已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.； 2已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究， 再逐步在其余的三角形中求出问题的解. 知识拓展 已知ABC 的三边长均为有理数，A=3，B=2，则cos5是有理数，还是无理数？ 因为5C，由余弦定理知 222 cos 2 abc C ab 为有理数， 所以cos5cos(5 )cosC 为有理数. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一

31、般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 从 A 处望 B 处的仰角为，从 B 处望 A 处的俯角为，则，的关系为（ ）. A B= C+=90 D+=180 2. 已知两线段2a ，2 2b ，若以a、b为边作三角形，则边a所对的角 A 的取值范 围是（ ）. A(,) 6 3 B(0, 6 C(0,) 2 D(0, 4 3. 关于x的方程 2 sin2sinsin0A xB xC有相等实根，且 A、B、C 是的三个内角， 则三角形的三边abc、 、满足（ ）. Abac Babc Ccab D 2 bac 4. ABC 中，已知 a:b:c=(3+1) :(3

32、-1): 10，则此三角形中最大角的度数 为 . 5. 在三角形中，已知:A，a，b 给出下列说法: (1)若 A90，且 ab，则此三角形不存在 (2)若 A90，则此三角形最多有一解 (3)若 A90，且 a=bsinA，则此三角形为直角三角形，且 B=90 (4)当 A90，ab 时三角形一定存在 (5)当 A90，且 bsinAa0，d0，前n项和有最大值，可由 n a0，且 1n a 0，求得n的值； 当 n a0，前n项和有最小值，可由 n a0，且 1n a 0，求得n的值 奎屯 王新敞 新疆 （2）利用 n S：由 2 1 () 22 n dd Snan，利用二次函数配方法求得

33、最大（小）值时n的值. 动手试试 练 1. 已知 2 32 n Snn，求数列的通项 n a. 练 2. 有两个等差数列 2，6，10，190 及 2，8，14，200，由这两个等差数列的公 共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和. 三、总结提升 学习小结 1. 数列通项 n a和前 n 项和 n S关系； 2. 等差数列前项和最大（小）值的两种求法. 知识拓展 等差数列奇数项与偶数项的性质如下： 1若项数为偶数 2n，则 SSnd 偶奇 ； 1 (2) n n Sa n Sa 奇 偶 ； 2若项数为奇数 2n1，则 1n SSa 奇偶 ； 1n Sna 偶 ； 1 (1)

34、 n Sna 奇 ； 1 S n Sn 偶 奇 . 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 下列数列是等差数列的是（ ）. A. 2 n an B. 21 n Sn C. 2 21 n Sn D. 2 2 n Snn 2. 等差数列 n a中，已知 15 90S，那么 8 a （ ）. A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 3. 等差数列 n a的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为（ ）. A. 70 B. 130 C. 140 D. 1

35、70 4. 在小于 100 的正整数中共有 个数被 7 除余 2，这些数的和为 . 5. 在等差数列中，公差 d 1 2 ， 100 145S， 则 13599 .aaaa . 课后作业 1. 在项数为 2n+1 的等差数列中，所有奇数项和为 165，所有偶数项和为 150，求 n 的值. 2. 等差数列 n a， 1 0a ， 912 SS，该数列前多少项的和最小？ 2.4 等比数列（1） 学习目标 1 理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质； 2. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力； 3. 体会等比数列与指数函数的关系. 学习过程 一、课前准备 （

36、预习教材 P48 P51，找出疑惑之处） 复习 1：等差数列的定义？ 复习 2：等差数列的通项公式 n a ， 等差数列的性质有： 二、新课导学 学习探究 观察：1，2，4，8，16， 1， 1 2 ， 1 4 ， 1 8 ， 1 16 ， 1，20， 2 20， 3 20， 4 20， 思考以上四个数列有什么共同特征 新知： 1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等 于 常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用 字母 表示（q0），即： 1 n n a a = （q0） 2. 等比数列的通项公式： 21 aa ； 3211 ()a

37、a qa q qa ； 2 4311 ()aa qaq qa ； 11nn aaqa 等式成立的条件 3. 等比数列中任意两项 n a与 m a的关系是： 典型例题 例 1 （1） 一个等比数列的第 9 项是 4 9 ，公比是 1 3 ，求它的第 1 项； （2）一个等比数列的第 2 项是 10，第 3 项是 20，求它的第 1 项与第 4 项. 小结：关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式 1 1 n n aa q . 例 2 已知数列 n a中，lg35 n an ，试用定义证明数列 n a是等比数列. 小结：要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数 n， 1n n a a 是一

38、个不为 0 的 常数就行了. 动手试试 练 1. 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的 84. 这种物质的半衰期为多长(精确到 1 年)? 练 2. 一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q （ ）. A. 3 2 B. 3 5 2 C. 51 2 D. 51 2 三、总结提升 学习小结 1. 等比数列定义； 2. 等比数列的通项公式和任意两项 n a与 m a的关系. 知识拓展 在等比数列 n a中， 当 1 0a ，q 1 时，数列 n a是递增数列； 当 1 0a ，01q，数列 n a是递增数列； 当 1 0a ，01q时，数列

39、 n a是递减数列； 当 1 0a ，q 1 时，数列 n a是递减数列； 当0q 时，数列 n a是摆动数列； 当1q 时，数列 n a是常数列. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 在 n a为等比数列， 1 12a ， 2 24a ，则 3 a （ ）. A. 36 B. 48 C. 60 D. 72 2. 等比数列的首项为 9 8 ，末项为 1 3 ，公比为 2 3 ，这个数列的项数 n（ ）. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知数列 a，a（1a）

40、， 2 (1)aa，是等比数列，则实数 a 的取值范围是（ ）. A. a1 B. a0 且 a1 C. a0 D. a0 或 a1 4. 设 1 a， 2 a， 3 a， 4 a成等比数列，公比为 2，则 12 34 2 2 aa aa . 5. 在等比数列 n a中， 465 2aaa，则公比 q . 课后作业 在等比数列 n a中， 4 27a ，q3，求 7 a； 2 18a ， 4 8a ，求 1 a和 q； 4 4a ， 7 6a ，求 9 a； 5142 15,6aaaa，求 3 a. 2.4 等比数列（2） 学习目标 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；

41、 2. 熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法. 学习过程 一、课前准备 （预习教材 P51 P54，找出疑惑之处） 复习 1：等比数列的通项公式 n a = . 公比 q 满足的条件是 复习 2：等差数列有何性质？ 二、新课导学 学习探究 问题 1：如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，则 2 Gb GabG aG 新知 1：等比中项定义等比中项定义 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么称这个数 G 称为 a 与 b 的等比中项. 即 G= （a，b 同号）. 试试：数 4 和 6 的等比中项是 . 问

42、题 2： 1.在等比数列 n a中， 2 537 aa a是否成立呢？ 2. 2 11( 1) nnn aaan 是否成立？你据此能得到什么结论？ 3. 2 (0) nn kn k aaank 是否成立？你又能得到什么结论？ 新知 2：等比数列的性质等比数列的性质 在等比数列中，若 m+n=p+q，则 mnpk a aa a. 试试：在等比数列 n a，已知 1910 5,100aa a，那么 18 a . 典型例题 例 1 已知, nn ab是项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格，从中你能得出 什么结论?证明你的结论. 例 自选 1 自选 2 n a 2 3( ) 3 n n b 1

43、 52n nn a b 1 4 10( ) 3 n nn a b是 否等比 是 变式：项数相同等比数列 n a与 n b，数列 n n a b 也一定是等比数列吗？证明你的结论. 小结：两个等比数列的积和商仍然是等比数列. 例 2 在等比数列 n a中，已知 47 512a a ，且 38 124aa，公比为整数，求 10 a. 变式：在等比数列 n a中，已知 712 5a a，则 891011 a a aa . 动手试试 练 1. 一个直角三角形三边成等比数列，则（ ）. A. 三边之比为 3：4：5 B. 三边之比为 1：3：3 C. 较小锐角的正弦为 51 2 D. 较大锐角的正弦为 51 2 练 2. 在 7 和