高中数学必修五-不等式.ppt

1、 第第三三章章 不等式不等式 3.4 基本不等式：基本不等式： aba b 2 课前预习目标课前预习目标 课堂互动探究课堂互动探究 自自 学学 导导 引引 1.了解基本不等式的证明过程 2应用数形结合的思想理解基本不等式，掌握基本不等式 及其变形 3会用基本不等式求最值. 课课 前前 热热 身身 1.基本不等式 (1)重要不等式：对于任意实数a，b，有a2 b2_2ab，当且仅当_时，等号成立 (2)基本不等式：如果a0，b0，那么 ab_ab 2 ，当 且仅当_时，等号成立 2应用基本不等式求最值 已知x，y都为正数，则 (1)若xys(和为定值)，则当_时，积xy取得最大 值_ (2)若x

2、yp(积为定值)，则当_时，和xy取得最小 值_. 1. ab ab 自 我 校 对 2.xy s2 4 xy 2 p 名名 师师 讲讲 解解 1.对重要不等式a2b22ab的理解 (1)条件是a，bR，其结论的正确性是依据不等式的性 质，用比较法可以证明 (2)结论的形式可以是a2b22ab，也可以是ab a2b2 2 . 解题时不仅要记住原来的形式，还要掌握变式的应用，这也是 学习数学概念应下的功夫因为所有的数学公式都只表示了若 干个量之间的本质联系，而不能固定于某个特殊的形式 (3)等号取到的条件，当且仅当ab时取“”号是指：一 方面是当ab时，取到“”号；另一方面，取到“”时， 必有a

3、b.在后面的练习中，要体会这是很重要的一个条件 2基本不等式 (1)均值定理 如果a，bR ，那么 ab 2 ab，当且仅当ab时，式中 等号成立通常这个定理被称为均值不等式 (2)对定理的理解 称 ab 2 为a，b的算术平均数，称ab 为a，b的几何平均 数，此定理可表述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的 几何平均数 定理的证明可以用作差比较法： ab 2 ab ab2 ab 2 a b2 2 0，即 ab 2 ab.也可用重要不等式 进行推导：a，bR ，则( a )2(b )22ab ，即有a b2 ab. 对于“”号的理解：如果ab，那么 ab 2 ab ，如 果ab，那么 ab

4、 2 ab，如：x22 1 x222 x22 1 x22 2中就不能取等号，因为x22 1 x22 ，否则推出x21矛 盾 a2b22ab与 ab 2 ab 成立的条件是不同的：前者是 a，bR，后者是a，bR . 定理的几何直观解释 如图，以ab的长为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC a，CBb，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AE，BE，易知 ACEECB，则CE2CA CB，即CE ab. 这个圆的半径为 ab 2 ，显然它大于或等于CE，即 ab 2 ab. 3应用均值不等式求最值应注意三个条件 当两个正数的和为定值时，其积有最大值；当积为定值 时，其和有最小值应用此结论要注意三个

5、条件：“一正、二 定、三相等”也就是说， (1)各项或各因式均为正值 (2)和或积为定值 (3)各项或各因式相等时有解三个条件缺一不可. 课堂互动探究课堂互动探究 剖析归纳剖析归纳 触类旁通触类旁通 基本不等式的应用 一 【例1】 (1)已知xy3，且x0，y0，求2x5y的最小 值； (2)若2xy3，且x，y都是正数，求 1 2x 1 y的最小值 典典 例例 剖剖 析析 【解】 (1)x0，y0，xy3， 2x5y2 2x 5y2 30，当2x5y，即x 30 2 ，y 30 5 时，等号成立，即x 30 2 ，y 30 5 时，(2x5y)min2 30. (2) 1 2x 1 y 2x

6、y 2xy 3 2xy， 又2xy32 2xy，2xy 9 4. 1 2x 1 y 3 9 4 4 3.当且仅当2xy 3 2， 即x3 4，y 3 2时，等号成立 当x3 4，y 3 2时， 1 2x 1 y min4 3. 规律技巧 本题及三个变式充分考查了基本不等式这一基 础知识的应用：两个正数，和为定值时，积有最大值；积为定 值时，和有最小值. 基本不等式的灵活运用 二 【例2】 (1)函数ya1 x(a0，a1)的图象恒过定点A，若 点A在直线mxny10(mn0)上，求 1 m 1 n的最小值； (2)已知x5 4，求函数y4x2 1 4x5的最大值 【解】 (1)ya1 x恒过定

7、点A(1,1)，又A在直线mxny 10上， mn1. 而 1 m 1 n mn m mn n 1 n m m n 1224. 当且仅当mn1 2时，取“” 1 m 1 n的最小值为4. (2)x5 4，所以4x50. y4x2 1 4x5 4x5 1 4x5 3 54x 1 54x 3. 54x 1 54x2 54x 1 54x2， y231. 当且仅当54x 1 54x，即x1或x 3 2(舍)时等号成立故 当x1时，y取最大值1. 规律技巧 对于某些问题，从形式上看不具备应用基本不 等式的条件，可设法变形拼凑出应用基本不等式的条件，然后 用基本不等式求解，如本例(2). 利用基本不等式解

8、决实际问题 三 【例3】 某工厂有旧墙一面长14 m，现准备利用这面旧墙 建造平面图形为矩形，面积为126 m2的厂房工程条件是： 建1 m新墙的费用为a元；修1 m旧墙的费用为 a 4元；拆去1 m旧墙，用所得的材料建1 m新墙的费用为 a 2元经讨论有两种 方案： (1)利用旧墙的一段x m(x14)为矩形厂房的一面边长； (2)矩形厂房的一面边长x14，问如何利用旧墙即x为多少 时建墙费用最省？ (1)、(2)两种方案哪种方案最好？ 【解】 设利用旧墙的一面矩形边长为x m，则矩形的另一 面边长为126 x . (1)利用旧墙的一段x m(x14)为矩形的一面边长，则修旧墙 的费用为x

9、a 4 ，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14 x) a 2，其余的建新墙的费用为 2x2126 x 14 a. 故总费用为ya 4x 14xa 2 a 2x252 x 14 a 7x 4 252 x 7 7a x 4 36 x 1 (0x14) x 4 36 x 2 x 4 36 x 6， y7a x 4 36 x 1 7a(61)35a. 当且仅当x 4 36 x 即x12时，y取最小值35a. (2)若利用旧墙的一面矩形边长为x(x14)，则修旧墙的费 用为14 a 4 7a 2 ，建新墙的费用为 2x252 x 14 a. 故总费用为y7 2aa 2x252 x 14 2a x12

10、6 x 21 2 a(x14) 设14x1x2，则 x1126 x1 x2126 x2 (x1x2) 1126 x1x2 196， tx126 x 在14，)上为增函数 y2a x126 x 21 2 a35.5a. 当x14时，y取最小值35.5a. 所以，采用第(1)种方案，利用旧墙12 m为矩形的一面边 长，使建墙费用最省，费用最小值为35a. 易易 错错 探探 究究 已知a0，b0，且1 a 9 b1，求ab的最小值 【错解】 a0，b0， ab2 ab，1 a 9 b2 9 ab. ab 1 a 9 b (ab) 2 ab 2 9 ab12. ab的最小值为12. 【错因分析】 上述

11、解法中，连用了两次基本不等式，其 等号成立的条件是不同的，前一个等号成立的条件是ab，后 一个等号成立的条件是b9a，若等号同时成立，则ab0， 这与题设相矛盾 【正解】 ab(ab) 1 a 9 b 1b a 9a b 9 102 b a 9a b 16， 当且仅当b a 9a b ，即b3a时，取等号，又1 a 9 b1， 当a4，b12时，ab有最小值16. 随 堂 训 练 1.若xR，则下列不等式一定成立的是( ) Alg(x21)lg2x Bx212x C. 1 x21a0，且ab1，则四个数 1 2 ，2ab，a2b2，b中 最大的是( ) Ab Ba2b2 C2ab D.1 2

12、答案 A 3某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费 为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要一年的总运费与存 储费用之和最小，则x_吨 解析 由题意，一年购买 400 x 次，则总运费 400 x 4 1600 x 万 元，总存储量4x万元，则一年的总运费与总存储费用之和设为 y，则y1600 x 4x取最小值时，4x1600 x x2400 x20. 答案 20 4(1)若x0，求f(x)12 x 3x的最小值； (2)若x0，由基本不等式f(x) 12 x 3x2 12 x 3x 2 3612.当且仅当3x12 x 时，即x2时，f(x)取最小值为12. (2)x0. 则f(x) 12 x(3x)2 12 x 3x12. 即f(x)12，当且仅当 12 x 3x时，即x2时f(x)取最 大值12. (3)设ab t(t0)，由abab32ab 3，则有t22t 3，即t22t30， 解得t3，或t1(舍去) ab3，ab9.当且仅当ab3时取等号 故ab的最小值为9.