高二数学限时训练(理)(2020.12.21)参考答案.pdf

1、高二数学限时训练高二数学限时训练( (理理)(2020.12.21)参考答案 1. D因为椭圆E： x2 11 + y2 2 =1与双曲线C：x 2 a2 - y2 5 =1(a0)有相同的焦点， 所以11-2=a2+5， 解得a2= 4， 所以双曲线方程为 x2 4 - y2 5 =1， 所以双曲线的渐近线方程为y= 5 2 x 2.B由AB =(2， -1， -4)， AD =(4， 2， 0)， AP =(-1， 2， -1)， 知： 在中， |AD |=16+4+0 =25 6， 故不正确； 在中， AP AD =-4+4+0=0， AP AD ， APAD， 故正确； 在中， AP

2、AB =-2-2+4=0，APAB， 又因为APAD， ABAD=A， 知AP 是平面ABCD 的法向量， 故正确； 在中， BD =AD -AB =(2， 3， 4)， 假设存在使得AP =BD ， 则 -1=2 2=3 -1=4 ， 无解， 故不正确 3.B在四面体ABCD中， 点F在AD上， 且AF=2FD， E为BC中点 所以EF =EB +BA +AF = 1 2 (AB -AC )-AB + 2 3 AD =- 1 2 AC - 1 2 AB + 2 3 AD 即EF =- 1 2 AC - 1 2 AB + 2 3 AD .故选： B. 4.A因为E在直线AB上， 故存在实数t使

3、得OE =OA +AE =OA +tAB =(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)= (-3+t,-1-t,4-2t)， .若OE a ， 则OE a =0， 所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0， 解得t = 9 5 ， 因此点E的坐标为 - 6 5 ,- 14 5 , 2 5 . 5.C因为双曲线C1: x2 a2 - y2 b2 =1的离心率为 2 ， c a = a2+b2 a2 =2 a=b 故一条渐近线方程为： y=x， 代入C2:y2=4x， 可得P(4,4)|PF|=(4-1)2+42 =5故选： D 6.B以点D为原点， DA ， DC ， DD1 分别为x

4、轴、 y轴、 z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0)， A(1,0,0)， B(1,1,0)， E 0,1, 1 2 ， A1(1,0,1)， DB =(1,1,0)， DE = 0,1, 1 2 ， A1B =(0,1,-1)， 设平面BDE的一个法向量n =(x,y,z)， 则 n DB =0 n DE =0 ， 即 x+y=0 y+ 1 2 z=0 ， 令x=1， 则y=-1,z=2， 所以平面BDE的一个法向量n =(1,-1,2)， BA1 =(0,-1,1)， cos= 1+2 23 = 3 2 ,0,， = 6 ， 直线A1B与平面BDE的夹角为 3 .故选： B.

5、 7.C设A,B在准线上的射影分别为M,N， 准线与x轴交于H， 则HF=p， 由于点F是AC的中点， 且 AF=4， 根据抛物线的定义， 可得 AM=2 HF=2p=4， 所以p=2， 设 BF= BN=m， 则 BN FH = BC CF ， 即 m 2 = 4-m 4 ， 解得m= 4 3 ， 所以 AB= AF+ BF=4+ 4 3 = 16 3 ， 即AB的长为 16 3 .故选： C. 8.D如图建立空间直角坐标系： A 0,-1,0， B 0,1,0， H 0,0,3 ， H 0,0, 3 2 ， P x,y,0， 所以AM = 0,1, 3 2 ， MP = x,y,- 3 2

6、 ， 由于AM MP， 所以AM MP = 0,1, 3 2 x,y,- 3 2 =0， 即y= 3 4 ， 此为点P形 成的轨迹方程， 在底面圆内的长度为21- 3 4 2 = 7 2 ， 故选： D 9.-1 直线 l 的一个方向向量为 m = -2,-8,1， 平面 的一个法向量为 n = t, 1 2 ,2 ， l/， m n =-2t-4+2=0， 解得t=-1， 故答案为： -1 10. 10 3 由题意知： PA =(1,2,-4)， 则PA n = PA n cos,设点P到 1 平面的距离为d， 则d=PA cos= PA n n = -2-4-4 (-2)2+(-2)2+1

7、 = 10 3 ， 故答案为：10 3 11.5 抛物线y= 1 4 x2， 即x2=4y， 故其准线l的方程为y=-1， F 0,1 ， 双曲线的渐近线方程为y= a b x， 则有A -b a ,-1 ,B b a ,-1 ， AB= 2b a =4，b a =2， e= c a = 1+ b a 2 =5 .故答案为： 5 . 12. 5 5 ,1)由题意， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)， E(0,1, 1 2 )， G( 1 2 ,0,1)， F(x,0,0)， D(0,y,0)， 由于GDEF， 则GD EF =0， 所以x+2y- 1=0， 所以DF =(x,

8、-y,0)=(-2y+1,-y)， 所以 DF =x2+y2+02 = 5y2-4y+1 =5 y- 2 5 2 + 1 5 ， 当y= 2 5 时， 线段DF长度的最小值是 1 5 ， 当y=0时， 线段DF长度的最大值是1， 而不包括端点， 故y=0不能取； 故答案为： 5 5 ,1) 13. (1) 3 2 ； (2)x 2 4 +y2=1 (1)由题， 椭圆上顶点的坐标为 0,b， 左右顶点的坐标分别为 -a,0、a,0， b a -b a =- 1 4 ， 即a2=4b2， 则a=2b， 又a2=b2+c2， c= 3 b， 所以椭圆的离心率e= c a = 3 2 ； (2)设A

9、x1,y1， B x2,y2， 由 x2 4b2 + y2 b2 =1 y= 1 2 x+1 得： 2x2+2x+1-4b2=0， =32-8b20,x1+x2=-1， x1x2= 1-4b2 2 ， AB =x1-x2 2+ y 1-y2 2 = 5 2 x1+x2 2-4x 1x2 = 5 2 8b2-1 ， 又原点O到直线的距离d= 1 5 ， 1 2 AB d= 7 4 ， 解得 8b2-1 =7 ， b2=1， 满足0a2=4， 椭圆C的方程为 x2 4 +y2=1. 14. (1)在棱BC上存在点E， 使得CF/平面PAE， 点E为棱BC的中点.证明： 取PA的中点Q， 连结EQ、

10、 FQ， 由题意， FQ/AD且FQ= 1 2 AD， CE/AD且CE= 1 2 AD， 故CE/FQ且CE=FQ， 所以四边形CEQF 为平行四边形， 所以CF/EQ， 又CF平面PAE， EQ在平面PAE内， 所以CF平面PAE； (2)因为BF AC， 又菱形ABCD中BDAC， 所以AC 面BDF， 得AC PD.又由已知PDAD， 所 以PD面ABCD. 取AB中点M， 以D为坐标原点， 以DM， DC， DP所在直线为x， y， z轴建立空间直角坐标系， 设FD=a， 则D(0,0,0)， F(0,0,a)， C(0,2,0)， B(3 ,1,0)， A(3 ,-1,0).可得F

11、C = 0,2,-a， CB =3 ,-1,0 ， 设 平面FBC的一个法向量为m = x,y,z.由 m FC =2y-az=0 m CB =3 x-y=0 ， 取x=1， 可得y=3 ,z= 23 a ， 所以 平面FBC的一个法向量为m = 1,3 , 23 a ； 取平面DFC的一个法向量为n = 1， 0， 0.又由 tan=5 ， 可得 cos= 6 6 ， 所以 cos= 1 1+3+ 12 a2 = 6 6 ， 解得a=6 ， 所以FA =3 ,-1,-6 .设直线AF与平面BCF所成的角为 ， 则sin= cos= m FA m FA = 23 6 10 = 5 5 . 即直线AF与平面BCF所成的角的正弦值为 5 5 . 2