圆锥曲线上的动点与不动点一道习题的挖掘、延伸和类比发散.doc
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- 关 键 词:
- 圆锥曲线 不动 一道 习题 挖掘 延伸 类比 发散
- 资源描述:
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1、 1 圆锥曲线上的动点与不动点一道习题的挖掘、延伸与类比发散圆锥曲线上的动点与不动点一道习题的挖掘、延伸与类比发散 一、引例一、引例. 如图,点 2 3 , 1P为椭圆1 34 22 yx 上一 点,点C,D为x轴上的两个点,PCD是以P为 顶点的等腰三角形,直线PC,PD交椭圆于点A, B,则直线AB的斜率是( ) A. 2 3 B. 3 2 C. 2 D. 2 1 【解析】 :【解析】 : 思路一(设过思路一(设过 2 3 , 1P的直线) :的直线) :设直线PA: 2 3 1 xky,由PCD是以P为顶点的 等腰三角形知:PDCPCD,从而0 PBPA kk,所以直线PB: 2 3 1
2、 xky 由 1243 2 3 1 22 yx xky 消去y得:0312423434 2222 kkxkkxk, 则: 34 3124 2 2 k kk xx PA ,由1 P x得: 34 3124 2 2 k kk xA, 同理可得: 34 3124 2 2 k kk xB。 所以: 2 1 24 12 34 24 2 34 68 2 2 2 2 k k k k k xx xxk xx yy k BA BA BA BA AB 思路二(设直线思路二(设直线AB) :) :设直线AB:mkxy,由 1243 22 yx mkxy 消去y得: 0124834 222 mkmxxk,则 34 8
3、 2 k km xx BA , 34 124 2 2 k m xx BA 。 由0 PBPA kk得:0 1 2 3 1 2 3 B B A A x y x y 032 2 3 2 mxxkmxkx BABA 2 所以:032484 2 mkmkk032212mkk,故 2 1 k。 思路二(小题小做,考虑特殊位置,点思路二(小题小做,考虑特殊位置,点C落在原点) :落在原点) :当点C落 在原点时,点B落在椭圆的右顶点,此时B与D重合,0 , 2B, 由椭圆的对称性易知: 2 3 , 1A,从而 2 1 AB k 思路三(小题小做,考虑特殊位置,当点思路三(小题小做,考虑特殊位置,当点C与点
4、与点D重合) :重合) : 当点C与D重合时,A与B重合,此时 2 3 , 1A,直线AB为椭圆的切线, 由椭圆的切线方程:1 34 00 yyxx ,代入点 2 3 , 1A得:切线 方程为:2 2 1 xy,故 2 1 AB k。 思路四 (改进思路三, 当点思路四 (改进思路三, 当点C与点与点D重合) :重合) : 当点C与D重合时, A处椭圆的切线,与P点处椭圆的切线,两直线斜率互为相反数,可求P处的切线,易求 为 2 1 ,从而 2 1 AB k。 变式变式 1:如图,过椭圆1 34 22 yx 上一点 4 53 , 2 1 P引 两条直线PA,PB交椭圆于点A,B,若0 PBPA
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