河南理工大学高数历年期末试卷及答案.docx

1、高等数学 a-2 试卷答案 1 高等数学 a-2 试卷答案 2 高等数学 a-2 试卷答案 3 4、计算三重积分 dxdydzzyx 222 ，其中 为锥面 22 yxz与球面 4 222 zyx所围的立体 x y z O 例例5. 计算三重积分计算三重积分,ddd)( 222 zyxzyx 22 yxz为锥面4 222 zyx 解解:在球面坐标系下在球面坐标系下 : zyxzyxddd)( 222 所围立体所围立体. 4 0 20 r 20 其中其中 与球面与球面 dddsind 2 rrv 2 0 4 drr )22( 5 32 4 0 dsin 2 0 d 4 2r cossinrx s

2、insinry cosrz 5、线积分 LL dy y yxydxyxdyyxQdxyxP 4 22 1 1 cos2cos,， 其中 L 为 摆线tayttaxcos1,sin上由点0 , 0O到点0 ,2 aA 的有向弧段 高等数学 a-2 试卷答案 4 6、利用斯托克斯公式计算积分 ydzxdyzdx32，其中 为平面1zyx被三坐 标面所截三角形的整个边界，方向从z轴正向往下看为逆时针 z x y 1 1 1 O yxz yxxzzy zyx 32 dddddd 例例1.利用斯托克斯公式计算积分利用斯托克斯公式计算积分zyyxxzd3d2d 其中其中 为平面为平面 x+ y+ z =

3、1 被三坐标面所截三角形的整被三坐标面所截三角形的整 解解: 记记三角形域为三角形域为 , 取取上侧上侧,则则 个边界个边界, 方向如图所示方向如图所示. zyyxxzd3d2d yxxzzydd2dddd3 利用对称性利用对称性 3dd6 yx D yx yx D 7、设 22 1yxz： ，计算 dSzIcos 2 ，其中 是 的外法线与z轴正向所 夹的锐角 y x z 1 1 1 例例4. 设设,1: 22 yxz是其外法线与是其外法线与 z 轴轴正向正向 夹成的锐角夹成的锐角, 计算计算 .dcos 2 SzI 解解: SzIdcos 2 yxzdd 2 rrrd)1(d 2 1 0

4、2 0 2 yx D yxyxdd)1( 22 n 高等数学 a-2 试卷答案 5 三、试解下列各题（共 20 分，每题 10 分） 1、求二元函数 22 yxyxu在点1 , 1P处沿方向1 , 2 5 1 l e的方向导数，并指 出函数u在该点沿哪个方向的方向导数最大？这个最大的方向导数值是多少？函数u沿 哪个方向减小得最快？沿着哪个方向函数u的值不变化？ 例例1. 求二元函数求二元函数 22 uxxyy在点在点 P（- -1，1）处）处 沿方向沿方向 1 (2,1) 5 l e 的方向导数，并指出的方向导数，并指出u 在该在该 点沿哪个方向的点沿哪个方向的方向导数方向导数最大？这个最大的

5、方向最大？这个最大的方向 导数值是多少？导数值是多少？u 沿哪个方向减小的最快？沿着沿哪个方向减小的最快？沿着 哪个方向哪个方向u 的值不变化？的值不变化？ 解：解： ( 1,1)( 1,1) ( 1,1) (,)(2,2)( 3,3) uu xy uxyyx ( 1,1) ( 1,1)13 ,( 63) 55 l u ue l (1) 方向导数取最大值的方向即方向导数取最大值的方向即梯度方向梯度方向，其单位向，其单位向 ，方向导数的最大值为，方向导数的最大值为 ( 1,1) 3 2.u u 沿梯度的负向即沿梯度的负向即的方向减小的最快。的方向减小的最快。 1 (1, 1) 2 1 ( 1,1

6、) 2 量为量为 (2) (3) 下求使下求使 u 的变化率为零的方向。令的变化率为零的方向。令(cos ,sin ) l e 则：则： ( 1,1) ( 1,1) ,3cos3sin l u ue l 3 2sin() 4 令令0 u l 得得, 44 ，此时，此时u 的值不变化。的值不变化。 高等数学 a-2 试卷答案 6 2、设 时当， 时当 0 , 0, 0 , 0, , 22 2 yx yx yx yx yxf 0 ， （1）讨论yxf,在0 , 0点处的连续 性； （2）讨论0 , 0 x f与0 , 0 y f的存在性； （3）讨论yxf,在0 , 0点处的可微性 高等数学 a-2 试卷答案 7 高等数学 a-2 试卷答案 8 高等数学 a-2 试卷答案 9 高等数学 a-2 试卷答案 10 2,与 13-14-2，三，完全相同。 高等数学 a-2 试卷答案 11 高等数学 a-2 试卷答案 12 高等数学 a-2 试卷答案 13 高等数学 a-2 试卷答案 14