松江区2021届高三数学第一学期期末质量监控试卷含答案.doc

1、高三数学 第 1 页 共 9 页 松江区 2020 学年度第一学期期末质量监控试卷 高三数学 （满分 150 分，完卷时间 120 分钟） 202012 考生注意： 1本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择 题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。 2答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号。 3答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。 一、填空题一、填空题（本大题满分（本大题满分 5454 分）本大题共有分）本大题共有 1212 题，题，第第 1 16 6 题题每个空格填对得每个空格填对得 4 4 分，分，第第

2、 7 7 1212 题题每个每个空格填对得空格填对得 5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 1 3 lim 32 n nn n 2若集合13Axx ，1,2,3,4B ，则AB= 3已知复数z满足(1 i)1 iz （i为虚数单位） ，则z 4若 1 sin 3 ，则cos(2 ) 5抛物线 2 4yx 的准线方程是 6已知函数( )f x图像与函数( )2xg x 的图像关于yx对称，则(3)f= 7 从包含学生甲的 1200 名学生中随机抽取一个容量为80的样本， 则学生甲被抽到的概率为 8在 26 2 ()x x 的二项展开式中，常数项等于 9在ABC中，角A、B、C所对的边分别

3、为a、b、c，且 322 0 cos1 bca B ，则角A= 10从以下七个函数: yx, 1 y x , 2 yx,2xy , 2 logyx, sinyx,cosyx中选取两个函数记为( )f x 和( )g x， 构成函数( )( )( )F xf xg x， 若( )F x 的图像如图所示，则( )F x= 高三数学 第 2 页 共 9 页 11已知向量1abc，若 1 2 a b，且cxayb，则xy的最大值为 12对于定义域为D的函数( )f x，若存在 12 ,x xD且 12 xx，使得 22 1212 ()()2 ()f xf xf xx，则称函数( )f x具有性质M若函

4、数 2 ( )log1g xx (0, xa具有性质M，则实数a的最小值为 二、选择题二、选择题( (本大题满分本大题满分 2 20 0 分分) )本大题共有本大题共有 4 4 题题，每题有且只有一个正确答案，选对得，每题有且只有一个正确答案，选对得 5 5 分，分， 否则一律得零分否则一律得零分 13 已知两条直线 1 l、2l的方程分别为 1: 10laxy 和 2: 210lxy ， 则“2a”是“直 线 12 ll”的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 14在正方体 1111 ABCDABC D 中，下列四个结论中错误错误 的

5、是（ ） （A）直线 1 BC与直线AC所成的角为60 （B）直线 1 BC与平面 1 ADC所成的角为60 （C）直线 1 BC与直线 1 AD所成的角为90 （D）直线 1 BC与直线AB所成的角为90 15设00,xy，若 1 21x y ，则 y x 的（ ） （A）最小值为 8 （B）最大值为 8 （C）最小值为 2 （D）最大值为 2 16记 n S为数列 n a的前n项和，已知点( ,) n n a 在直线102yx上，若有且只有两个正 整数n满足 n Sk，则实数k的取值范围是( ) （A）(8,14 （B）(14,18 （C）(18,20 （D） 81 (18, 4 高三数学

6、 第 3 页 共 9 页 三、解答题（本大题满分三、解答题（本大题满分 7676 分）本大题共有分）本大题共有 5 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤规定区域内写出必要的步骤 17 （本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 7 7 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 7 7 分分 如图 1， 在三棱柱 111 ABCABC中， 已知ABAC，1ABAC， 1 2AA ， 且 1 AA 平面ABC 过 1 A、 1 C、B三点作平面截此三棱柱， 截得

7、一个三棱锥和一个四棱锥 （如图 2） （1）求异面直线 1 BC与 1 AA所成角的大小（结果用反三角函数表示） ； （2）求四棱锥 11 BACC A的体积和表面积 18 （本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 7 7 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 7 7 分分 已知函数 2 ( )3sin coscos1f xxxx （1）求( )f x的最小正周期和值域； （2）若对任意的xR， 2( ) ( )20fxk f x 恒成立，求实数k的取值范围 19 （本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有

8、 2 2 个个小题，第小题，第 1 1 小题满分小题满分 7 7 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 7 7 分分 某网店有 3(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x(万件)经市场调查测算，花费t(万 元)进行促销后，商品的剩余量3x与促销费t之间的关系为3 1 k x t （其中k为常数） ， 如果不搞促销活动，只能售出 1(万件)商品 （1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件), 促销费t至少为多少 (万元)? （2）已知商品的进价为 32(元/件), 另有固定成本 3(万元)定义每件售出商品的平均成本为 3 32+ x （元）.若将商品售价定为：“每件售出商品平均成本的1.5倍

9、”与“每件售出商品平 均促销费的一半”之和，则当促销费t为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？ 此时商品的剩余量为多少? 图图 1 图图 2 高三数学 第 4 页 共 9 页 20 （本题满分（本题满分 1 16 6 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分分，第第 3 3 小小 题满分题满分 6 6 分分 已知椭圆1 2 2 2 2 b y a x ：（0ba） 的右焦点坐标为)0 , 2(， 且长轴长为短轴长的2 倍直线l交椭圆于不同的两点M和N （1）求椭圆的方程； （2）若直线l

10、经过点(0,4)T，且OMN的面积为2 2，求直线l的方程； （3）若直线l的方程为(0)ykxt k， 点M关于x轴的对称点为 M ，直线MN、 MN 分别与x轴相交于P、Q两点，求证：OP OQ 为定值 2121 （本题满分（本题满分 1 18 8 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分分，第第 3 3 小小 题满分题满分 8 8 分分 对于由m个正整数构成的有限集 123 , m Ma a aa， 记 12 () m P Maaa， 特别规定()0P 若集合M满足：对任意的正整数()kP

11、 M，都存在集合M的两个 子集A、B，使得( )( )kP AP B成立，则称集合M为“满集” （1）分别判断集合 1 1,2M 与 2 1,4M 是否是“满集”，请说明理由； （2）若 12 , m a aa由小到大能排列成公差为 * ()d dN的等差数列，求证：集合M为“满 集”的必要条件是 1 1a ，1d 或2； （3） 若 12 , m a aa由小到大能排列成首项为1， 公比为2的等比数列， 求证： 集合M是“满集” 2020.12 松江区高三数学一模试卷参考答案 高三数学 第 5 页 共 9 页 一、填空题 1 1 ； 2 1,2 ； 3 1 ； 4 7 9 ； 5 1x ；

12、6 2 log 3 ； 7 1 15 ；8 240 ；9 5 6 ；10 2cos x x ；11 2 3 3 ； 122 22 二、选择题 13C 14B 15A 16C 17.如图 1， 在三棱柱 111 ABCABC中， 已知ABAC，1ABAC， 1 2AA ， 且 1 AA 平面ABC.过 1 A、 1 C、B三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图 2） （1）求异面直线 1 BC与 1 AA所成角的大小（结果用反三角函数表示） （2）求四棱锥 11 BACC A的体积和表面积 解： （1） 11 / /AACC 1 BCC即为异面直线 1 BC与 1 AA所成的角，

13、 2 分 1 AA 平面ABC， 1 CC 平面ABC， 1 90CCB， 22 1 12,CBABAC 1 2CC 5 分 1 2 tan 2 C CB 1 2 tan 2 C CBarc， 即异面直线 1 BC与 1 AA所成的角为 2 tan 2 arc . 7 分 (或 3 arcsin 3 ， 或 6 arccos 3 ) （2） 1 1 12 1 2 33 B ACC A V 10 分 11 111 1 BACBAABACBC CCAAC SSSSSS 全 111115 1 11 2152 2 1 2122 222222 75 2 22 14 分 18.已知 2 ( )3sin c

14、oscos1f xxxx （1）求( )f x的最小正周期和值域； （2）若对任意的xR， 2( ) ( )20fxk f x 恒成立，求k的取值范围 解： （1） 2 ( )3sin coscos1f xxxx 高三数学 第 6 页 共 9 页 3cos213133 sin21sin2cos2sin(2) 2222262 x xxxx 3 分 ( )f x的为最小正周期 2 2 T ， 5 分 值域为 1 5 ( ) , 2 2 f x 7 分 （2）记( )f xt ，则 1 5 , 2 2 t ，8 分 由 2( ) ( )20fxk f x 恒成立，知 2 20tkt恒成立， 即 2

15、2ktt恒成立， 0t 2 22t kt tt 11 分 2 ( )g tt t 在 1 5 , 2 2 t时单调递增 max 55417 ( )( ) 22510 gtg k的取值范围是 17 10 k 14 分 19. 某网店有 3(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x(万件)经市场调查测算，花费t(万 元)进行促销后，商品的剩余量3x与促销费t之间的关系为3 1 k x t （其中k为常数） ， 如果不搞促销活动，只能售出 1(万件)商品 （1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件), 促销费t至少为多少 (万元)? （2）已知商品的进价为 32(元/件), 另有固定成本 3(万元)

16、定义每件售出商品的平均成本为 3 32+ x （元）.若将商品售价定为：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促 销费的一半”之和，则当促销费t为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品 的剩余量为多少? 解： （1）由3 1 k x t ，当0t 时，1x ，得2k 2 3 1 x t 4 分 由 2 0.1 1t 解得19t 7 分 （2）网店的利润y (万元)，由题意可得： 332 (1.5)(332) 2 xt yxxt xx 10 分 9932321 50() 21212 tt tt 321 50242 12 t t 12 分 当且仅当 321 12 t

17、t ，即7t 时取等号，此时30.25x； 所以当促销费为 7 万元时，网店利润的最大为 42 万元，此时商品的剩余量为0.25(万 件). 14 分 高三数学 第 7 页 共 9 页 20. 已知椭圆1 2 2 2 2 b y a x ： （0ba）的右焦点的坐标为)0 , 2(，且长轴长为短轴长的 2倍. 直线l交椭圆于不同的两点M和N （1）求椭圆的方程； （2）若直线l经过点(0,4)T，且OMN的面积为2 2，求直线l的方程； （3）若直线l的方程为(0)ykxt k， 点M关于x轴的对称点为 M ，直线MN、 MN 分别与x轴交于P、Q两点，求证：OP OQ 为定值. 解： （1）

18、由题意得 ba2，4 22 ba， 2 分 解得 22a，2b， 所以椭圆的方程为 1 48 22 yx . 4 分 （2）设点M、N的坐标为 11 ( ,)M x y、),( 22 yxN，直线l的方程为4 kxy. 5 分 由方程组 1 48 4 22 yx kxy ，得 02416)21 ( 22 kxxk 所以 2 21 21 16 k k xx ， 2 21 21 24 k xx 7 分 2 2 12121 2 2 18 2 23 42 ()4=2 2 21 2 OMN k Sxxxxx x k 解得 14 2 k.直线l的方程为 14 4 2 yx 10 分 （3）由题意知 M 点

19、的坐标为 11 ( ,)M xy 11 分 将ykxt，代入1 48 22 yx 得：0824) 12( 222 tktxxk， 12 82 , 12 4 2 2 21 2 21 k t xx k kt xx 1212 2 ()2 21 t yyk xxt k 13 分 对于直线ykxt， 令0y 得 t x k t OP k 14 分 对于直线 MN ： 21 22 21 () yy yyxx xx ， 令0y 得 22112211221 2 212121 ()()()yxxx yx yx kxtx kxt xx yyyyyy 1212 21 2()8kx xt xxk yyt ， 8k O

20、Q t 高三数学 第 8 页 共 9 页 8 8 tk OPOQ kt 16 分 21.对于由m(2)m 个正整数构成的有限集 123 , m Ma a aa，记 12 () m P Maaa.若集合M满足：对任意的正整数()kP M，都存在集合M的 两个子集,A B，使得( )( )kP AP B成立，称集合M为“满集”.特别规定()0P . （1）分别判断集合 1 1,2M 与 2 1,4M 是否是“满集” ，请说明理由； （2）若 12 , m a aa由小到大能排列成公差为 * ()d dN的等差数列，求证：集合M为“满 集”的必要条件是 1 1a ，1d 或2； （3） 若 12 ,

21、 m a aa由小到大能排列成首项为 1， 公比为2的等比数列， 求证： 集合M是 “满 集” ；. 解答： （1）集合 1 M是“满集” ，集合 2 M不是“满集”. 2 分 对于集合 1 M ， 1 ()1 23P M ，且 1 M共有 4 个子集：,1,2,1,2 当k分别取1,2,3时，由1(1)();2(2)();3(1,2)();PPPPPP 故 1 M是“满集” ； 3 分 对于集合 2 M ， 1 ()1 45P M ，且 1 M共有 4 个子集：,1,4,1,4 当2k 时，不存在1,4的两个子集,A B，使得( )( )2P AP B， 故 2 M不是“满集” 4 分 （2

22、） 12 , m a aa由小到大能排列成公差为 * ()d dN的等差数列， 12m aaa，记 012 () m kP Maaa 5 分 M为“满集” ， 对任意的正整数 0 kk，都存在集合M的两个子集,A B，使得( )( )kP AP B成立， 当 0 1kk时，由 0 1( )( )kP AP B ，及( )0P B 知 0 ( )P Ak或 0 ( )1P Ak， 若 0 ( )P Ak，则( )1P B ， 1 1a ，此时 123 , m Aa a aa， 1 Ba7 分 若 0 ( )1P Ak， 则AM， 在M的真子集中， 23 ( ) m P Aaaa最大， 必有 1

23、1a ， 此时 23 , m Aa aa，B. 综上可得： 1 1a 8 分 若3d ，当 0 3kk时， 0000 (0)(1)(1) 1)(1)kkkkkd， 不存在M的子集,A B，使得 0 3( )( )kkP AP B ，1,2d ， 综合得：集合M为“满集”的必要条件是，1d 或2 10 分 （3）由已知： 11 1,2,4,2, ()1 24221 mmm PP M 11 分 对任意21 m k ，kN ，存在 * 11 ,kk kN和 1 0,1p ，使得 11 2kkp， 同理有 122 2kkp， 233 2kkp ，其中 * 1, ,0,1 iiii kkkNp ，经过有限次的 操作后，必存在1 s k ( 0)sm， 120 11221121 22(2)22222 sss ss kkpkpppppp 14 分 高三数学 第 9 页 共 9 页 当 12 1 n jjj ppp 时， 12 2222 n jjjs k 16 分 此时取 1 2 ,2 ,2 , n jjs AB ， 则有 12 ( )( )(2222 )0 n jjjs P AP Bk . 集合M是“满集”. 18 分