2019届高考二轮数学复习专题四 第2讲　椭圆、抛物线、双曲线（学生版）.docx

1、 1111111 1圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点； 2 直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题； 3数学运算（数的运算、代数式运算）也是这里的考查要求之一 1圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)； (2)双曲线：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)； (3)抛物线：|MF|d(d 为 M 点到准线的距离) 2圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆：x 2 a2 y2 b21(ab0)(焦点在 x 轴上)或 y2 a2 x2 b21(ab0)(焦点在 y 轴上)； (2)双曲线：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)(焦点在

2、 x 轴上)或 y2 a2 x2 b21(a0，b0)(焦点在 y 轴上)； (3)抛物线：y22px，y22px，x22py，x22py(p0) 3圆锥曲线的重要性质 (1)椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系 在椭圆中：a2b2c2；离心率为 ec a 1b 2 a2 在双曲线中：c2a2b2；离心率为 ec a 1b 2 a2 (2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标 双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐近线方程为 y b ax；焦点坐标 F1(c，0)，F2(c，0) 双曲线y 2 a2 x2 b21(a0，b0)的渐近线方程为 y a bx，焦点坐标 F1(0，c)，F2(

3、0，c) (3)抛物线的焦点坐标与准线方程 抛物线 y22px(p0)的焦点 F? ? ? ? p 2，0 ，准线方程 x p 2 抛物线 x22py(p0)的焦点 F? ? ? ? 0，p 2 ，准线方程 yp 2 知识与技巧的梳理知识与技巧的梳理 考向预测考向预测 专题四专题四 第第 2 2 讲讲 椭圆、椭圆、抛物线、抛物线、双双曲线曲线 解析几何解析几何 4弦长问题 (1)直线与圆锥曲线相交的弦长 设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入即当斜率为 k，直线与圆锥曲线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)时， |AB| 1k2|x1x2|1k2（x1x2）24x1x2 (2)过抛物线

4、焦点的弦长 抛物线 y22px(p0)过焦点 F 的弦 AB， 若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2p 2 4 ，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p 热点一 圆锥曲线的几何性质 【例 1】 (2018 哈三中)如果双曲线的两个焦点分别为?1(?3,0)、?2(3,0)，一条渐近线方程为? = 2?，那么经 过双曲线焦点且垂直于?轴的弦的长度为（ ） A43 B23 C2 D1 解析解析 因为双曲线的两个焦点分别?1(?3,0)，?2(3,0)，条渐近线方程为? = 2?， ? 2 + ?2= 9 ? ? = 2 ，解得? = 3,? = 6， 双曲线的方程为? 2 3 ? ?

5、2 6 = 1， 由 ?2 3 ? ?2 6 = 1 ? = 3 ? ? = 23， 所以经过双曲线焦点且垂直于?轴的弦的长度为2 23 = 43 答案答案 A 探究提高 1分析圆锥曲线中 a，b，c，e 各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键 2确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方程(组)或不等式(组)，再根 据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式建立关于 a，b，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和 双曲线的几何性质、点的坐标的范围等 3求双曲线渐近线方程关键在于求b a或 a b的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为

6、“0”，然后因式分解得到 【训练 1】 (1)(2017 全国卷)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2为 直径的圆与直线 bxay2ab0 相切，则 C 的离心率为（ ） A 6 3 B 3 3 C 2 3 D1 3 (2)(2016 北京卷)双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该 双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则 a_ 解析 (1)以线段 A1A2为直径的圆是 x2y2a2，直线 bxay2ab0 与圆相切， 热点热点题型题型 所以圆

7、心(0，0)到直线的距离 d 2ab a2b2a，整理为 a 23b2，即b a 1 3 ec a a2b2 a 1? ? ? ? b a 2 1? ? ? ? 1 3 2 6 3 (2)取 B 为双曲线右焦点，如图所示 四边形 OABC 为正方形且边长为 2，c|OB|2 2，又AOB 4， b atan 41，即 ab又 a 2b2c28，a2 答案 (1)A (2)2 热点二 直线与圆锥曲线 【例 2】 (2018 江南十校)已知椭圆?: ?2 ?2 + ?2 ?2 = 1(? ? 0)，?为其短轴的一个端点，?1,?2分别为其左右两 个焦点，已知三角形?1?2的面积为2，且cos?1?

8、2= 1 3 （1）求椭圆?的方程； （2） 若动直线?:? = ? + ?(? 0,?2 2 3)与椭圆?交于?(?1,?1),?(?2,?2)， ?为线段?的中点， 且?1 2 + ?2 2 = 3， 求|?| |?|的最大值 解（1）由cos?1?2= 2?2;4?2 2?2 = 1 3 ? ?2 ?2 = 1 3 ? ? 2 = 3?2，?2= 2?2， cos?1?2= 1 3 ? sin?1?2 = 22 3 ， 结合?1?2= 1 2? 2 22 3 = 2 ? ?2= 3，? ?2= 2， 故椭圆?的方程为? 2 3 + ?2 2 = 1； 另解：依题意：?1?2= 1 2 2

9、? = ? = 2， cos?1?2= 2cos2 ?1?2 2 ? 1 = 1 3 ? ?2 ?2 = 2 3， 解得：?2= 3，?2= 2， 故椭圆?的方程为? 2 3 + ?2 2 = 1； （2）联立 ? = ? + ? 2?2+ 3?2= 6 ? (3?2+ 2)?2+ 6? + 3?2? 6 = 0 ? ? = 24(3?2+ 2 ? ?2) 0 ? 3?2+ 2 ?2 且?1+ ?2= ;6? 3?2:2，?1?2 = 3?2;6 3?2:2； 依题意，?1 2 + ?2 2 = 3 ? (?1+ ?2)2? 2?1?2= 3 ? (?6?)2 (3?2+ 2)2 ? 6(?2

10、? 2) 3?2+ 2 = 3 化简得：3?2+ 2 = 2?2（3?2 2） ； 设?(?0,?0)，由2?1 2 + 3?1 2 = 6 2?2 2 + 3?2 2 = 6 ? 2(?12? ?22) = ?3(?12? ?22) ? ? = ?1;?2 ?1;?2 = 2?0 ;3?0 又?0= ?0+ ?， 解得：?(? 3? 2? , 1 ?) ? |?| 2 = 9?2:4 4?2 = 3?2;1 2?2 ， |?|2= (1 + ?2)|?1? ?2|2 = (1 + ?2) 24(3?2:2;?2) (3?2:2)2 = 2(2?2:1) ?2 ? |?|2|?|2= (3 ?

11、 1 ?2)(2 + 1 ?2) 25 4 |?| |?| 5 2 当且仅当3 ? 1 ?2 = 2 + 1 ?2，即? = 2时，|?| |?|的最大值为 5 2 探究提高 1判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的 一元二次方程的判别式来确定； 2 弦长计算公式： 直线 AB 与圆锥曲线有两个交点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则弦长|AB| 1k2 （x1x2）24x1x2， 其中 k 为弦 AB 所在直线的斜率 3对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条 件 0，在用“点差法”时

12、，要检验直线与圆锥曲线是否相交 【训练 2】 (2017 北京卷)已知抛物线 C：y22px 过点 P(1，1)，过点? ? ? ? 0，1 2 作直线 l 与抛物线 C 交于不同的 两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中 O 为原点 (1)求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段 BM 的中点 解 (1)把 P(1，1)代入 y22px，得 p1 2，所以抛物线 C 的方程为 y 2x， 焦点坐标为? ? ? ? 1 4，0 ，准线方程为 x 1 4 (2)证明 当直线 MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只

13、有一个交点不满足题意，所以直线 MN(也就 是直线 l)斜率存在且不为零 由题意，设直线 l 的方程为 ykx1 2(k0)，l 与抛物线 C 的交点为 M(x1，y1)，N(x2，y2) 由 ? ? ? ? ?ykx1 2， y2x， 消去 y 得 4k2x2(4k4)x10 考虑 (4k4)244k216(12k)， 由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以 k 0 ， ? 0)的离心率为2，则点(4,0)到?的渐近线的距 离为（ ） A2 B2 C32 2 D22 3(2018 全国 II 卷)已知?1，?2是椭圆?的两个焦点，?是?上的一点，若?1 ?2，且?2?1= 60，则?的 离

14、心率为（ ） A1 ? 3 2 B2 ? 3 C3;1 2 D3 ? 1 4(2018 全国 I 卷)设抛物线 2 :2C yx?，点?2,0A，?2,0B ?，过点A的直线l与C交于M，N两点 （1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； （2）证明：ABMABN? 经典常规题 限时训练限时训练 （45 分钟） 1(2019 吉安联考设抛物线?2= 8?的焦点为?，过点?(4,0)的直线与抛物线相交于?，?两点，与抛物线的准 线相交于?，|?| = 4，则?与?的面积之比? ? =（ ） A3 4 B4 5 C5 6 D2 5 2(2017 全国卷)已知 F 是双曲线 C：x2y 2 31 的

15、右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标 是(1，3)，则APF 的面积为（ ） A1 3 B1 2 C2 3 D3 2 3 (2018 哈六中)若?是双曲线?1: ?2 ?2 ? ?2 ?2 = 1(? 0,? 0)和圆?2:?2+ ?2= ?2+ ?2的一个交点， 且,?2?1= 2?1?2，其中?1,?2是双曲线?1的两个焦点，则双曲线?1的离心率为（ ） A3 ? 1 B3 C2 D3 + 1 4(2017 佛山调研)已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ，右焦点为 F(1，0) (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)设点 O

16、 为坐标原点，过点 F 作直线 l 与椭圆 E 交于 M，N 两点，若 OMON，求直线 l 的方程 精准预测题 高频易错题 1(2019 河南联考)已知椭圆?: ?2 2 + ?2= 1，设过点?(2,0)的直线?与椭圆?交于不同的?，?两点，且?为 钝角（其中?为坐标原点） ，则直线?斜率的取值范围是（ ） A(? 2 2 , 2 2 ) B(? 5 5 ,0) (0, 5 5 ) C(?,? 5 5 ) ( 5 5 ,+) D(? 2 2 ,0) (0, 2 2 ) 2(2017 石家庄三模)已知椭圆 C1与双曲线 C2有相同的左右焦点 F1，F2，P 为椭圆 C1与双曲线 C2在第一象 限内的一个公共点，设椭圆 C1与双曲线 C2的离心率分别为 e1，e2，且e1 e2 1 3，若F1PF2 3 ，则双曲线 C2 的渐近线方程为（ ） Axy0 Bx 3 3 y0 C