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类型2019届高考二轮数学复习专题四 第2讲 椭圆、抛物线、双曲线(教师版).docx

  • 上传人(卖家):secant
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    资源描述:

    1、 11111111 1圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点; 2 直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点,尤其是有关弦长计算及存在性问题; 3数学运算(数的运算、代数式运算)也是这里的考查要求之一 1圆锥曲线的定义 (1)椭圆:|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|); (2)双曲线:|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|); (3)抛物线:|MF|d(d 为 M 点到准线的距离) 2圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆:x 2 a2 y2 b21(ab0)(焦点在 x 轴上)或 y2 a2 x2 b21(ab0)(焦点在 y 轴上); (2)双曲线:x 2 a2 y2 b21(a0,b0)(焦点

    2、在 x 轴上)或 y2 a2 x2 b21(a0,b0)(焦点在 y 轴上); (3)抛物线:y22px,y22px,x22py,x22py(p0) 3圆锥曲线的重要性质 (1)椭圆、双曲线中 a,b,c 之间的关系 在椭圆中:a2b2c2;离心率为 ec a 1b 2 a2 在双曲线中:c2a2b2;离心率为 ec a 1b 2 a2 (2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标 双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的渐近线方程为 y b ax;焦点坐标 F1(c,0),F2(c,0) 双曲线y 2 a2 x2 b21(a0,b0)的渐近线方程为 y a bx,焦点坐标 F1(0,c),F2

    3、(0,c) (3)抛物线的焦点坐标与准线方程 抛物线 y22px(p0)的焦点 F? ? ? ? p 2,0 ,准线方程 x p 2 抛物线 x22py(p0)的焦点 F? ? ? ? 0,p 2 ,准线方程 yp 2 知识与技巧的梳理知识与技巧的梳理 考向预测考向预测 专题四专题四 第第 2 2 讲讲 椭圆、椭圆、抛物线、抛物线、双双曲线曲线 解析几何解析几何 4弦长问题 (1)直线与圆锥曲线相交的弦长 设而不求,利用根与系数的关系,进行整体代入即当斜率为 k,直线与圆锥曲线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)时, |AB| 1k2|x1x2|1k2(x1x2)24x1x2 (2)过抛物

    4、线焦点的弦长 抛物线 y22px(p0)过焦点 F 的弦 AB, 若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2p 2 4 ,y1y2p2,弦长|AB|x1x2p 热点一 圆锥曲线的几何性质 【例 1】 (2018 哈三中)如果双曲线的两个焦点分别为?1(?3,0)、?2(3,0),一条渐近线方程为? = 2?,那么经 过双曲线焦点且垂直于?轴的弦的长度为( ) A43 B23 C2 D1 解析解析 因为双曲线的两个焦点分别?1(?3,0),?2(3,0),条渐近线方程为? = 2?, ? 2 + ?2= 9 ? ? = 2 ,解得? = 3,? = 6, 双曲线的方程为? 2 3 ?

    5、?2 6 = 1, 由 ?2 3 ? ?2 6 = 1 ? = 3 ? ? = 23, 所以经过双曲线焦点且垂直于?轴的弦的长度为2 23 = 43 答案答案 A 探究提高 1分析圆锥曲线中 a,b,c,e 各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键 2确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围,其关键就是确立一个关于 a,b,c 的方程(组)或不等式(组),再根 据 a,b,c 的关系消掉 b 得到 a,c 的关系式建立关于 a,b,c 的方程(组)或不等式(组),要充分利用椭圆和 双曲线的几何性质、点的坐标的范围等 3求双曲线渐近线方程关键在于求b a或 a b的值,也可将双曲线等号右边的“1”变

    6、为“0”,然后因式分解得到 【训练 1】 (1)(2017 全国卷)已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2为 直径的圆与直线 bxay2ab0 相切,则 C 的离心率为( ) A 6 3 B 3 3 C 2 3 D1 3 (2)(2016 北京卷)双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA,OC 所在的直线,点 B 为该 双曲线的焦点,若正方形 OABC 的边长为 2,则 a_ 解析 (1)以线段 A1A2为直径的圆是 x2y2a2,直线 bxay2ab0 与圆相切, 热点热点题型题型 所以

    7、圆心(0,0)到直线的距离 d 2ab a2b2a,整理为 a 23b2,即b a 1 3 ec a a2b2 a 1? ? ? ? b a 2 1? ? ? ? 1 3 2 6 3 (2)取 B 为双曲线右焦点,如图所示 四边形 OABC 为正方形且边长为 2,c|OB|2 2,又AOB 4, b atan 41,即 ab又 a 2b2c28,a2 答案 (1)A (2)2 热点二 直线与圆锥曲线 【例 2】 (2018 江南十校)已知椭圆?: ?2 ?2 + ?2 ?2 = 1(? ? 0),?为其短轴的一个端点,?1,?2分别为其左右两 个焦点,已知三角形?1?2的面积为2,且cos?1

    8、?2= 1 3 (1)求椭圆?的方程; (2) 若动直线?:? = ? + ?(? 0,?2 2 3)与椭圆?交于?(?1,?1),?(?2,?2), ?为线段?的中点, 且?1 2 + ?2 2 = 3, 求|?| |?|的最大值 解(1)由cos?1?2= 2?2;4?2 2?2 = 1 3 ? ?2 ?2 = 1 3 ? ? 2 = 3?2,?2= 2?2, cos?1?2= 1 3 ? sin?1?2 = 22 3 , 结合?1?2= 1 2? 2 22 3 = 2 ? ?2= 3,? ?2= 2, 故椭圆?的方程为? 2 3 + ?2 2 = 1; 另解:依题意:?1?2= 1 2

    9、2? = ? = 2, cos?1?2= 2cos2 ?1?2 2 ? 1 = 1 3 ? ?2 ?2 = 2 3, 解得:?2= 3,?2= 2, 故椭圆?的方程为? 2 3 + ?2 2 = 1; (2)联立 ? = ? + ? 2?2+ 3?2= 6 ? (3?2+ 2)?2+ 6? + 3?2? 6 = 0 ? ? = 24(3?2+ 2 ? ?2) 0 ? 3?2+ 2 ?2 且?1+ ?2= ;6? 3?2:2,?1?2 = 3?2;6 3?2:2; 依题意,?1 2 + ?2 2 = 3 ? (?1+ ?2)2? 2?1?2= 3 ? (?6?)2 (3?2+ 2)2 ? 6(?

    10、2? 2) 3?2+ 2 = 3 化简得:3?2+ 2 = 2?2(3?2 2) ; 设?(?0,?0),由2?1 2 + 3?1 2 = 6 2?2 2 + 3?2 2 = 6 ? 2(?12? ?22) = ?3(?12? ?22) ? ? = ?1;?2 ?1;?2 = 2?0 ;3?0 又?0= ?0+ ?, 解得:?(? 3? 2? , 1 ?) ? |?| 2 = 9?2:4 4?2 = 3?2;1 2?2 , |?|2= (1 + ?2)|?1? ?2|2 = (1 + ?2) 24(3?2:2;?2) (3?2:2)2 = 2(2?2:1) ?2 ? |?|2|?|2= (3

    11、? 1 ?2)(2 + 1 ?2) 25 4 |?| |?| 5 2 当且仅当3 ? 1 ?2 = 2 + 1 ?2,即? = 2时,|?| |?|的最大值为 5 2 探究提高 1判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可直接求解相应方程组得到交点坐标,也可利用消元后的 一元二次方程的判别式来确定; 2 弦长计算公式: 直线 AB 与圆锥曲线有两个交点 A(x1, y1), B(x2, y2), 则弦长|AB| 1k2 (x1x2)24x1x2, 其中 k 为弦 AB 所在直线的斜率 3对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,在使用根与系数的关系时,要注意使用条 件 0,在用“点差法”

    12、时,要检验直线与圆锥曲线是否相交 【训练 2】 (2017 北京卷)已知抛物线 C:y22px 过点 P(1,1),过点? ? ? ? 0,1 2 作直线 l 与抛物线 C 交于不同的 两点 M,N,过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP,ON 交于点 A,B,其中 O 为原点 (1)求抛物线 C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)求证:A 为线段 BM 的中点 解 (1)把 P(1,1)代入 y22px,得 p1 2,所以抛物线 C 的方程为 y 2x, 焦点坐标为? ? ? ? 1 4,0 ,准线方程为 x 1 4 (2)证明 当直线 MN 斜率不存在或斜率为零时,显然与抛物线

    13、只有一个交点不满足题意,所以直线 MN(也就 是直线 l)斜率存在且不为零 由题意,设直线 l 的方程为 ykx1 2(k0),l 与抛物线 C 的交点为 M(x1,y1),N(x2,y2) 由 ? ? ? ? ?ykx1 2, y2x, 消去 y 得 4k2x2(4k4)x10 考虑 (4k4)244k216(12k), 由题可知有两交点,所以判别式大于零,所以 k 0 , ? 0)的离心率为2,则点(4,0)到?的渐近线的距 离为( ) A2 B2 C32 2 D22 【解题思路】由离心率计算出? ?,得到渐近线方程,再由点到直线距离公式计算即可 【答案】 e = ? ? = 1 + (?

    14、 ?) 2 = 2, ? ? = 1, 所以双曲线的渐近线方程为x y = 0, 所以点(4,0)到渐近线的距离d = 4 1:1 = 22,故选 D 3 (2018 全国 II 卷)已知?1,?2是椭圆?的两个焦点,?是?上的一点,若?1 ?2,且?2?1= 60,则?的 离心率为( ) A1 ? 3 2 B2 ? 3 C3;1 2 D3 ? 1 【解题思路】设|?2| = ?,则根据平面几何知识可求|?1?2|,|?1|,再结合椭圆定义可求离心率 【答案】在?1?2中,?1?2= 90,?2?1= 60 设|?2| = ?,则2? = |?1?2| = 2?,|?1| = 3?, 又由椭圆

    15、定义可知2? = |?1| + |?2| = (3 + 1)? 则离心率? = ? ? = 2? 2? = 2? (3:1)? = 3 ? 1, 故选 D 4(2018 全国 I 卷)设抛物线 2 :2C yx?,点?2,0A,?2,0B ?,过点A的直线l与C交于M,N两点 (1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程; 经典常规题 限时训练限时训练 (45 分钟) (2)证明:ABMABN? 【解题思路】(1)首先根据l与x轴垂直,且过点?2 0A,求得直线 l 的方程为 x=1,代入抛物线方程求得点 M 的坐标为?2,2或?2, 2?,利用两点式求得直线BM的方程; (2)分直线 l 与 x

    16、 轴垂直、l 与 x 轴不垂直两种情况证明,特殊情况比较简单,也比较直观,对于一般情况将角 相等通过直线的斜率的关系来体现,从而证得结果 【答案】 (1)当 l 与 x 轴垂直时,l 的方程为 x=2,可得 M 的坐标为(2,2)或(2,2) 所以直线 BM 的方程为 1 1 2 yx?或 1 1 2 yx? ? (2)当 l 与 x 轴垂直时,AB 为 MN 的垂直平分线,所以ABMABN? 当 l 与 x 轴不垂直时,设 l 的方程为?20yk xk?,M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则 x10,x20 由 ? 2 2 2 yk x yx ? ? ? ? ? ? 得 2 240kyyk?,可知 12 2 yy k ?, 12 4y y ? 直线 BM,BN 的斜率之和为 ? ? 2 11212 12 1212 2 2222 BMBN x yx yyyyy kk xxxx ? ? ? 将 1 1 2 y x k ?, 2 2 2 y x k ?及 y1+y2,y1y2的表达式代入式分

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