选修2-1学霸必刷题 空间向量与立体几何(解答题).docx
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1、 1 空间向量与立体几何(解答题) 一、解答题一、解答题 1 (辽宁省多校联盟 2019-2020 学年高一下学期数学期末试题)如图,直四棱柱的底面 为直角梯形,分别为棱, 的中点 (1)在图中作出平面与该棱柱的截面图形,并用阴影部分表示(不必写出作图过程); (2)为棱的中点,求异面直线与所成角的余弦值 【答案】(1)答案见解析;(2) 【解析】(1)取中点,连结, 则四边形是平面与该棱柱的截面图形 (2)直四棱柱的底面为直角梯形, ,分别为棱,的中点, 以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系, 则, 1111 ABCDABC D ABCD/AB CD90BAD 2AACD 1 1A
2、BADEF 1 BB 1 CC 1 AFF HCD 1 D H EF 10 10 11 C D G 1 AG EG 1 AEFG 1 AEF 1111 ABCDABC D ABCD/AB CD90BAD 1 2AACD 1ABADEF 1 BB 1 CC DDA x DC y 1 DDz 1 0,0,2D0,1,0H1,1,1E0,2,1F 1 0,1, 2HD1,1,0EF 2 设异面直线与所成角为, 则异面直线与所成角的余弦值为 2(陕西省商洛市洛南中学 2020-2021 学年高三上学期第一次模拟数学(理)如图,在正方体 中,E 为的中点 (1)求证:平面; (2)求直线与平面所成角的正
3、弦值 【答案】(1)证明见解析;(2) 【解析】(1)如下图所示: 在正方体中,且,且, 且,所以,四边形为平行四边形,则, 平面,平面,平面; (2)以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标 系, 1 D H EF 1 1 110 cos 1052 D H EF D HEF 1 D H EF 10 10 1111 ABCDABC D 1 BB 1/ / BC 1 ADE 1 AA 1 ADE 2 3 1111 ABCDABC D 11 /AB AB 11 ABAB 1111 /ABC D 1111 ABC D 11 /AB C D 11 ABC D 11 ABC D
4、11 /BCAD 1 BC 1 ADE 1 AD 1 ADE 1/ BC 1 ADE AADAB 1 AAx y z Axyz 3 设正 方体的棱长 为,则、, , 设平面的法向量为,由,得, 令,则,则, 因此,直线与平面所成角的正弦值为 3(江苏省南京大学附属中学 2020-2021 学年高三上学期第一次阶段检测)如图,四棱锥 SABCD 的底 面是正方形,SD平面 ABCD, 点 E 是上的点,且. (1)求证:对任意的,都有 (2)设二面角 CAED 的大小为,直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为,若,求的 值 【答案】(1)证明见解析;(2) 【解析】(1)以 D 为原点,的方向
5、分别作为 x,y,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐 标系, 1111 ABCDABC D 20,0,0A 1 0,0,2A 1 2,0,2D0,2,1E 1 2,0,2AD 0,2,1AE 1 ADE, ,nx y z 1 0 0 n AD n AE 220 20 xz yz 2z 2x 1y 2,1, 2n 1 1 1 42 cos, 3 23 n AA n AA nAA 1 AA 1 ADE 2 3 2SDa2ADaSD (02)DEa (0,2 ACBE sincos 2 ,DA DC DS 4 则, , 即; (2)由(1)得 设平面 ACE 的法向量为,则由得 ,即,取,得 易
6、知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为与 ,即 由于,解得,即为所求 4(山东省 2021 届高三开学质量检测) 如图, 在几何体 中,底面, ,设点在棱上, 已知平面 (1)求线段的长度; (0,0,0), ( 2 ,0,0), ( 2 , 2 ,0),(0, 2 ,0),(0,0,)DAaBaaCaEa (2 ,2 ,0),(2 ,2 ,)ACaaBEaaa 22 2200AC BEaaa ACBE ( 2 ,0,),(0,2 ,),(2 ,2 ,)EAaa ECaa BEaaa ( , , )nx y z,nEA nEC 0 0 n EA n EC 20 20 xz yz 2z (
7、 , ,2)n 0,0,2DSa 0, 2 ,0DCa 22 sin,cos 422 DC n DS BE DSBEDCn sincos 2 22 2 422 (0,2 2 ABCDEFGHHD ABCD/HD FB /AB DCADDC1AB 2DC 45BCD2HD 1FB MDC AM FBDH DM 5 (2)求二面角的余弦值 【答案】(1)1;(2) 【解析】以为坐标原点,射线为轴的正半轴, 建立如图所示的空间直角坐标系, 由,易知 则, (1)设,因为平面,所以, ,解得, 所以线段的长度为 1 (2)设是平面的一个法向量, 则,可取, 同理,设是平面的一个法向量, 则,可取 则,
8、显然二面角为锐二面角, 所以二面角的余弦值为 5(重庆市南开中学 2020 届高三下学期第九次教学质量检测数学(理)如图,直三棱柱 111 ABCABC 中,90BAC,ABAC,D、E分别为 1 AA、 1 BC的中点 HAMF 3 3 D ,DADC DH, , ,x y z Dxyz /AB DCADDC1AB 2DC 45BCD1AD 1,0,0A1,1,0B0,2,0C0,0,0D0,0,2H1,1,1F 0, ,0MtAM FBDHAMBD 1, ,0AMt 1, 1,0BD 10AM BDt 1t DM 1 , ,nx y zHAM1,0,2AH 1,0,1MF 1 1 00 2
9、00 xynAM xznAH 1 2,2,1n 2 , ,nu v wAMF 2 2 00 00 uvnAM uwnMF 2 1,1, 1n 12 12 12 3 cos, 3 n n n n n n HAMF HAMF 3 3 6 (1)DE 平面 11 BCC B; (2)若直线 1 BC与 1 AA所成的角为45,求二面角BDCE的正弦值 【答案】(1)证明见解析;(2) 3 2 【解析】(1)取BC中点F,连接AF、EF, ABAC,F为BC的中点,AFBC, 在直三棱柱 111 ABCABC中, 1 BB 平面ABC,AF 平面ABC, 1 BBAF, 1 BBBCB, AF平面 1
10、1 BCC B E、F分别为 1 BC、BC中点, 1 1 2 EFBB, 1 /EF BB, DQ为 1 AA中点, 1 1 2 ADBB, 1 /ADBB, /AD EF,ADEF, 四边形ADEF为平行四边形, /AF DE,所以DE 平面 11 BCC B; (2)设2ABAC, 11 /AA CC, 11 BCC为异面直线 1 BC、 1 AA所成的角, 11 45BCC, 111 2 2CCBC, 以A为坐标原点, 以AB、AC、 1 AA所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系Axyz , 则0,0,0A,2,0,0B,0,2,0C,1,1,0F,0,0,2D, 1
11、,1,2E , 7 2,2,0BC , 2,0, 2BD , 1, 1, 2CE ,1,1,0DEAF, 设平面BCD的法向量为, ,mx y z,由 0 0 m BC m BD ,可得 220 220 xy xz , 令1x ,则1y , 2z ,所以,平面BCD的一个法向量1,1, 2m , 设平面CDE的法向量为, ,na b c,由 0 0 n CE n DE ,可得 20 0 abc ab , 令1a,则1b, 2c ,所以,平面CDE的法向量为1,1, 2n , 设二面角BDCE的大小为, 21 cos 2 22 mn m n , 所以 2 3 sin1 cos 2 6 (重庆市第
12、八中学 2020 届高三下学期第五次月考数学 (理) ) 如图, 在四棱锥PABCD中, 底面 ABCD 为正方形,AP 平面 CDP,已知2APDP,Q 为线段 DP 的中点 (1)求证:/BP平面 ACQ; (2)求二面角CBQP的平面角的余弦值 【答案】(1)证明见解析 (2) 5 51 51 【解析】(1)连结BD交AC于点O,连结OQ ABCD 为正方形,则O为BD的中点,又Q为DP中点 所以 / /OQBP,BP 面ACQ,OQ 面ACQ,所以 /BP面ACQ (2)AP 平面 CDP,CD 面CDP,则APCD 又 ABCD 为正方形,所以ADCD,且ADAPA 所以CD面ADP
13、, 由CD 面 ABCD所以面ADP 面 ABCD 过P作PHAD交AD于H点,则PH 面 ABCD 2APDP,则2 2AD 取BC的中点为N, 8 以H为原点, HA为x轴,HN为轴y,HP为z轴建立空间直角坐标系 则 22 0,0, 2 ,0,2,2 2,0 22 PQB ,2 2 2,0C, 设面BPQ的法向量为 1111 ,nx y z, 3 22 , 2 2, 22 BQ , 22 ,0, 22 QP 所以 1 1 0 0 n BQ n QP ,即 111 11 3 22 2 20 22 22 0 22 xyz xz ,取 1 1,1,1n , 设面CBQ的法向量为 2222 ,n
14、xy z, 3 22 , 2 2, 22 BQ ,2 2,0,0BC , 所以 2 2 0 0 nBQ nBC ,即 222 2 3 22 2 20 22 2 20 xyz x ,取 2 0,1,4n , 所以 12 12 12 55 51 cos, 51173 n n n n nn , 所以二面角CBQP的平面角的余弦值 5 51 51 . 7 (辽宁省辽阳市辽阳县集美中学 2020-2021 学年高二上学期第一次月考) 在直线三棱柱 111 ABCABC中, 1 90 ,1BACABACAA,延长 11 AC至点P,使 11 1 CPAC,连接AP交棱 1 CC于点D以 1 A为 坐标原点
15、建立空间直角坐标系,如图所示 9 (1)写出 1 A、B、 1 B、C、D、P的坐标; (2)求异面直线 1 AB与 1 PB所成角的余弦值 【答案】(1) 11 1 0,0,0 ,1,0,1 ,1,0,0 ,0,1,1 ,0,1,0,2,0 2 ABBCDP ;(2) 10 10 【解析】(1) 11 1 0,0,0 ,1,0,1 ,1,0,0 ,0,1,1 ,0,1,0,2,0 2 ABBCDP (2) 11 1,0,1 ,1, 2,0ABPB, , 异面直线 1 AB与 1 PB所成角的余弦值为 10 10 . 8(江苏省镇江市扬中市第二高级中学 2020-2021 学年高三上学期初检测
16、)如图,已知四棱锥PABCD 的底面是菱形,对角线AC,BD交于点O,8OA,6OB,8OP ,OP 底面ABCD,设点M满 足(01)PMMC (1)若 1 3 ,求二面角MAB C的大小; (2)若直线PA与平面BDM所成角的正弦值 10 10 ,求的值 【答案】(1) 4 (2) 1 2 10 【解析】(1)以 O 为坐标原点,建立坐标系OABP,则 (8,0,0)A ,(0,6,0)B,( 8,0,0)C ,(0, 6,0)D,(0,0,8)P, 所以( 8,6,0)AB , 1 3 PMMC,设, ,M x y z, 则 1 , ,88, 3 x y zxyz ,2,0,6M,所以2
17、6 6BM , , 易知平面ABC的一个法向量 1=(0,0,1) n,设平面MAB的一个法向量为 2 , ,nx y z, 则 860 2660 xy xyz , 3 4 5 x y z ,所以 2 3,4,5n , 12 12 12 52 cos 21 5 2 n n n n n n , , 由图形可得,二面角MAB C为锐角,所以二面角MAB C的大小为 4 (2)808 ,012 0PADB, , 1 3 PMMC,设, ,M x y z, 则, ,88,x y zxyz , 88 ,0, 11 M , 所以 88 , 6, 11 BM ,设平面BDM的一个法向量, ,nx y z,
18、则 88 60 11 120 xyz y ,令z,则1,0, 4 n , 2 8 2188PAnPA n, 因为直线PA与平面BDM所成角的正弦值 10 10 , 则 22 88101 cos, 10 8 2122 PA n PA n= PA n , 2 2520,解得: 1 2 2或,01Q, 1 2 11 9(辽宁省辽阳市辽阳县集美中学 2020-2021 学年高二上学期第一次月考)已知空间中三点( 2,0,2)A , ( 1,1,2)B ,( 3,0,4)C ,设a AB ,b AC (1)求向量a与向量b的夹角的余弦值; (2)若ka b 与 2kab 互相垂直,求实数k的值 【答案】
19、(1) 10 10 ;(2) 5 2 k 或2k 【解析】(1)1,1,0aAB,1,0,2bAC , 设a与b的夹角为, 110 cos 1010 | a b a b ; (2)1, ,2kabkk,22, , 4kabkk且2kabkab, 2 (1)(2)80kkk ,即: 5 2 k 或2k 10(河北省邯郸市大名县第一中学 2020-2021 学年高二上学期 9 月月考)如图,在四棱锥PABCD中, PD 底面ABCD,/AD BC,90ABC,45BCD,2BCAD (1)求证:BDPC; (2)若PCBC,求平面PAD和平面PBC所成的角(锐角)的余弦值 【答案】(1)证明见解析
20、;(2) 6 3 【解析】(1)取BC的中点E,连接DE,因为2BCAD,所以ADBE, 12 又/AD BC,所以四边形ABED是平行四边形 因为90ABC所以四边形ABED是矩形所以DEBC 又45BCD,所以 1 2 DECEBC 所以BCD是直角三角形,即BDCD 又PD 底面ABCD,BD 底面ABCD,所以BDPD 又CD 平面PCD,CD 平面PCD,且PDCDD 所以BD 平面PCD又PC 平面PCD,所以BDPC (2)如图,以D为坐标原点,分别以DB,DC,DP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系 Dxyz ,设1AD ,则2BC ,由(1)知1DE , 2DC ,
21、 2DB PCBC又,所以 2PD 所以 22 ( 2,0,0),(0, 2,0), (0,0, 2),0 22 BCPE 所以(2, 2,0),BC (0, 2,2)PC 设平面PBC的法向量为, ,nx y z,则 nBC nPC , 所以 0 0 n BC n PE ,即 220 220 xy yz ,取1x ,则 1y , 1z , 所以平面PBC的一个法向量为1,1,1n 又平面PAD的一个法向量为 22 ,0 22 mDE 13 所以 26 cos, 3|3 1 m n m n m n . 所以平面PAD和平面PBC所成的角(锐角)的余弦值为 6 3 11(安徽省合肥市庐江县 20
22、19-2020 学年高二下学期期末数学(理)如图,AE平面ABCD, ,CFAEADBC ,,1,2ADABABADAEBC (1)求证:BF平面ADE; (2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值; (3)若二面角EBDF的余弦值为 1 3 ,求线段CF的长 【答案】(1)见证明;(2) 4 9 (3) 8 7 【解析】依题意,可以建立以 A 为原点,分别以,AB AD AE的方向为 x 轴,y 轴,z 轴正方向的空间直角 坐标系(如图), 可得0,0,0 ,1,0,0 ,1,2,0 ,0,1,0 ,0,0,2ABCDE 设0CFh h,则1,2,Fh (1)依题意,1,0,0AB 是平面
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