空间向量与立体几何（选择题、填空题）.docx

1、 1 空间向量与立体几何（选择题、填空题） 一、单选题一、单选题 1 （2020 江西省新余期末质量检测）在空间直角坐标系中，已知 P(1，0，3)，Q(2，4，3)，则线段 PQ 的 长度为( ) A10 B5 C29 D34 【答案】B 【解析】由题得 222 (3,4,0),3405PQPQ，所以线段 PQ 的长度为 5 故答案为 B 2 （江西省赣州市赣县第三中学 2020- 2021 学年高二 8 月入学考试）已知点( ,1,2)A x和点(2,3,4)B，且 2 6AB ，则实数x的值是（ ） A6或2 B6或2 C3或4 D3或4 【答案】A 【解析】 222 21 3242 6

2、ABx ， 2 216x，解得：2x或6x故选 A 3 （黑 龙江省哈尔 滨师范 大学青冈实 验中学 校 2020- 2021 学年高二上 学期开学考 试 ）已 知 (3,1),( 2, 5)ab ，则3 2ab（ ） A(2,7) B(13, 7) C(2, 7) D(13,13) 【答案】B 【解析】因为3125ab ， 所以323(3,1)2( 2,5)(9,3)( 4,10)(13, 7)ab 故选 B 4 （江西省新余一中、宜春一中 2021 届高二联考）如图所示，在正方体 1111 ABCDABC D中，O是底面 正方形ABCD的中心，M是 1 DD的中点，N是 11 AB的中点，

3、则直线NO，AM的位置关系是（ ） 2 A平行 B相交 C异面垂直 D异面不垂直 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，写出NO与AM的坐标，即可判断位置关系 【解析】 建立空间直角坐标系， 如图所示 设正方体的棱长为2， 则( 2 , 0 , 0 )A，(0,0,1)M，(1,1,0)O，(2,1,2)N， ( 1,0, 2)NO ，( 2,0,1)AM 0NO AM ，直线NO，AM的位置关系是异面垂直 故 选: C 5 （辽宁省辽阳市辽阳县集美中学 2020- 2021 学年高二上学期第一次月考）已知空间向量3,1,3m， 1, , 1n ，且/mn，则实数（ ） A 1 3 B- 3

4、 C 1 3 D6 【答案】A 【解析】因为/mn，所以,mnR，即：3,1,3m,n ， 所以3,1 ，解得 1 3 故选 A 3 6 （辽宁省辽阳市辽阳县集美中学 2020- 2021 学年高二上学期第一次月考）已知空间四边形ABCD的每条 边和对角线的长都等于a，点,E F分别是,BC AD的中点，则AE AF 的值为（ ） A 2 a B 2 1 2 a C 2 1 4 a D 2 3 4 a 【答案】C 【分析】由题意可得 11 () 22 ABACAE AFAD，再利用两个向量的数量积的定义求得结果 【解析】 11 () 22 ABACAE AFAD 1 () 4 AB ADAC

5、AD 222 11 cos60cos60 44 aaa ，故选 C. 7 （辽宁省辽阳市辽阳县集美中学 2020- 2021 学年高二上学期第一次月考）已知 M，N 分别是四面体 OABC 的棱 OA， BC 的中点， 点 P 在线段 MN 上， 且2MPPN， 设向量OA a ，OB b ，OC c 则OP （ ） A 111 666 abc B 111 333 abc C 111 633 abc D 111 366 abc 【答案】C 【分析】连接 ON，先求出 21 33 OPONOM，再进一步化简即得解 【解析】如图所示，连接 ON，OP ONNP ， 1 () 2 ONOBOC ，

6、4 所以 1 3 NPNM，NM OMON ， 1 2 OMOA， 1 3 OPONNPONNM 121 () 333 ONOMONONOM 21 () 32 OBOC 11 32 OA 111 633 OAOBOC 111 633 abc故选 C 8 （辽宁省辽阳市辽阳县集美中学 2020- 2021 学年高二上学期第一次月考）若两条不重合直线 1 l和 2 l的方向 向量分别为 1 1,0, 1-， 2 2,0,2 ，则 1 l和 2 l的位置关系是（ ） A平行 B相交 C垂直 D不确定 【答案】A 【解析】因为两条不重合直线 1 l和 2 l的方向向量分别为 1 1,0, 1-， 2

7、2,0,2 ， 所以 21 2v，即 2 与 1 v共线，所以两条不重合直线 1 l和 2 l的位置关系是平行，故选 A 9 （安徽省六安市舒城中学 2020- 2021 学年高二上学期开学考试数学（文）试题）如图，四个棱长为1的正 方 体 排 成 一 个 正 四 棱 柱 ，AB是 一 条 侧 棱 ，1,2,8 i P i 是 上 底 面 上 其 余 的 八 个 点 ， 则 1,2,8 i AB AP i的不同值的个数为（ ） A8 B4 C2 D1 【答案】D 【分析】根据平面向量运算法则可知 2 ii AB APABAB BP ，由线面垂直性质可知0 i AB BP，从而 得到 2 1 i

8、 AB APAB，进而得到结果 【 解 析 】 2 iii A BA PA BA BB PA BA B B P，AB Q平 面 286 B P P P， i ABBP， 0 i AB BP， 2 1 i AB APAB， 5 则1,2,8 i AB AP i的不同值的个数为1个，故选D. 10 （辽宁省辽阳市辽阳县集美中学 2020- 2021 学年高二上学期第一次月考）一个向量p在基底, ,a b c下 的坐标为1,2,3，则p在基底 ,ab ab c下的坐标为（ ） A 3 1 3 2 2 ， B 31 3 22 ， C 13 3 22 ， D 1 3 3 2 2 ， 【答案】B 【分析】

9、 根据题中条件， 由a，b，c表示出向量p， 然后设p在基底,ab ab c下的坐标为, ,x y z， 求解x，y，z即可 【解析】因为向量p在基底, ,a b c下的坐标为1,2,3，所以23pabc， 设p在基底,ab ab c下的坐标为, ,x y z， 所以()px aby abzcxy axy bzc， 有 1 3 2 2 3 xy xyx z ， 1 2 y =-， 3z ，p在基底 ,ab ab c下的坐标为 31 ,3 22 故选 B 11 （辽宁省辽阳市辽阳县集美中学 2020- 2021 学年高二上学期第一次月考）点 P(1，2，3）关于 xOy 平面 的对称点的坐标为（

10、 ） A(1，2，3) B(1，2，3) C(1，2，3) D(1，2，3) 【答案】D 【分析】关于 xOy 平面对称的点的 , x y坐标不变，只有z坐标相反 【解析】点 P(1，2，3）关于 xOy 平面的对称点的坐标为(1,2,)3故选 D 12 （辽宁省辽阳市辽阳县集美中学 2020- 2021 学年高二上学期第一次月考）若向量(2,0, 1)a ，向量 (0,1, 2)b ，则2ab（ ） A( 4,1,0) B( 4,1, 4) 6 C(4, 1,0) D(4, 1, 4) 【答案】C 【分析】根据题意求出2(4,0, 2)a ，再根据向量的减法坐标运算，由此即可求出结果 【解析

11、】因为向量(2,0, 1)a ，向量(0,1, 2)b ，则2(4,0, 2)a ， 则2(4,0, 2)(0,1, 2)(4, 1,0)ab rr ，故选 C 13（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学 2020- 2021 学年高二上学期第一次月考） 已知正方体 1111 ABCDABC D， 点E是上底面 11 AC的中心，若 1 AEAAxAByAD，则x y 等于（ ） A 1 3 B 1 2 C1 D2 【答案】C 【解析】如图， 1111111 1 2 AEAAAEAAABAD 11 111 222 AAABADAAABAD，所以 1 2 xy，所以1xy故选 C 14（江苏省南京市秦淮区

12、2019- 2020学年高一下学期期末） 空间直角坐标系O xyz中， 已知两点 1 1, 2,1P， 2 2,1,3P ，则这两点间的距离为（ ） A 21 B 22 C3 2 D18 【答案】B 【解析】根据题意，两点 1 1, 2,1P， 2 2,1,3P ， 7 则 2 22 12 |2 1123 199422PP ；故选B 15 （湖北省恩施高中 2020 届高三下学期四月决战新高考名校交流卷 （B） ） 已知向量1,2a r ，3,bx r ， 1,1cy r ，且 /a b rr ，b c ，则x y 的值为（ ） A6 B 3 2 C9 D 13 2 【答案】C 【解析】 /a

13、 b rr ，60 x，6x，向量3,6b ， b c ，3610y ， 3 2 y ，9x y故选 C 16 （四川省绵阳市 2019- 2020 学年高二下学期期末教学质量测试数学（理）试题）在空间直角坐标系中， 若1,1,0A， 1 3,0,1 2 AB ，则点B的坐标为（ ） A5,1, 2 B7,1, 2 C3,0,1 D7,1,2 【答案】D 【分析】首先设出点( , , )B x y z，利用向量坐标公式以及向量相等的条件得到等量关系式，求得结果 【解析】设( , , )B x y z，所以(1,1, )2(3,0,1)(6,0,2)ABxyz， 所以 16 10 2 x y z

14、 ，所以 7 1 2 x y z ，所以点B的坐标为(7,1,2)，故选 D 17（广东省云浮市 2019- 2020 学年高二上学期期末） 如图， 在三棱锥P ABC中， 点D，E，F分别是AB， PA，CD的中点，设PA a ，PB b ，PC c ，则EF （ ） 8 A 111 442 abc B 111 442 abc C 111 442 abc D 111 442 abc 【答案】D 【解析】点D，E，F分别是AB，PA，CD的中点，且PA a ，PB b ，PC c ， 1111 2224 EFEPPCCFPAPCCDPAPCCACB 11111 24442 PAPCPAPCPB

15、PCPAPBPC 111 442 abc 故选 D 18 （湖北省武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟 2020- 2021 学年高三上学期起点联考）如图，直四棱柱 1111 ABCDABC D的底面是菱形， 1 2AAAB，60BAD， M 是 1 BB的中点， 则异面直线 1 AM与 1 BC 所成角的余弦值为（ ） A 10 5 B 1 5 C 1 5 D 10 5 【答案】D 【分析】用向量 1 ,AB BC BB分别表示 11 ,AM BC，利用向量的夹角公式即可求解 【解析】由题意可得 22 111111111 1 ,5, 2 AMABBMABBBAMABBM 9 22 1111 ,2

16、 2BCBCBB BCBCBB ， 2 11 1 11 11 11 1 1 2 2 cos, 2 102 10 ABBBBCBB AB BCBB AM BC AM BC AM BC 0 1 2 2 cos604 10 2 . 52 10 故选 D 19（河北省石家庄市第二中学2020- 2021学年高二上学期8月线上考试 （二） ） 长方体 1111 ABCDABC D中， 1 1,2,ABADAAE为棱 1 AA的中点，则直线 1 C E与平面 11 CB D所成角的余弦值为（ ） A 6 9 B 5 3 9 C 5 3 D 2 3 【答案】A 【解析】根据题意，建立如图所示直角坐标系： 则

17、 1 C E (1, 1, 1) ，设平面 11 B DC的法向量为n( , , )x y z， 则 1 0 0 n B D n BC 可得： 0 20 xy xz ，取n(2, 2, 1)， 则 1 ,cos n C E = 1 1 n C E n C E 55 3 93 3 ，设直线 1 C E与平面 11 B DC的夹角为， 则 5 3 9 sin， 2 6 1 sin 9 cos故选 A 10 20 （ 山 东 省 滕 州 市 第 一 中 学 2020- 2021 学 年 高 二 9 月 开 学 收 心 考 试 ） 设, x yR， 向 量 , 1, 1 ,1, 1 ,2,4, 2 ,

18、axbyc且,/ /ac bc，则a b（ ） A2 2 B 10 C3 D4 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求得参数 , x y，再求向量模长即可 【解析】/ ,24 1,2,1, 21bcyyb ， ,1210,1aba bxx ， 1,112, 1,2aab ， 2 22 2123ab ，故选C 21 （辽宁省辽阳市辽阳县集美中学 2020- 2021 学年高二上学期第一次月考）已知点1,1,Att t， 2, ,Bt t，则A，B两点的距离的最小值为 A 3 10 10 B 5 5 C 3 5 5 D 3 5 【答案】C 【分析】由两点之间的距离公式求得 AB 之间的

19、距离用 t 表示出来，建立关于 t 的函数，转化为求函数的最 小值 【解析】因为点1,1,Att t，2, ,Bt t， 所以 2 2222 (1)(21)()522ABtttttt， 有二次函数易知，当 1 5 t 时，取得最小值为 9 5 ，AB的最小值为 3 5 5 ，故选 C 22 （江西省宜春市 2016- 2017 学年高二上学期期末统考理）如图所示，在空间四边形OABC中， OA a OBb OCc ， ，点M在OA上，且2,OMMA N uuuruuu r 为BC中点，则MN （ ） 11 A 121 232 abc B 211 322 abc C 111 222 abc D

20、221 b 332 ac 【答案】B 【分析】由向量的加法和减法运算， 12 () 23 MNONOMOBOCOA，即得解 【解析】由向量的加法和减法运算： 12211 () 23322 MNONOMOBOCOAabc 故选 B 23 （湖南省邵阳市邵东县第十中学 2020 届高三下学期模拟考试数学（文）试题）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，M，N分别是棱AB， 1 BB的中点，点P在对角线 1 CA上运动当PMN的面 积取得最小值时，点P的位置是（ ） A线段 1 CA的三等分点，且靠近点 1 A B线段 1 CA的中点 C线段 1 CA的三等分点，且靠近点C D线段 1 C

21、A的四等分点，且靠近点C 【答案】B 【解析】设正方体的棱长为 1，以A 为原点， 1 ,AB AD AA分别为 , ,x y z轴，建立空间直角坐标系，如图所 示：则 1 ( ,0,0) 2 M， 1 (1,0, ) 2 N，MN的中点 31 ( ,0, ) 44 Q， 12 1(0,0,1) A，(1,1,0)C，则 1 (1,1, 1)AC ，设 ( , , )P t t z， (1,1,)PCttz， 由 1 AC与PC共线，可得 11 111 ttz ，所以1tz ，所以(1,1, )Pzz z，其中01z，因为 222 1 |(1)(10)(0) 2 PMzzz 2 5 33 4

22、zz， 222 1 |(11)(10)() 2 PNzzz 2 5 33 4 zz， 所以| |PMPN，所以PQMN，即|PQ是动点P到直线MN的距离， 由 空 间 两 点 间 的 距 离 公 式 可 得 222 31 |(1)(10)() 44 PQzzz 2 9 33 8 zz 2 13 3() 28 z，所以当 1 2 c 时，|PQ取得最小值 6 4 ， 此时P为线段 1 CA的中点， 由于 2 | 4 MN 为定值， 所以当PMN的面积取得最小值时，P为线段 1 CA的 中点故选 B 24 （陕西省商洛市商丹高新学校 2019- 2020 学年高二下学期 4 月学情质量检测数学（理

23、） ）如图，已知正方 体ABCDABCD ，点E是AC 的中点，点F是AE的三等分点，且 1 2 AFEF，则AF （ ） A 11 22 AAABAD B 111 222 AAABAD C 111 266 AAABAD D 111 366 AAABAD 【答案】D 【解析】点E是AC 的中点，点F是AE的三等分点，且 1 2 AFEF， 13 111111 () 333236 AFAEAAA EAAA CAAA C 11 () 36 AAA BA D 111 366 AAABAD，故选 D 25 （云南省梁河县第一中学 2019- 2020 学年高二 7 月月考数学（理）试题）长方体 111

24、1 ABCDABC D中， 1 2ABAA，1AD ，E为 1 CC的中点，则异面直线 1 BC与AE所成角的余弦值为（ ） A 10 10 B 30 10 C 2 15 10 D3 10 【答案】B 【分析】以点A为坐标原点，AB、AD、 1 AA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空 间向量法可求得异面直线 1 BC与AE所成角的余弦值 【解析】以点A为坐标原点，AB、AD、 1 AA所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐 标系Axyz， 则0,0,0A、2,0,0B、 1 2,1,2C、2,1,1E，2,1,1AE ， 1 0,1,2BC ， 1 1 1 33

25、0 cos, 1065 AE BC AE BC AEBC 因此，异面直线 1 BC与AE所成角的余弦值为 30 10 故选 B 26 （广西桂林市 2019- 2020 学年高二下学期期末质量检测数学（理）试题）在正方体 ABCD- -A1B1C1D1中， 14 E 是 C1C 的中点，则直线 BE 与平面 B1BD 所成角的正弦值为( ) A 10 5 B 10 5 C 15 5 D 15 5 【答案】B 【分析】以D为坐标原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以 1 DD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出直线BE与平面 1 B BD所成角的正弦值 【解析】以D为坐标原点，以DA为x

26、轴，以DC为y轴，以 1 DD为z轴，建立如图空间直角坐标系，设 正方体的棱长为 2，则0 0 0D， ，2 20B， ， 1 2 2 2B， ，0 21E， ， 22 0BD ， ， 1 0 0 2BB ， ， 2 01BE ， ， 设平面 1 B BD的法向量为 , ,xny z， n BD ， 1 nBB， 220 20 xy z ，令y1，则 110n ， ， 10 cos , 5 n BE n BE nBE ， 设直线BE与平面 1 B BD所成角为，则 10 sincos , 5 n BE，故选 B 27 （陕西省商洛市商丹高新学校 2020 届高三下学期考前适应性训练理科）如图在

27、平行六面体 1111 ABCDABC D中，底面ABCD是边长为 1 的正方形，侧棱 1 2AA 且 11 60AADAAB ，则 1 AC （ ） 15 A2 2 B 10 C2 3 D 14 【答案】B 【解析】因为底面ABCD是边长为 1 的正方形，侧棱 1 2AA 且 11 60AADAAB ， 则 2 =1AB ， 2 =1AD ， 2 1 =4AA，0AB AD uu u r uuu r ， 111 cos1AB AAABAAA AB， 111 cos1AD AAADAAA AD， 则 1 AC 1 ABADAA 2 1 =ABADAA 222 111 222ABADAAAB AA

28、AB ADAD AA 1 1 4202 10 ，故选 B 28 （2020 届上海市七宝中学高三高考押题卷）已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面 上运动，正方体的棱长是 2，则PM PN 的取值范围为（ ） A0,4 B0,2 C1,4 D1,2 【答案】B 【分析】 利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为2 1PO ， 根据正方体的特点可确定PO 的最大值和最小值，代入即可得到所求范围 【解析】设正方体内切球的球心为O，则1OMON， 2 PM PNPO OMPO ONPOPOOMONOM ON ， 16 MN为球O的直径， 0OMON ， 1OM ON ，2 1P

29、M PNPO ， 又P在正方体表面上移动，当P为正方体顶点时，PO 最大，最大值为3；当P为内切球与正方体的 切点时，PO 最小，最小值为1， 2 10,2PO ，即PM PN 的取值范围为0,2故选B 【点睛】本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量 模长的取值范围的求解问题 29 （湖北省荆门市 2019- 2020 学年高二下学期期末）在平行六面体ABCDABCD 中，若 2ACx AByBCzCC ，则x yz（ ） A 5 2 B2 C 3 2 D11 6 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算，得出ABBCACAC CCCC ，结合题

30、意，即可求出 1 1, 2 yz，从而得出xyz的值 【解析】由空间向量的线性运算，得ABBCACAC CCCC ， 由题可知， 2ACx AByBCzCC ，则1,1,21xyz，所以 1 1, 2 yz， 15 1 1 22 xyz 故选 A 30 （安徽省六校教育研究会 2020- 2021 学年高三上学期第一次素质测试理科）如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，已知 90ABC，P为侧棱 1 CC上任意一点，Q为棱AB上任意一点，PQ与AB所 成角为，PQ与平面ABC所成的角为，则与的大小关系为（ ） 17 A B C D不能确定 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系设,0,0,

31、 ,00,0,0P xzQyxyz，利用空间向量法分别求得 cos,cos，然后根据(0,0, 22 ，利用余弦函数的单调性求解 【解析】建立如图所示空间直角坐标系： 设,0,0, ,00,0,0P xzQyxyz，则,0,0QPxy zQBy， 所以 2222 ,QP QByQPxyzQBy， 所以 222 cos QP QB y QPQBxyz ， 又(0,0, 22 ， 222 sin QP CP z QPxyz ， 所以 22 222 cos xy xyz ，所以coscos， 因为 cosyx 在0, 2 上递减，所以，故选 C 18 31 （江西省赣州市赣县第三中学 2019- 2

32、020 学年高二 6 月份考试数学（理）试题）如图，在四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD为正方形，侧棱 1 AA 底面ABCD，3AB ， 1 4AA ，P是侧面 11 BCC B内的动点，且 1 APBD，记AP与平面 11 BCC B所成的角为，则tan的最大值为（ ） A 4 3 B 5 3 C2 D 25 9 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线面角的正切值的最大值 【解析】以 1 ,DA DC DD所在直线分别为 , ,x y z轴，建立空间直角坐标系， 设( ,3, )P xz，则 1 (3,3, ),( 3, 3,4)APxz BD ， 1

33、1 ,0APBDAP BD， 3 3(3)3 340, 4 xzzx ， 222 25 |(3)69 16 BPxzxx 2 2548819 1625255 x ， |5 tan |3 AB BP ，tan的最大值为 5 3 故选B 32 （江西省赣州市赣县第三中学 2019- 2020 学年高二 6 月份考试数学（理）试题）如图，在棱长都相等的 19 正三棱柱 111 ABCABC中，D是棱 1 CC的中点，E是棱 1 AA上的动点 设AE x， 随着x增大， 平面BDE 与底面ABC所成锐二面角的平面角是（ ） A增大 B先增大再减小 C减小 D先减小再增大 【答案】D 【解析】设正三棱柱

34、 111 ABCABC棱长为2，,02AExx， 设平面BDE与底面ABC所成锐二面角为， 以A为坐标原点，过点A在底面ABC内与AC垂直的直线为x轴， 1 ,AC AA所在的直线分别为 , y z轴建立空间直角坐标系， 则( 3,1,0),(0,2,1),(0,0, ),(3,1,1),(0,2,1)BDEx BDEDx ， 设平面BDE的法向量( , , )ms t k，则 mBD mED ， 即 30 2(1)0 stk tx k ，令2 3k ，则33,1txsx， 所以平面BDE的一个法向量(1, 33,2 3)mxx， 底面ABC的一个法向量为(0,0,1)n ， 22 2 2 3

35、3 cos|cos,| 115 (1)3(1)12 () 24 m n xx x 当 1 (0, ) 2 x，cos随着x增大而增大，则随着x的增大而减小， 当 1 ( ,2) 2 x，cos随着x增大而减小，则随着x的增大而增大故选 D 20 【点睛】本题考查空间向量法求二面角，应用函数思想讨论二面角的大小，考查直观想象、数学计算能力， 素养中档题 33 （山东省滕州市第一中学 2020- 2021 学年高二 9 月开学收心考试）已知空间直角坐标系Oxyz中， 1,2,3OA uuu r ，2,1,2OB uuu r ，1,1,2OP uu u r ，点Q在直线OP上运动，则当QA QB取得

36、最小值时，点Q 的坐标为（ ） A 1 3 1 , 2 4 3 B 1 3 3 , 2 2 4 C 4 4 8 , 3 3 3 D 4 4 7 , 3 3 3 【答案】C 【分析】 设 ( , , )Q x y z， 根据点Q在直线OP上， 求得( , ,2 )Q ， 再结合向量的数量积和二次函数的性质， 求得 4 3 时，QA QB取得最小值，即可求解 【解析】设 ( , , )Q x y z，由点Q在直线OP上，可得存在实数使得OQ OP， 即( , , )(1,1,2)x y z，可得( , ,2 )Q ， 所以(1,2,32 ),(2,1,22 )QAQB， 则 2 (1)(2)(2)

37、(1)(32 )(22 )2(385)QA QB， 根据二次函数的性质，可得当 4 3 时，取得最小值 2 3 ，此时 4 4 8 ( , ) 3 3 3 Q 故选 C 【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积 的运算公式，得关于的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力 21 34 （辽宁省辽阳市辽阳县集美中学 2020- 2021 学年高二上学期第一次月考）如图该几何体由半圆柱体与直 三棱柱构成，半圆柱体底面直径 BC4，ABAC，BAC90 ，D 为半圆弧的中点，若异面直线 BD 和 AB1所成角的余弦值为 2 3 ，则该几何体的体

38、积为（ ） A16+8 B32+16 C32+8 D16+16 【答案】A 【解析】设D在底面半圆上的射影为 1 D，连接 1 AD交BC于O，设 1111 ADBCO 依题意半圆柱体底面直径4,90BCABACBAC，D为半圆弧的中点， 所以 1111 ,ADBC ADBC且 1 ,O O分别是下底面、上底面半圆的圆心连接 1 OO， 则 1 OO与上下底面垂直，所以 11 ,OOOB OOOA OAOB， 以 1 ,OB OA OO为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为 0h h ，则 1 2,0,0 ,0, 2,0,2,0 ,2,0,BDhABh，所以 1 2, 2,2

39、, 2,BDhABh ， 由于异面直线BD和 1 AB所成的角的余弦值为 2 3 ， 所以 2 1 22 1 2 3 88 BD ABh BDABhh ，即 2 2 2 2 ,16,4 83 h hh h 所以几何体的体积为 2 11 244 2 4168 22 故选 A. 35 （安徽省阜阳市太和第一中学 2020- 2021 学年高二（平行班）上学期开学考试）在正方体 1111 ABCDA B C D中，直线 1 BC与平面 1 ABD所成角的余弦值为（ ） A 2 4 B 2 3 22 C 3 3 D 3 2 【答案】C 【分析】分别以 1 ,DA DC DD为 , ,x y z轴建立如

40、图所示空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法 向量后可得所求线面角的余弦值 【解析】分别以 1 ,DA DC DD为 , ,x y z轴建立如图所示空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 1，可得 11 0,0,0 ,1,1,0 ,0,1,1 ,1,0,1DBCA 11 1,0,1 ,1,0, 1 ,1, 1,0BCADBD ， 设, ,nx y z是平面 1 ABD的一个法向量， 1 0 0 n AD n BD ，即 0 0 xz xy ，取1x ，得1yz ， 平面 1 ABD的一个法向量为 1, 1, 1n r ，设直线 1 BC与平面 1 ABD所成角为， 1 1 1 26 sinc

41、os, 323 BC n BC n BC n ， 2 3 cos1sin 3 ，即直线 1 BC与平面 1 ABD所成角的余弦值是 3 3 ，故选 C. 【点睛】用向量法求二面角大小的两种方法： （1）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小 即为二面角的大小； （2）分别求出二面角的两个半平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角大小，解题时要注意 23 结合图形判断出所求的二面角是锐角还是钝角 36 （2020 届重庆市第一中学高三下学期 6 月模拟数学（理）试题）如图所示，在正方体 1111 ABCDABC D 中，点 P 是底面 1

42、111 DCBA内（含边界）的一点，且/AP平面 1 DBC，则异面直线 1 AP与 BD 所成角的取值 范围为（ ） A 3 , 44 B, 4 2 C , 3 2 D 2 , 33 【答案】C 【解析】过 A 作平面平面 1 DBC，点 P 是底面 1111 DCBA内（含边界）的一点，且/AP平面 1 DBC， 则P平面，即P在与平面 1111 DCBA的交线上，连接 111 ,AB AD B D， 11 DDBB ，则四边形 11 BDD B是平行四边形， 11 B DBD， 11 B D平面 1 DBC， 同理可证 1 AB平面 1 DBC，平面 11 AB D 平面 1 DBC，则

43、平面 11 AB D即为，点P在线段 11 B D上，以 D 为坐标原点， 1 ,DA DC DD建立如图坐标系，设正方体棱长为 1， 24 则0,0,0D，1,1,0B，1,0,0A，设, ,1P ，0,1， 1,1,0DB，1, ,1AP， 21DB AP ，2DB ， 2 222AP， 设 1 AP与 BD 所成角为，则 2 2 2 21211 cos 21 21 DB AP DBAP 22 1313 44 212 13 24 ，当 1 2 时，cos取得最小值为 0， 当0或 1 时，cos取得最大值为 1 2 ， 1 0cos 2 ，则 32 故选 C 37（重庆市第八中学 2020

44、 届高三下学期第五次月考数学 （理） 试题） 如图， 矩形 ABCD 中， 22 2ABAD ， E 为边 AB 的中点，将ADE沿直线 DE 翻折成 1 ADE在翻折过程中，直线 1 AC与平面 ABCD 所成角 的正弦值最大为（ ） A 102 4 B 6 6 C 51 4 D 5 5 【答案】A 【解析】分别取 DE，DC 的中点 O，F，则点 A 的轨迹是以 AF 为直径的圆， 以,OA OE为 , x y轴，过O与平面AOE垂直的直线为z轴建立坐标系， 则2,1,0C ，平面 ABCD 的其中一个法向量为n= (0，01)， 由 1 1AO ，设 1 cos ,0,sinA，则 1

45、cos2, 1,sinCA， 25 记直线 1 AC与平面 ABCD 所成角为，则 2 1 1 |sin|1 cos sin 4cos64cos6 | CA n CAn ， 设 31 53535102 cos,sin 22 24164444 t t t ， 所以直线 1 AC与平面 ABCD 所成角的正弦值最大为 102 4 ，故选 A 二、多选题二、多选题 38（江苏省南京市秦淮中学 2019- 2020 学年高二 （美术班） 上学期期末） 对于任意非零向量 111 ,ax y z， 222 ,bxy z，以下说法错误的有( ) A若ab，则 12121 2 0 x xy yz z B若 /

46、a b rr ，则 111 222 xyz xyz C 12121 2 222222 111222 cos, x xy yz z xyz a z b xy D若 111 1xyz，则a为单位向量 【答案】BD 【解析】对于 A 选项，因为ab，则 1 2121 2 0a bx xy yz z ，A 选项正确； 对于 B 选项，若 2 0 x ，且 2 0y ， 2 0z ，若 /a b rr ，但分式 1 2 x x 无意义，B 选项错误； 对于 C 选项， 由空间向量数量积的坐标运算可知 12121 2 222222 111222 cos, x xy yz z xyz a z b xy ， C 选项正确； 对于 D 选项，若 111 1xyz，则 222 1113a ，此时，a不是单位向量，D 选项错误故选 BD 39 （2020 届百师联盟高三开学摸底大联考山东卷）下面四个结论正确的是（ ） A向量, 0,0a b ab，若a b，则0a b B若空间四个点P，A，B，C， 13 44 PCPAPB，则A，B，C三点共线 26 C已知向量