2021届广东省珠海市高三上学期摸底考试数学试题及解析.doc

1、 理科数学试题 第 1 页 共 4 页 珠海市珠海市 20202020- -20212021 学年度第一学期高三学年度第一学期高三 摸底测试 数学 2020.9 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1设集合 2 |4Ax x， 2 |30Bx xx，则AB A( 5, 2)(2,6) B( 2,2) C(, 5)(6,) D(, 2)(2,) 2 2 7 (1) i i A1 B2 Ci D2i 38 名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生 a 不能去甲医院，则不同

2、的选派方式共有 A280 种 B350 种 C70 种 D80 种 4一球O内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形ABC，过C作与球O相切的平面，则直线AC与平面 所成的角为 A30 B45 C15 D60 5现有 8 位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知 5 人会拉小提琴，5 人会吹长笛， 现从这 8 人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是 A 1 4 B 1 2 C 3 8 D 5 8 6若定义在R上的奇函数 f(x)在(0,)单调递增，且( 5)0f ，则满足0)(xf x 的解集是 A(, 5)(5,) B(, 5)(0,5) C( 5,0)(5

3、,) D( 5,0)(0,5) 7已知 P 是边长为 1 的正方形 ABCD 边上或正方形内的一点，则AP BP的最大值是 A 1 4 B2 C1 D 1 2 8直线: l ykxb是曲线( )ln(1)f xx和曲线 2 ( )ln()g xe x的公切线，则b 理科数学试题 第 2 页 共 4 页 A2 B 1 2 Cln 2 e Dln(2 )e 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 9已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为2yx ，则双曲线

4、E的离心率为 A 5 2 B5 C 5 3 3 D 3 5 5 10如图是函数( )sin()f xAx(0)的部分图象，则 (第 10 题图) A 1 ( )2sin() 24 f xx B 1 ( )2sin() 22 f xx C 1 ( )2sin() 22 f xx D 1 ( )2cos() 2 f xx 11已知0ab，则 A 22 2abab B 22 2abab C()0a ab D2 ba ab 12已知随机变量X的取值为不大于()n nN 的非负整数，它的概率分布列为 X 0 1 2 3 n p 0 p 1 p 2 p 3 p n p 其 中(0, 1, 2, 3,) i

5、 p in满 足 0 , 1 i p ， 且 012 1 n pppp 定 义 由X生 成 的 函 数 23 0123 ( ) in in f xpp xp xp xp xp x，( )g x为函数( )f x的导函数，()E X为随机变量X 的期望现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有 1，2，3，4 个点数，这枚骰子连续抛掷两 次，向下点数之和为X，此时由X生成的函数为 1( ) f x，则 A()(2)E Xg B 1 15 (2) 2 f C()(1)E Xg D 1 225 (2) 4 f 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 理科数学试题 第 3

6、页 共 4 页 13椭圆 22 :1 43 xy E的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，过原点的直线l与E交于 A，B 两点， 1 AF、 2 BF都 与x轴垂直，则|AB=_ 14将数列 2n与2n的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前 10 项和为_（用数字作 答） 15已知、为锐角三角形的两个内角， 4 3 sin 7 ， 5 3 sin() 14 ，则cos2 16一半径为R的球的表面积为64，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则该长方体体积的 最大值为 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分） 在 1 c

7、os 2 B ， 1 cos 2 C ， 2 cos 2 C 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中， 若问题中的三角形存在， 求c的值； 若问题中的三角形不存在， 说明理由 问题：是否存在非直角ABC，它的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c， 且sin (1 2cos )2sincoscossinBCACAC ，1b ，_? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18 （12 分） 已知数列 n a是正项等比数列，满足 345 2aaa ， 12 1aa （1）求 n a的通项公式； （2）设 2 log (3) nn ta，求数列 12 1 nn tt 的前n项和

8、 n T 19 （12分）如图，三棱锥PABC中，2ACBCPCPB，120ACB，平面PBC底面ABC， D，E分别是BC，AB的中点 （1）证明：PD平面ABC； （2）求二面角P CEB的正切值 P E DC B A 理科数学试题 第 4 页 共 4 页 (第19题图) 20（12分）某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为 样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在25,30)内的产品为优等品，每件售价240元；质量指标值 落在20,25)和30,35)内的为一等品，每件售价为180元；质量指标值落在35,40)内的为二等品，每件售 价为1

9、20元；其余为不合格品，全部销毁每件产品生产销售全部成本50元 下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图 频率 组距 质量指标值 0.080 0.036 0.032 0.024 0.020 0.008 45403530252015 (第20题图) 下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表 (1) 以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产品的利润X(元) 的期望的估计值 (2)以样本估计总体， 若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件， 设其支付的费用为(单位： 元)， 求(元)的分布列 21（12分）已知函数 2 ( )e2

10、() xx f xxaxeaxa，0a （1）讨论函数 ( )f x的单调性； （2）讨论 ( )f x的零点的个数 质 量 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 40,45) 频数 2 18 48 14 16 2 理科数学试题 第 5 页 共 4 页 22（12分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点(0,) 2 p F(0)p 到直线:2l yx的距离为 3 2 2 ， 00 (,)P x y为直线l上的点，过P作抛物线E的切线PM、PN，切点为M N、 (1)求抛物线E的方程； (2) 若 (3,1)P ，求直线MN的方程; (3)若P为直线l上的动点，求| |

11、 |MFNF 的最小值 理科数学试题 第 6 页 共 4 页 珠海市珠海市 2020-2021 学年度第一学期高三摸底测试学年度第一学期高三摸底测试 数学数学 2020.9 解析及评分参考解析及评分参考 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1设集合 2 |4Ax x， 2 |30Bx xx，则AB A A( 5, 2)(2,6) B( 2,2) C(, 5)(6,) D(, 2)(2,) 2 2 7 (1) i i B A1 B2 Ci D2i 38 名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生

12、，丙需两名医生，其中医生 a 不能去甲医院，则不同的选派方式共有 B A280 种 B350 种 C70 种 D80 种 4一球O内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形ABC，过C作与球O相切的平面，则直线AC与所 成的角为 D A30 B45 C15 D60 5现有 8 位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知 5 人会拉小提琴，5 人会吹长笛， 现从这 8 人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是 A A 1 4 B 1 2 C 3 8 D 5 8 6若定义在R上的奇函数 f(x)在(0,)单调递增，且( 5)0f ，则满足0)(xf x 的解集是 D A

13、(, 5)(5,) B(, 5)(0,5) C( 5,0)(5,) D( 5,0)(0,5) 7已知 P 是边长为 1 的正方形 ABCD 边上或正方形内的一点，则AP BP的最大值是 C A 1 4 B2 C1 D 1 2 8直线: l ykxb是曲线( )ln(1)f xx和曲线 2 ( )ln()g xe x的公切线，则b C A2 B 1 2 Cln 2 e Dln(2 )e 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 理科数学试题 第 7 页 共 4 页 9已

14、知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为2yx ，则双曲线E的离心率为 AB A 5 2 B5 C 5 3 3 D 3 5 5 10如图是函数( )sin()f xAx(0)的部分图象，则 BCD A 1 ( )2sin() 24 f xx B 1 ( )2sin() 22 f xx C 1 ( )2sin() 22 f xx D 1 ( )2cos() 2 f xx 11已知0ab，则 ACD A 22 2abab B 22 2abab C()0a ab D2 ba ab 12已知随机变量X的取值为不大于()n nN 的非负整数，它的概率分布列为 X 0 1 2 3 n p 0

15、p 1 p 2 p 3 p n p 其 中(0, 1, 2, 3,) i p in满 足 0 , 1 i p ， 且 012 1 n pppp 定 义 由X生 成 的 函 数 23 0123 ( ) in in f xpp xp xp xp xp x，( )g x为函数( )f x的导函数，()E X为随机变量X 的期望现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有 1，2，3，4 个点数，这枚骰子连续抛掷两 次，向下点数之和为X，此时由X生成的函数为 1( ) f x，则 CD A()(2)E Xg B 1 15 (2) 2 f C()(1)E Xg D 1 225 (2) 4 f 提示：

16、 X 2 3 4 5 6 7 8 p 1 16 2 16 3 16 4 16 3 16 2 16 1 16 2345678 1 1234321 ( ) 16161616161616 f xxxxxxxx 理科数学试题 第 8 页 共 4 页 2345678 1 1234321 (2)2222222 16161616161616 f 225 4 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13椭圆 22 :1 43 xy E的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，过原点的直线l与E交于 A，B 两点， 1 AF、 2 BF都 与x轴垂直，则|AB=_13 14将数列 2n与2n的

17、公共项从小到大排列得到数列an，则an的前 10 项和为_（用数字作 答） 2046 15 已知、为锐角三角形的两个内角， 4 3 sin 7 ， 5 3 sin() 14 ， 则cos2 1 2 16一半径为R的球的表面积为64，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则该长方体体积的 最大值为 64 2 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分） 在 1 cos 2 B ， 1 cos 2 C ， 2 cos 2 C 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中， 若问题中的三角形存在， 求c的值； 若问题中的三角形不存在， 说明

18、理由 问题：是否存在非直角ABC，它的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c， 且sin (1 2cos )2sincoscossinBCACAC ，1b ，_? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 解：ABC中，由sin (1 2cos )2sincoscossinBCACAC 得sin2sincossincoscossinsincosBBCACACAC sinsincosBAC 1 分 (2sinsin)cos0BAC2 分 ABC不是直角三角形 cos0C 2sinsinBA3 分 理科数学试题 第 9 页 共 4 页 即2ab4 分 1b 2a6 分 选：由 1

19、cos 2 B ，及0B 得 3 B 7 分 由 sinsin ba BA 得sin 31A 9 分 不合理，故ABC不存在10 分 选：由 1 cos 2 C 得 22 2cos3cababC 8 分 222 bca9 分 A为直角，不合题设，故ABC不存在10 分 选：由 2 cos 2 C 得 22 2cos52 2cababC 10 分 18 （12 分） 已知数列 n a是正项等比数列，满足 345 2aaa ， 12 1aa （1）求 n a的通项公式； （2）设 2 log (3) nn ta，求数列 12 1 nn tt 的前n项和 n T 解： （1）设正项等比数列 n a的

20、公比为0q 由 345 12 2 1 aaa aa 得 234 111 11 2 1 a qa qa q aa q 解得 1 1 3 2 a q 2 分 所以 n a 的通项公式 1 2 3 n n a nN 4 分 （2） 1 22 log (3)log 21 n nn tan 6 分 故 12 1111 (1)1 nn ttn nnn 8 分 理科数学试题 第 10 页 共 4 页 所以 12 1 nn tt 的前n项和: 1111111 (1)()()() 2233411 n n T nnn 12 分 19 （12分）如图，三棱锥PABC中，2ACBCPCPB， 120ACB，平面PBC

21、底面ABC，D，E分别是BC，AB的中点 （1）证明：PD平面ABC； （2）求二面角P CEB的正切值 （1）证明：PCPB，D是BC中点 PDBC1分 平面PBC底面ABC，PD平面PBC，平面PBC底面ABC BC PD平面ABC.4分 （2）解：如图，取CE中点F，连接DF，PF 则/DFAB5 分 2ACBCPCPB，E是AB的中点，120ACB CEAB，6 分 3BE ， 3PD DFCE，7 分 3 2 DF PD平面 ABC CEPD，PDDFD CE 平面PDF8 分 CEFP9 分 PFD为二面角P CEB的平面角.10 分 P E DC B A P F E D C B

22、A 理科数学试题 第 11 页 共 4 页 在Rt PDF中， 3 tan2 3 2 PD PFD DF 11 分 二面角P CEB的正切值为 212 分 20（12分）某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为 样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在25,30)内的产品为优等品，每件售价240元；质量指标值 落在20,25)和30,35)内的为一等品，每件售价为180元；质量指标值落在35,40)内的为二等品，每件售 价为120元；其余为不合格品，全部销毁每件产品生产销售全部成本50元 下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图

23、频率 组距 质量指标值 0.080 0.036 0.032 0.024 0.020 0.008 45403530252015 下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表 (1) 以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产品的利润X(元) 的期望的估计值 (2)以样本估计总体， 若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件， 设其支付的费用为(单位： 元)， 质量指标值 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 40,45) 频数 2 18 48 14 16 2 理科数学试题 第 12 页 共 4 页 求(元)的分布列 解

24、：(1)由题设知，50,70,130,190X 1分 X的分布列为 X 50 70 130 190 P 0.14 0.18 0.28 0.4 3分 设备升级前利润的期望值为 ()0.14 ( 50)0.18 700.28 1300.4 190118E X 4分 升级前一件产品的利润的期望估计值为118元5分 (2) 升级后设患者购买一件合格品的费用为(元) 则120,180,2406分 患者购买一件合格品的费用的分布列为 8分 则240,300,360,420,48010分 111 (240) 6636 P 111 (300) 339 P 11115 (360)2 263318 P 111 (

25、420)2 323 P 111 (480) 224 P 则升级后患者购买两件合格品的费用的分布列为 240 300 360 420 480 P 1 36 1 9 5 18 1 3 1 4 12分 120 180 240 P 1 6 1 3 1 2 理科数学试题 第 13 页 共 4 页 21（12分）已知函数 2 ( )e2() xx f xxaxeaxa，0a （1）讨论函数 ( )f x的单调性； （2）讨论 ( )f x的零点的个数 解：（1） 2 ( )e2() xx f xxaxeaxa ( )(1)(e2 ) x fxxa1分 0a时1x时 ( )0fx ，1x 时( )0fx .

26、3分 0a时， ( )f x的减区间是(,1) ，增区间是(1,)4分 （2）0a时，(1)0 f 且 ( )f x的减区间是(,1) ，增区间是(1,) (1)0fe 是 ( )f x的极小值，也是最小值5分 (2)0fa ，6分 取0b且ln 2 a b 7分 则 22 ( )(2)(1)(2)(1)(23)0 22 b aa f bbea bba bbb8分 ( )f x在( ,1)b 和(1,2)上各一个零点9分 0a时，( )(2) x f xxe只一个零点2x10分 综上，0a时， ( )f x有两个零点；11分 0a时， ( )f x一个零点12分 22（12分）已知抛物线E的顶

27、点在原点，焦点(0,) 2 p F(0)p 到直线:2l yx的距离为 3 2 2 ， 00 (,)P x y为直线l上的点，过P作抛物线E的切线PM、PN，切点为M N、 (1)求抛物线E的方程； (2) 若 (3,1)P ，求直线MN的方程; (3)若P为直线l上的动点，求| | |MFNF 的最小值 解：(1)由(0,) 2 p F到直线:20l xy的距离为 3 2 2 理科数学试题 第 14 页 共 4 页 得 |2| 3 2 2 22 p 得2p 或10p 2分 0p 2p 3分 抛物线 2 :4E xy.4分 (2) 由 2 :4E xy知 2 1 4 yx 2 x y 5分 设

28、切点 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy 则 2 1111 111 :()2 2222 xxxx PMyyxxxxy 即 1 1 : 2 x PMyxy 2 2 : 2 x PN yxy6分 PPM，PPN 11 22 3 10 2 3 10 2 xy xy 即 11 22 3220 3220 xy xy 7分 :3220MNxy8分 (3)若P为直线l上的动点，设00 (,)P x y，则 00 2xy 由(2)知 PPM，PPN 0 110 0 220 0 2 0 2 x xyy x xyy 理科数学试题 第 15 页 共 4 页 0 0 :0 2 x MNxyy与 2 :4E xy联立消x得 222 000 (24)0yyyyy“” 9分 则 1 y， 2 y是“”的二根 2 1200 2 120 24yyyy y yy 10分 121212 | | (1)(1)1MFNFyyyyy y 2 00 225yy11分 当 0 1 2 y 时，| |MFNF得到最小值为 9 2 12分