2019届高考数学二轮复习第二部分专项专题1 第1讲　等差数列与等比数列 学案.doc

1、专题三 数 列 第 1 讲 等差数列与等比数列 年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析 2018 卷 等差数列基本量的计算 T4 an与Sn关系的 应用 T14 等差数列、等比数列 的判定及其通项公式在考 查基本运算、基本概念的 同时，也注重对函数与方 程、等价转化、分类讨论 等数学思想的考查；对等 差数列、等比数列的性质 考查主要是求解数列的等 差中项、等比中项、通项 公式和前 n 项和的最大、 最小值等问题，主要是中 低档题. 卷 等差数列基本量的计算、 和的最值问题 T17 卷 等比数列基本量的计算 T17 2017 卷 等差数列的通项公式、前 n 项和公式 T4 卷 等比数列的概念、

2、前 n 项和公式、数学文 化 T3 卷 等差数列的前 n 项和公式、通项公式及等 比中项 T9 等比数列的通项公式 T14 2016 卷 等差数列的基本运算 T3 等比数列的运 算 T15 等差、等比数列的基本运算(基础型) 通项公式 等差数列：ana1(n1)d； 等比数列：ana1qn 1. 求和公式 等差数列：Snn（a1an） 2 na1n（n1） 2 d； 等比数列：Sna1（1q n） 1q a1anq 1q (q1) 性质 等差数列 等比数列 性质 若 m，n，p，qN*，且 mnpq，则 am anapaq 若 m， n， p， qN*， 且 mnpq， 则 amanapaq

3、anam(nm)d anamqn m Sm，S2mSm，S3mS2m，?仍成等差数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，?仍成等比 数列(Sn0) 考法全练 1(2018 贵阳模拟)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a62a3，则S11 S5( ) A.11 5 B. 5 22 C.11 10 D.22 5 解析：选 D.S11 S5 11 2 （a1a11） 5 2（a1a5） 11a6 5a3 22 5 .故选 D. 2(2018 高考全国卷)记 Sn为等差数列an的前 n 项和若 3S3S2S4，a12，则 a5( ) A12 B10 C10 D12 解析：选 B.设等差数列an的

4、公差为 d，因为 3S3S2S4，所以 3(3a132 2 d)2a1d 4a143 2 d，解得 d3 2a1，因为 a12，所以 d3，所以 a5a14d24(3) 10.故选 B. 3(2018 郑州模拟)等比数列an的前 n 项和为 Sn，若对任意的正整数 n，Sn24Sn3 恒成立，则 a1的值为 ( ) A3 B1 C3 或 1 D1 或 3 解析：选 C.设等比数列an的公比为 q，当 q1 时，Sn2(n2)a1，Snna1，由 Sn2 4Sn3 得，(n2)a14na13，即 3a1n2a13，若对任意的正整数 n，3a1n2a13 恒 成立，则 a10 且 2a130，矛盾

5、，所以 q1， 所以 Sna1（1q n） 1q ，Sn2a1（1q n2） 1q ， 代入 Sn24Sn3 并化简得 a1(4q2)qn33a13q， 若对任意的正整数 n 该等式恒成 立，则有 ? ? ? ?4q20， 33a13q0，解得? ? ? ?a11， q2 或 ? ? ? ?a13， q2， 故 a11 或3，故选 C. 4(2018 南宁模拟)在等比数列an中，a2a616，a4a88，则a20 a10_ 解析：法一：设等比数列an的公比为 q，由 a2a616 得 a21q616，所以 a1q3 4.由 a4a88，得 a1q3(1q4)8，即 1q4 2，所以 q21.于

6、是a20 a10q 101. 法二：由等比数列的性质，得 a24a2a616，所以 a44，又 a4a88， 所以 ? ? ? ?a44， a84 或 ? ? ? ?a44， a812. 因为 a26a4a80，所以 ? ? ? ?a44， a84，则公比 q 满足 q 41，q21， 所以a20 a10q 101. 答案：1 5(2018 高考全国卷)等比数列an中，a11，a54a3. (1)求an的通项公式； (2)记 Sn为an的前 n 项和若 Sm63，求 m. 解：(1)设an的公比为 q，由题设得 anqn 1. 由已知得 q44q2， 解得 q0(舍去)，q2 或 q2. 故

7、an(2)n 1或 a n2 n1. (2)若 an(2)n 1，则 S n1（2） n 3 . 由 Sm63 得(2)m188，此方程没有正整数解 若 an2n 1，则 S n2 n1. 由 Sm63 得 2m64，解得 m6. 综上，m6. 等差、等比数列的判定与证明(综合型) 证明数列an是等差数列或等比数列的方法 (1)证明数列an是等差数列的两种基本方法： 利用定义，证明 an1an(nN*)为一常数； 利用等差中项，即证明 2anan1an1(n2) (2)证明an是等比数列的两种基本方法： 利用定义，证明an 1 an (nN*)为一常数； 利用等比中项，即证明 a2nan1an

8、1(n2) 典型例题 设 Sn为数列an的前 n 项和，对任意的 nN*，都有 Sn2an，数列bn满足 b12a1，bn bn1 1bn1(n2，nN *) (1)求证：数列an是等比数列，并求an的通项公式； (2)判断数列 1 bn是等差数列还是等比数列，并求数列bn的通项公式 【解】 (1)当 n1 时，a1S12a1，解得 a11； 当 n2 时，anSnSn1an1an，即 an an1 1 2(n2，nN *) 所以数列an是首项为 1，公比为1 2的等比数列， 故数列an的通项公式为 an? ? ? ? 1 2 n1 . (2)因为 a11， 所以 b12a12. 因为 bn

9、bn1 1bn1， 所以 1 bn 1 bn11， 即 1 bn 1 bn11(n2) 所以数列 1 bn是首项为 1 2，公差为 1 的等差数列 所以 1 bn 1 2(n1) 1 2n1 2 ，故数列bn的通项公式为 bn 2 2n1. 判断(证明)等差(比)数列应注意的问题 (1)判断或者证明数列为等差数列、等比数列最基本的方法是用定义判断或证明，其他 方法最后都会回到定义， 如证明等差数列可以证明通项公式是 n 的一次函数， 但最后还得使 用定义才能说明其为等差数列 (2)证明数列an为等比数列时，不能仅仅证明 an1qan，还要说明 a10，才能递推得 出数列中的各项均不为零，最后断

10、定数列an为等比数列 对点训练 记 Sn为等比数列an的前 n 项和，已知 S22，S36. (1)求an的通项公式； (2)求 Sn，并判断 Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列 解：(1)设an的公比为 q.由题设可得 ? ? ? ?a1（1q）2， a1（1qq2）6. 解得 q2，a12. 故an的通项公式为 an(2)n. (2)由(1)可得 Sna1（1q n） 1q 2 3(1) n2 n1 3 . 由于 Sn2Sn14 3(1) n2 n32n2 3 22 3(1) n2 n1 3 2Sn，故 Sn1，Sn，Sn2 成等差数列 Sn，an关系的应用(综合型) 数列an中，an与

11、Sn的关系 an ? ? ? ?S1，n1， SnSn1，n2. 求数列通项的常用方法 (1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式 (2)在已知数列an中，满足 an1anf(n)，且 f(1)f(2)?f(n)可求，则可用累加法 求数列的通项 an. (3)在已知数列an中，满足an 1 an f(n)，且 f(1) f(2) ? f(n)可求，则可用累乘法求数列的 通项 an. (4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列) 典型例题 (1)(2018 合肥第一次质量检测)已知数列an的前 n 项和为 Sn，若 3Sn2an3n， 则 a2 018( ) A22 0181 B3

12、2 0186 C? ? ? ? 1 2 2 018 7 2 D? ? ? ? 1 3 2 018 10 3 (2)(2018 福州模拟)已知数列an中，a11，a22，an13an2an1(n2，nN*)设 bn an1an. 证明：数列bn是等比数列； 设 cn bn （4n21）2n，求数列cn的前 n 项和 Sn. 【解】 (1)选 A.因为 a1S1，所以 3a13S12a13?a13. 当 n2 时，3Sn2an3n，3Sn12an13(n1)，所以 an2an13，即 an1 2(an11)，所以数列an1是以2 为首项，2 为公比的等比数列 所以 an1(2)(2)n 1(2)n

13、， 则 a2 01822 0181. (2)证明：因为 an13an2an1(n2，nN*)，bnan1an， 所以bn 1 bn an 2an1 an1an （3an 12an）an1 an1an 2（an 1an） an1an 2， 又 b1a2a1211， 所以数列bn是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列 由知 bn12n 12n1， 因为 cn bn （4n21）2n， 所以 cn 1 2（2n1）（2n1） 1 4? ? ? ? 1 2n1 1 2n1 ， 所以 Snc1c2?cn 1 4? ? ? ? 11 3 1 3 1 5? 1 2n1 1 2n1 1 4? ? ? ?

14、1 1 2n1 n 4n2. (1)给出 Sn与 an的递推关系求 an的常用思路：一是利用 SnSn1an(n2)转化为 an的 递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn的递推关系，先求出 Sn与 n 之间的关系，再求 an. (2)形如 an1panq(p1，q0)，可构造一个新的等比数列 对点训练 (2018 贵阳模拟)已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn3 2an 1 2，a11. (1)求数列an的通项公式； (2)若 bn 1 log3an1log3an2，求数列bn的前 n 项和 Tn. 解：(1)由已知 Sn3 2an 1 2， 得 Sn13 2an1 1 2(n

15、2)， 得 an3 2an 3 2an1，即 an3an1(n2)， 又 a11，所以数列an是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，故 an3n 1. (2)由(1)知 bn 1 n（n1） 1 n 1 n1， 所以 Tn1 1 1 2 1 2 1 3? 1 n 1 n11 1 n1 n n1， 所以 Tn n n1. 数列与新定义相交汇问题(创新型) 典型例题 (2018 武汉调研)对任一实数序列 A(a1，a2，a3，?)，定义新序列 A(a2a1， a3a2，a4a3，?)，它的第 n 项为 an1an.假定序列 (A)的所有项都是 1，且 a12a22 0，则 a2_ 【解析】 令 bnan1an，依题意知数列bn为等差数列，且公差为 1， 所以 bnb1(n1)1， a1a1， a2a1b1， a3a2b2， ? anan1bn1， 累加得 ana1b1?bn1a1(n1)b1（n1）（n2） 2 (n1)a2(n2)a1 （n1）（n2） 2 ， 分别令 n12，n22， 得 ? ? ?