2019届高考数学二轮复习第二部分专项专题3 第3讲　圆锥曲线的综合问题 学案.doc

1、第 3 讲 圆锥曲线的综合问题 年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析 2018 卷 直线与椭圆的位置关系 T19 解析几何是数形结合 的典范，是高中数学 的主要知识板块，是 高考考查的重点知识 之一，在解答题中一 般会综合考查直线、 圆、圆锥曲线等试 题难度较大，多以压 轴题出现 解答题的热点题型 有： (1)直线与圆锥曲线的 位置关系 (2)圆锥曲线中定点、 定值、最值及范围的 求解 (3)轨迹方程及探索性 问题的求解. 卷 直线与抛物线的位置关系、弦长问题 T19 卷 直线与椭圆的位置关系、 向量的线性运算、 证明问题 T20 2017 卷 椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关 系 T2

2、0 卷 点的轨迹方程、椭圆与向量的数量积的综 合问题 T20 卷 直线与抛物线的位置关系、直线的方程、 圆的方程 T20 2016 卷 定值问题、轨迹方程求法、直线与椭圆的 位置关系及范围问题 T20 卷 直线与椭圆的位置关系、面积问题、范围 问题 T20 卷 证明问题、轨迹问题、直线与抛物线的位 置关系 T20 定点问题(综合型) 典型例题 已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等 差数列直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于 Q，P，与椭圆分别交于点 M，N，各点均不重 合且满足PM 1MQ ，PN 2NQ . (1)求椭圆的标

3、准方程； (2)若 123，试证明：直线 l 过定点并求此定点 【解】 (1)设椭圆的焦距为 2c，由题意知 b1， 且(2a)2(2b)22(2c)2， 又 a2b2c2，所以 a23. 所以椭圆的方程为x 2 3y 21. (2)由题意设 P(0，m)，Q(x0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 直线 l 的方程为 xt(ym)， 由PM 1MQ ，知(x1，y1m)1(x0x1，y1)， 所以 y1my11，由题意 y10， 所以 1m y11. 同理由PN 2NQ 知 2m y21. 因为 123，所以m y11 m y213， 所以 y1y2m(y1y2)0， 联立 ? ?

4、 ? ?x23y23， xt（ym）， 得(t23)y22mt2yt2m230， 所以由题意知 4m2t44(t23)(t2m23)0， 且有 y1y2 2mt2 t23，y1y2 t2m23 t23 ， 代入得 t2m232m2t20， 所以(mt)21， 由题意 mt0)的焦点 F(1，0)，O 为坐标原点，A，B 是抛物线 C 上异于 O 的两点 (1)求抛物线 C 的方程； (2)若直线 OA，OB 的斜率之积为1 2，求证：直线 AB 过 x 轴上一定点 解：(1)因为抛物线 y22px(p0)的焦点坐标为(1，0)，所以p 21，即 p2.所以抛物线 C 的方程为 y24x. (2

5、)证明：当直线 AB 的斜率不存在时， 设 A? ? ? ? t2 4，t ，B? ? ? ? t2 4，t . 因为直线 OA，OB 的斜率之积为1 2， 所以 t t2 4 t t2 4 1 2，化简得 t 232. 所以 A(8，t)，B(8，t)，此时直线 AB 的方程为 x8. 当直线 AB 的斜率存在时， 设其方程为 ykxb，A(xA，yA)，B(xB，yB)， 联立方程组 ? ? ? ?y24x， ykxb， 消去 x 得 ky24y4b0. 由根与系数的关系得 yAyB4b k ， 因为直线 OA，OB 的斜率之积为1 2， 所以yA xA yB xB 1 2，即 xAxB2

6、yAyB0. 即y 2 A 4 y 2 B 4 2yAyB0， 解得 yAyB0(舍去)或 yAyB32. 所以 yAyB4b k 32，即 b8k， 所以 ykx8k，即 yk(x8) 综合可知，直线 AB 过定点(8，0) 定值问题(综合型) 典型例题 (2018 沈阳教学质量监测(一)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆x 2 9 y2 41 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足NP 2NM . (1)求点 P 的轨迹 E 的方程； (2)过 F(1，0)的直线 l1与点 P 的轨迹交于 A，B 两点，过 F(1，0)作与 l1垂直的直线 l2 与点 P 的轨迹交于 C

7、，D 两点，求证： 1 |AB| 1 |CD|为定值 【解】 (1)设 P(x，y)，易知 N(x，0)，NP (0，y)， 又NM 1 2 NP ? ? ? ? 0， y 2 ，所以 M? ? ? ? x， y 2 ， 又点 M 在椭圆上，所以x 2 9 ? ? ? ? y 2 2 4 1，即x 2 9 y2 81. 所以点 P 的轨迹 E 的方程为x 2 9 y2 81. (2)证明：当直线 l1与 x 轴重合时，|AB|6，|CD|16 3 ， 所以 1 |AB| 1 |CD| 17 48. 当直线 l1与 x 轴垂直时，|AB|16 3 ，|CD|6， 所以 1 |AB| 1 |CD|

8、 17 48. 当直线 l1与 x 轴不垂直也不重合时，可设直线 l1的方程为 yk(x1)(k0)，则直线 l2 的方程为 y1 k(x1)， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)， 联立直线 l1与曲线 E 的方程 ? ? ? ? ?yk（x1）， x2 9 y2 81， 得(89k2)x218k2x9k2720， 可得 ? ? ? （18k2）24（89k2）（9k272）2 304（k21）0， x1x2 18k2 89k2， x1x29k 272 89k2 ， 所以|AB| 1k2 （x1x2）24x1x248（1k 2） 89k2 ， 联立直线

9、 l2与曲线 E 的方程 ? ? ?y 1 k（x1）， x2 9 y2 81， 得? ? ? ? 8 9 k2 x218 k2x 9 k2720， 同理可得|CD|1 1 k2 （x3x4）24x3x448（1k 2） 98k2 . 所以 1 |AB| 1 |CD| 89k2 48（k21） 98k2 48（k21） 17 48. 综上可得 1 |AB| 1 |CD|为定值 求定值问题常见的 2 种方法 (1)从特殊入手，求出其值，再证明这个值与变量无关这符合一般与特殊的思维辩证 关系简称为：特殊探路，一般论证 (2)直接推理，计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 对点训练 已知

10、椭圆 C：x 2 4 y2 31，A 为椭圆 C 上的一点，其坐标为? ? ? ? 1，3 2 ，E，F 是椭圆 C 上的 两动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数求证：直线 EF 的斜率为定值，并 求出该定值 解：设直线 AE 的方程为 yk(x1)3 2(k0)， 联立 ? ? ? x2 4 y2 31， yk（x1）3 2 消去 y， 得(4k23)x2(12k8k2)x4? ? ? ? 3 2k 2 120， 则 xE 4? ? ? ? 3 2k 2 12 （4k23）xA 4k212k3 4k23 ， 又直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数， 故以上 k 用k

11、 代替得 xF4k 212k3 4k23 ， 所以 kEFyFyE xFxE ? ? ? ? k（xF1）3 2 ? ? ? ? k（xE1）3 2 xFxE k（xFxE）2k xFxE . 把两式代入上式，得 kEF1 2，为定值 最值和范围问题(综合型) 典型例题 命题角度一 构建目标不等式求最值或范围 方法一：利用已知条件中明显的不等关系构建目标不等式 已知圆x2y21过椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的两焦点， 与椭圆有且仅有两个公共点， 直线 l：ykxm 与圆 x2y21 相切，与椭圆x 2 a2 y2 b21 相交于 A，B 两点记 OA OB ， 且2 3 3 4.

12、(1)求椭圆的方程； (2)求 k 的取值范围 【解】 (1)由题意知 2c2，即 c1. 因为圆与椭圆有且只有两个公共点，所以 b1，所以 a2b2c22， 故所求椭圆方程为x 2 2y 21. (2)由直线 l：ykxm 与圆 x2y21 相切，得 m2k21.由 ? ? ? ? ?ykxm， x2 2y 21 得(12k2)x2 4kmx2m220.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x24km 12k2，x1x2 2m22 12k2， OA OB x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m2 k21 12k2. 由2 3 3 4，得 1 2k 21，即 k 的取值

13、范围是 ? ? ? ? 1， 2 2 ? ? ? ? 2 2 ，1 . 先通过直线与圆相切得到 k，m 的关系，然后利用已知条件中的不等关系2 3 3 4，结 合向量的数量积及根与系数的关系构造关于 k，m 的不等式，再由 k，m 的关系，消元，得 到关于 k 的不等式，通过解不等式达到目的 方法二：利用题目中隐藏的已知参数的范围构建不等式 已知 A 是椭圆 E：x 2 t y 2 31(t3)的左顶点，斜率为 k(k0)的直线交 E 于 A，M 两 点，点 N 在 E 上，MANA. (1)当 t4，|AM|AN|时，求AMN 的面积； (2)当 2|AM|AN|时，求 k 的取值范围 【解

14、】 (1)由|AM|AN|，可得 M，N 关于 x 轴对称，由 MANA，可得直线 AM 的斜 率 k 为 1.因为 t4，所以 A(2，0)，所以直线 AM 的方程为 yx2，代入椭圆方程 E：x 2 4 y 2 31，可得 7x 216x40，解得 x2 或 x2 7，所以 M? ? ? ? 2 7， 12 7 ，N? ? ? ? 2 7， 12 7 ， 则AMN 的面积为1 2 24 7 ? ? ? ? 2 72 144 49 . (2)由题意知 t3，k0，A( t，0)，将直线 AM 的方程 yk(x t)代入x 2 t y 2 31 得(3 tk2)x22 ttk2xt2k23t0

15、.设 M(x1，y1)，则 x1( t)t 2k23t 3tk2 ，即 x1 t（3tk2） 3tk2 ， 故|AM|x1 t| 1k26 t（1k 2） 3tk2 .由题设知，直线 AN 的方程为 y1 k(x t)，故同 理可得|AN|6k t（1k 2） 3k2t .由 2|AM|AN|得 2 3tk2 k 3k2t，即(k 32)t3k(2k1)当 k 3 2时上式不成立，因此 t3k（2k1） k32 . 由 t3，得3k（2k1） k32 3，所以k 32k2k2 k32 （k2）（k 21） k32 0， k320，解得 3 23 建立关于 k 的不等式 方法三：利用判别式构建目

16、标不等式 已知点 F 为椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构 成一个等边三角形，直线x 4 y 21 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M. (1)求椭圆 E 的方程； (2)设直线x 4 y 21 与 y 轴交于点 P，过点 P 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A，B， 若 |PM|2|PA| |PB|，求实数 的取值范围 【解】 (1)由题意，得 a2c，b 3c， 则椭圆 E 为 x2 4c2 y2 3c21. 由 ? ? ? x2 4 y2 3c 2， x 4 y 21 消去 y，得 x22x43c20. 因为直线x 4 y 21 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M， 所以 44(43c2)0，解得 c21， 所以椭圆 E 的方程为x 2 4 y2 31. (2)由(1)得 M? ? ? ? 1，3 2 ， 因为直线x 4 y 21 与 y 轴交于 P(