2019届高考数学二轮复习第二部分专项专题2 第2讲　不等式选讲 学案.doc

1、第 2 讲 不等式选讲 年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析 2018 卷 绝对值不等式的解 法、不等式的恒成立 问题 T23 1.不等式选讲是高考 的选考内容之一，考 查的重点是不等式的 证明、绝对值不等式 的解法等，命题的热 点是绝对值不等式的 求解，以及绝对值不 等式与函数的综合问 题的求解 2此部分命题形式单 一、稳定，难度中等， 备考本部分内容时应 注意分类讨论思想的 应用. 卷 绝对值不等式的解 法、不等式的恒成立 问题 T23 卷 含绝对值函数图象的 画法、不等式的恒成 立问题 T23 2017 卷 含绝对值不等式的解 法、求参数的取值范 围 T23 卷 基本不等式的应用、

2、一些常用的变形及证 明不等式的方法 T23 卷 含绝对值不等式的解 法、函数最值的求 解 T23 2016 卷 含绝对值函数图象的 画法、含绝对值不等 式的解法 T24 卷 含绝对值不等式的解 法、比较法证明不等 式 T24 卷 含绝对值不等式的解 法、绝对值不等式的 性质 T24 绝对值不等式的解法(综合型) 含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|a(a0)?f(x)a 或 f(x)0)?a0)，|xa|xb|c(或c)(c0)型不等式的解法 可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解 (1)零点分区间法的一般步骤 令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根 将这些根按从小到大

3、排列，把实数集分为若干个区间 由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集 取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集 (2)利用绝对值的几何意义 由于|xa|xb|与|xa|xb|分别表示数轴上与 x 对应的点到 a， b 对应的点的距离 之和与距离之差，因此对形如|xa|xb|c(或c)(c0)或|xa|xb|c(或c)(c0) 的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观 对点训练 (2018 合肥第一次质量检测)已知函数 f(x)|2x1|. (1)解关于 x 的不等式 f(x)f(x1)1； (2)若关于 x 的不等式 f(x)(|2x1|2x1|)min即可 由于|2x

4、1|2x1|12x|2x1|12x2x1|2， 当且仅当(12x)(2x1)0，即 x? ? ? ? 1 2， 1 2 时等号成立，故 m2. 所以 m 的取值范围是(2，) 不等式的证明(综合型) 含有绝对值的不等式的性质 |a|b|a b|a|b|. 算术几何平均不等式 定理 1：设 a，bR，则 a2b22ab，当且仅当 ab 时，等号成立 定理 2：如果 a，b 为正数，则ab 2 ab，当且仅当 ab 时，等号成立 定理 3：如果 a，b，c 为正数，则abc 3 3abc，当且仅当 abc 时，等号成立 定理 4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果 a1，a2，?，an为 n 个

5、正数，则 a1a2?an n na1a2?an，当且仅当 a1a2?an时，等号成立 典型例题 (2018 长春质量检测(一)设不等式|x1|x1|1. 【解】 (1)由已知，令 f(x)|x1|x1| ? ? ? ? ?2，x1， 2x，11，只需证|1abc|abc|， 只需证 1a2b2c2a2b2c2，只需证 1a2b2c2(1a2b2)， 只需证(1a2b2)(1c2)0， 由 a，b，cA，得 a2b20 恒成立 综上，? ? ? ? ? 1abc abc 1. 证明不等式的方法和技巧 (1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题 以“至少”“至多

6、”等方式给出或是否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法 (2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证 明尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是化去绝对值符号，转化为 常见的不等式(组)求解多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为 简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据 对点训练 (2018 陕西教学质量检测(一)已知函数 f(x)|2x1|x1|. (1)解不等式 f(x)3； (2)记函数 g(x)f(x)|x1|的值域为 M，若 tM，证明 t213 t3t. 解：(1)依题意，得 f(x) ? ? ? ?

7、?3x，x1， 2x，10， 所以（t3）（t 21） t 0， 所以 t213 t3t. 含绝对值不等式的恒成立问题(综合型) 典型例题 (2018 郑州第一次质量预测)设函数 f(x)|x3|，g(x)|2x1|. (1)解不等式 f(x)ax4 对任意的实数 x 恒成立，求 a 的取值范围 【解】 (1)由已知，可得|x3|0， 解得 x4. 故所求不等式的解集为? ? ? ? ，2 3 (4，) (2)由已知，设 h(x)2f(x)g(x)2|x3|2x1| ? ? ? ? ?4x5，x3， 7，3ax4 恒成立，即 ax4x9 x 49 x恒成立， 所以 a? ? ? ? 49 x

8、max，所以 a1； 当3ax4 恒成立，即 ax3ax4 恒成立，即 ax0，所以 a4，且 x时，4 1 x4， 所以 a4. 综上，a 的取值范围是(1，4 绝对值不等式的成立问题的求解模型 (1)分离参数：根据不等式将参数分离化为 af(x)或 af(x)形式 (2)转化最值： f(x)a 恒成立?f(x)mina； f(x)a 有解?f(x)maxa； f(x)a 无解?f(x)maxa；f(x)1 的解 集为x|x1 2 (2)当 x(0，1)时|x1|ax1|x 成立等价于当 x(0，1)时|ax1|0，|ax1|4|a1|，求实数 a 的取值范围； (2)若存在实数 x，y，使

9、 f(x)g(y)0，求实数 a 的取值范围 解：(1)因为 f(2a21)4|a1|， 所以|2a22a|a21|4|a1|， 所以|a1|(2|a|a1|4)0， 所以|2a|a1|4 且 a1. 若 a1，则2aa14，所以 a4，所以 a4，所以 a1. 综上所述，a 的取值范围为? ? ? ? ，5 3 (1，) (2)因为 g(x)(x1)2 4 （x1）25 2（x1）2 4 （x1）251，显然可取等号， 所以 g(x)min1. 于是，若存在实数 x，y，使 f(x)g(y)0，只需 f(x)min1. 又 f(x)|x12a|xa2|(x12a)(xa2)|(a1)2， 所

10、以(a1)21，所以1a11，所以 0a2，即 a0，2 1(2018 高考全国卷)设函数 f(x)5|xa|x2|. (1)当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集； (2)若 f(x)1，求 a 的取值范围 解：(1)当 a1 时， f(x) ? ? ? ? ?2x4，x1， 2，1x2， 2x6，x2. 可得 f(x)0 的解集为x|2x3 (2)f(x)1 等价于|xa|x2|4. 而|xa|x2|a2|，且当 x2 时等号成立故 f(x)1 等价于|a2|4. 由|a2|4 可得 a6 或 a2.所以 a 的取值范围是(，62，) 2(2018 开封模拟)已知函数 f(x)|xm|

11、，mm 2，解得 m2， 由于 m0 的解集； (2)若函数 f(x)的图象与 x 轴没有交点，求实数 a 的取值范围 解：(1)当 a3 时，不等式可化为|3x1|x0，即|3x1|x， 所以 3x1x，即 x 1 2， 所以不等式 f(x)0 的解集为? ? ? ? ? x|x 1 2 . (2)当 a0 时，f(x) ? ? ?2x1，x 1 a， 2（1a）x1，x0， 2（1a）0， 即 1a1 a， 要使函数 f(x)的图象与 x 轴无交点， 只需 ? ? ? ? ?2 a11 且 x? ? ? ? 1 2， a 2 时，f(x)g(x)，求实数 a 的取值范围 解：(1)当 a1

12、 时，f(x) ? ? ? ? ?4x，x1 2 . 当 x1 2时，f(x)2 无解 综上所述，f(x)2 的解集为? ? ? ? ? x|1 2x 1 2 . (2)当 x? ? ? ? 1 2， a 2 时，f(x)(a2x)(2x1)a1，所以 f(x)g(x)可化为 a1g(x) 又 g(x)4x2ax3 在? ? ? ? 1 2， a 2 上的最大值必为 g? ? ? ? 1 2 、g? ? ? ? a 2 之一， 则 ? ? ?a1g? ? ? ? 1 2 a1g? ? ? ? a 2 ， 即 ? ? ? ? ?a2 4 3a2 ，即4 3a2. 又 a1，所以12 2xx23，

13、 解得 x1 3或 x1， 所以当 a0 时，不等式 f(x)|x2|3 的解集为? ? ? ? ，1 3 1，) (2)对于任意实数 x，不等式|2x1|f(x) 3 3 时，3a21g(x)的解集； (2)若对任意 x1，x2R，不等式 f(x1)g(x2)恒成立，求实数 a 的取值范围 解：(1)当 a4 时，不等式 f(x)g(x)为 x22|x4|x1|， g(x)|x4|x1| ? ? ? ? ?3，x4， 2x5，13 恒成立，所以 x4. 当 12x5，即 x22x30，得 x1 或 x3，则 x1 或 xg(x)的解集为x|x1 (2)当 a1 时，g(x) ? ? ? ? ?1a，xa， a12x，1xa， a1，x1， 所以 g(x)的最大值为 a1. 要使 f(x1)g(x2)，只需 2a1，则 a3， 所以 1a3. 当 a1 时，g(x) ? ? ? ? ?a1，x1， 2xa1，ax1， a1，xa 所以 g(x)的最大值为 1a. 要使 f(x1)g(x2)，只需 21a，则 a1，所以1a1. 综上，实数 a 的取值范围是1，3.