广东省高州市2021届第一学期高三第一次模拟考试数学试题附答案.docx

1、高州市 20202021 届高三第一次模拟考试 数学 本卷命题范围：高考范围。 第卷（选择题） 一、 单项选择题： 本题共 8 小题， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1已知集合 Mx|2x2-5x-30，N-2，1，2，4，则 MN A-2，1，2 B1，2 C1，4 D1，2，4 2设复数 z1-（1-i）3，则|z| A1 B2 C5 D13 3如图所示的ABC 中， 点 D 是线段 AC 上靠近 A 的三等分点， 点 E 是线段 AB 的中点， 则DE A 11 36 BABC B 11 63 BABC C 51 63 BABC D 51 63 BABC 4设集

2、合 Mx|x2，Px|x6，那么“xM 或 xP”是“xMP”的 A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 5函数 | | 2 esin x x f x x 的部分图象大致为 A B C D 6已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，直线 yk（x2）与抛物线 C 交于点 A （1，2） ，B，则|FB| A3 B4 C5 D6 7已知正六边形 A1A2A3A4A5A6的边长为 1，在这 6 个顶点中任意取 2 个不同的顶点 Ai， Aj（1ij6）得到线段 AiAj，则|AiAj|1，2的概率为 A 1 6 B 1 3 C 2 5 D 3 5 8如图，在

3、直三棱柱 ABC-A1B1C1的侧面展开图中，B，C 是线段 AD 的三等分点，且 3 3AD 若该三棱柱的外接球 O 的表面积为 12，则 AA1 A2 B2 C5 D2 2 二、多项选择题：本题共 4 小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。 9 九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所 得与下三人等问各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人 所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得 多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位） 关于这个问题，下列说法正确的是 A甲得钱是戊得钱的 2 倍

4、 B乙得钱比丁得钱多 1 2 钱 C甲、丙得钱的和是乙得钱的 2 倍 D丁、戊得钱的和比甲得钱多 1 3 钱 10如图是函数 f（x）Asin（x） （A0，0，|）的部分图象，则下列说法 正确的是 A2 B ,0 6 是函数，f（x）的一个对称中心 C 2 3 D函数 f（x）在区间 4 , 5 上是减函数 11若 0 xy1，则下列结论正确的是 A 111 loglog2 2 xyxy xy Bexex-y Cxnyn，nN* Dlogxylogyx 12已知函数 f（x）x2sinx，则下列说法正确的是 Af（x）有且只有一个极值点 B设 g（x）f（x） f（-x） ，则 g（x）与

5、f（x）的单调性相同 Cf（x）有且只有两个零点 Df（x）在 0, 2 上单调递增 第卷（非选择题） 三、填空题：本大题共 4 小题 13当 a 为常数时， 6 2 1 ax x 展开式中常数项为 15，则 a_ 14在ABC 中，若2 sinsin ab c BA ，则ABC 是_三角形 15已知圆 M：x2y2-12x-14y600，圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x6 上，则圆 N 的标准方程为_ 16若 xex5， 5e ln1y y ，则 xy_ 四、解答题：本题共 6 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17从条件2b-a2ccosA，ct

6、anC-acosBbcosA， 4 cos 5 cBab中任选一个，补充 在下面的问题中，并给出解答 在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a1，3b ，_，求 ABC 的面积 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分 182020 年 10 月 1 日既是中华人民共和国第 71 个国庆日，又是农历中秋节，双节同庆， 很多人通过短视频 APP 或微信、微博表达了对祖国的祝福某调查机构为了解通过短视频 APP 或微信、微博表达对祖国祝福的人们是否存在年龄差异，通过不同途径调查了数千个 通过短视频 APP 或微信、微博表达对祖国祝福的人，并从参与者中随机选出 200

7、 人，经统 计这 200 人中通过微信或微博表达对祖国祝福的有 160 人将这 160 人按年龄分组：第 1 组15，25） ，第 2 组25，35） ，第 3 组35，45） ，第 4 组45，55） ，第 5 组55，65，得到的 频率分布直方图如图所示： （1）求 a 的值并估计这 160 人的平均年龄； （2）把年龄在第 1，2，3 组的居民称为青少年组，年龄在第 4，5 组的居民称为中老年组， 选出的 200 人中通过短视频 APP 表达对祖国祝福的中老年人有 26 人，问是否有 99的把 握认为是否通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关？ 附： P（K2k0） 0.15 0.10

8、 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 2 n adbc K abcdacbd 19已知数列an的前 n 项和为 Sn（nN*） （1）若an为等差数列，a1-1， 6 5 11 9 a a ，求 Sn和 an的表达式； （2）若数列Sn满足 12 2 111 35 222 n n SSSn，求 an 20如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA1底面 ABCD，ADAB，ADBC，且 1 1 2 ABADBC， 1 2AADC （1）求证：平面 BDD1B1平面 CDD

9、1C1； （2）求二面角 CBD1C1所成角的余弦值 21已知点 P（-2，-1）为椭圆 C： 22 22 1 xy ab （ab0）上一点，且椭圆 C 的一个焦点与 抛物线 2 4 3yx的焦点重合，过点 P 作直线 PA，PB，与椭圆 C 分别交于点 A，B （1）求椭圆 C 的标准方程与离心率； （2）若直线 PA，PB 的斜率之和为 0，证明：直线 AB 的斜率为定值 22设函数 ex ax f x ，a0，aR （1）讨论 f（x）的单调性； （2）当 a1 且 m（0，ln2）时，函数 1 lnx mx x F x f x （x0） ，证明：F（x）存 在极小值点 x0，且 mln

10、x00 高州市 20202021 届高三第一次模拟考试 数学 参考答案、提示及评分细则 1B 2 1 |2530|3 2 Mxxxxx ，所以 MN1，2，故选 B 2D z1-（1-i）2（1-i）12i（1-i）122i32i，所以 22 |3213z ，故 选 D 3B 依题意， 1111111 3233263 DEDAAEACBABCBABABABC ，故选 B 4C 5B 由题知， | | 2 esin x x fxf x x 在（-，0）（0，）上恒成立，所以函数 | | 2 esin x x f x x 是奇函数，其图象关于原点中心对称，排除 C；因为 0 2 f ，f（）0，

11、排除 A，D，故选 B 6C 由点 A（1，2）在抛物线 C 上得 p2，设 2 , 4 t Bt ，由直线过定点（-2，0）得 2 2 12 2 4 t k t ，解得 t4（舍去 2） ，B（4，4） ，所以| 45 2 p FB 故选 C 7C 由已知得， |1, 3,2 ij A A （1ij6） ，|1,2|3 ijij AAAA（1ij6） ，在 这 6 个顶点中任意取 2 个不同的顶点 Ai， Aj（1ij6） ， 得到以下 15 条线段： A1A2， A1A3， A1A4，A1A5，A1A6，A2A3，A2A4，A2A5，A2A6，A3A4，A3A5，A3A6，A4A5，A4A

12、6，A5A6， 其中满足|3 ij AA （1ij6）的有以下 6 条线段：A1A3，A1A5，A2A4，A2A6，A3A5， A4A6，根据古典概型的计算公式得，|AiAj|1，2的概率为 62 155 ，故选 C 8D 由展开图可知，直三棱柱 ABCA1B1C1的底面是边长为3的等边三角形，其外接 圆的半径满足 3 22 sin60 r ，所以 r1由 4R212 得3R 由球的性质可知，球心 O 到底面 ABC 的距离为 22 2dRr，结合球和直三棱柱的对称性可知， 1 22 2AAd，故选 D 9AC 依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a-2d，a-d，a，ad，a2d，则由

13、题 意可知，a-2da-daada2d，即 a-6d，又 a-2da-daada2d5a5， 所以 a1，所以 14 212 63 ad ， 17 1 66 ad ， 15 1 66 ad ， 12 212 63 ad ，所以甲得 4 3 钱，乙得 7 6 钱，丙得 1 钱，丁得 5 6 钱，戊得 2 3 钱，所 以甲得钱是戊得钱的 2 倍，故 A 正确；乙得钱比丁得钱多 751 663 钱，故 B 错误；甲、丙 得钱的和是乙得钱的 4 1 3 2 7 6 倍，故 C 正确；丁、戊得钱的和比甲得钱多 5241 6336 钱， 故 D 错误综上，故选 AC 10 ACD 由题知， A2， 函数

14、f （x） 的最小正周期 115 2 1212 T ， 所以 2 2 T ， 故 A 正确；因为 111111 2sin 22sin2 12126 f ，所以11 2 62 k，k Z， 解得 4 2 3 k， kZ， 又|， 所以 2 3 ， 故 C 正确； 函数 2 2sin 2 3 f xx ， 因为 2 2sin 22sin30 6633 f ，所以 ,0 6 不是函数 f（x）的一个 对称中心，故 B 错误；令 23 2 22 232 mxm，mZ，得 5 1212 mxmx， mZ，当 m-1 时， 137 1212 x ，因为 4137 , 51212 ，所以函数 f（x） 在区

15、间 4 , 5 上是减函数，故 D 正确故选 ACD 11ABC 因为 0 xy1，所以 0 xy1， 11 1 yx ，所以 111 12 22 xyxyxy ， 所以 1121 logloglog2loglog2 2 xyxyxyxyxy xy xyxy ， 故A正确； 因为0 xy1， 所以 x0 x-y，所以 exex-y，故 B 正确；因为 0 xy1，所以 0 xnyn1，nN*， 故 C 正确；因为 0 xy1，所以 0logxylogxx1，logyxlogyy1，所以 logxy1 logyx，故 D 错误故选 ABC 12ACD 由题知，f（x）2xcosx，f（x）2-s

16、inx0，所以 f（x）2xcosx 在 R 上单调递增，当 x0 时，f（x）10；当 1 2 x 时， 1 1cos0 2 fx ，所以存在 0 1 ,0 2 x ，使得 f（x0）0，所以函数 f（x）x2sinx 在（-，x0）上单调递减，在 （x0， ） 上单调递增， 所以 f （x） 有且只有一个极值点， 故 A 正确； 因为 f （-x） x2-sinx， 所以 g（x）f（x） f（-x）x4-sin2x，所以 g（x）4x3-2sinxcosx4x3-sin2x 所以 g（0） 0，故 g（x）的一个极值点为 0，所以 g（x）与 f（x）的单调性不相同，故 B 错误；因为

17、f（x）有且只有一个极值点 x0， 0 1 ,0 2 x ，且 f（0）0，所以 f（x）在（-，x0）和（x0， ）上各有一个零点，所以 f（x）有且只有两个零点，故 C 正确；因为 yx2与 ysinx 在 0, 2 上都是单调递增， 所以 f （x） x2sinx 在 0, 2 上单调递增， D 正确 故选 ACD 13 1 6 2 1 ax x 的第 r1 项为 6 212 3 66 r r rrrr CxaxC a x ，令-123r0，得 r4， 所以 44 6 15C a ，解得 a 1 14等腰直角 若2 sinsin ab c BA ，则 sinsin 2sin sinsin

18、 AB C BA ，由 sinsin 2 sinsin AB BA ，当且仅 当 sinAsinB 时取等号，即 AB又 2sinC2，则 22sinC2，即 sinC1， 2 C ，ABC 为等腰直角三角形 15 （x-6）2（y-1）21 圆 M 的标准方程为（x-6）2（y-7）225，所以圆心 M（6， 7） ，半径为 5由圆心 N 在直线 x6 上，可设 N（6，y0） 因为 N 与 x 轴相切，与圆 M 外 切，所以 0y07，于是圆 N 的半径为 y0，从而 7-y05y0，解得 y01因此，圆 N 的 标准方程为（x-6）2（y-1）21 165e 由 5e ln1y y 得

19、ln e 5e5e ln1lnln5lne5 eeee y yyyy y yy 由 xex5 得 x 0 ， 故 函 数 f （ x ） xex（ x 0 ） 为 单 调 递 增 函 数 ，lne ee x yy x ， 又 e555e e x y xxxy 17解：选择，因为 2b-a2ccosA， 所以由余弦定理得 222222 22 2 bcabca bac bcb ， 所以 a2b2-c2ab， 所以由余弦定理得 222 1 cos 222 abcab C abab ， 所以 3 sin 2 C ， 所以ABC 的面积为 1133 sin13 2224 abC 选择，因为 ctanC-

20、acosBbcosA， 所以由正弦定理得 sinCtanC-sinAcosBsinBcosA， 所以 sinCtanCsinAcosBsinBcosAsin（AB）sinC 又 0C，所以 sinC0， 所以 tanC1，所以 4 C ，所以 2 sin 2 C ， 所以ABC 的面积为 1126 sin13 2224 abC 选择，因为 4 cos 5 cBab， 所以由正弦定理得 4 sincossinsin 5 CBAB， 即 5sinCcosB-5sin（BC）5sinCcosB-（5sinBcosC5cosBsinC）4sinB， 所以 sinB（45cosC）0 又 0B，所以 s

21、inB0， 所以 4 cos 5 C ，所以 3 sin 5 C ， 所以ABC 的面积为 1133 3 sin13 22510 abC 18解： （1）由 10 （0.010.015a0.030.01）1 得 a0.035 这 160 人的平均年龄为 20 10 0.0130 10 0.01540 10 0.03550 10 0.0360 10 0.0141.5 （2）前 3 组人数为 10 （0.0100.0150.035） 16096， 由题意得 2 2 列联表： 通过短视频 APP 表达祝福 通过微信或微博表达祝福 合计 青少年 14 96 110 中老年 26 64 90 合计 40

22、 160 200 2 2 20014 6426 96 8.0816.635 40 160 110 90 K ， 所以有 99的把握认为是否通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关 19解： （1）设等差数列an的通项为 an-1（n-1）d（d 为等差数列的公差） ， 则 6 5 1511 149 ad ad ，解得2d ， 所以 an1-2n， 2 1 12 2 n nn Sn （2）当 n2 时， 12 2 111 35 222 n n SSSn， 121 21 111 32 222 n n SSSn ， 由-得， 1 3 2 n n S ，Sn3 2n， 当 n1 时， 1 1 8 2

23、S ，S116， 所以 32 ,2, 16,1. n n n S n 当 n1 时，a1S116；当 n2 时，a2S2-S112-16-4； 当 n3 时，anSn-Sn-13 2n-1， 所以 1 16,1, 4,2, 3 2,3. n n n an n 20 （1）证明：因为 ADAB， 1 1 2 ABADBC， 所以 BC2，2BD ， 因为2DC ，所以 BD2DC2BC2， 所以BDC90 ，即 BDCD 因为 AA1底面 ABCD， 所以 DD1底面 ABCD，所以 BDDD1 因为 DD1CDD，所以 BD平面 CDD1C1， 又 BD平面 BDD1B1，所以平面 BDD1B

24、1平面 CDD1C1 （2）解：如图，分别以 DB，DC，DD1为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 D-xyz， 则 D（0，0，0） ， 2,0,0B， 0,2,0C， 1 0,0,2D， 1 0,2,2C 所以 1 2,0, 2BD ， 11 0, 2,0DC ， 1 0, 2,2DC ， 设平面 CBD1的法向量为, ,mx y z， 则 1 1 220, 220, BD mxz DC myz 令 x1，得1,1,1m 设平面 C1BD1的法向量为, ,na b c， 则 1 11 220, 20, BD nac DCnb 令 a1，得1,0,1n ， 所以 26 cos, 3| |

25、32 m n m n mn ， 由图知二面角 C-BD1-C1为锐角， 所以二面角 C-BD1-C1所成角的余弦值为 6 3 21 （1）解：由题设，得 22 41 1 ab ，且 22 3ab， 由解得 a26，b23， 所以椭圆 C 的标准方程为 22 1 63 xy ， 椭圆 C 的离心率为 22 2 2 2 cab e aa （2）证明：设直线 PA 的斜率为 k，则直线 PB 的斜率为-k， 记 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 设直线 PA 的方程为 y1k（x2） ， 与椭圆 C 的方程联立，并消去 y 得（12k2）x2（8k2-4k）x8k2-8k-40， 则-2，x1是

26、该方程的两根， 则 2 1 2 884 2 12 kk x k ，即 2 1 2 442 12 kk x k 设直线 PB 的方程为 y1-k（x2） ， 同理得 2 2 2 442 12 kk x k 因为 y11k（x12） ，y21-k（x22） ， 所以 2 1212 12 121212 2 8 224 12 1 8 12 AB k k xk xk xxyy k k k xxxxxx k ， 因此直线 AB 的斜率为定值 22 （1）解：因为 1 ee xx axaax fx ， 若 a0， 当：x（1，）时，f（x）0，所以 f（x）在（1，）上为减函数； 当 x（-，1）时，f（x

27、）0，所以 f（x）在（-，1）上为增函数 若 a0， 当 x（1，）时，f（x）0，所以 f（x）在（1，）上为增函数； 当 x（-，1）时，f（x）0，所以 f（x）在（-，1）上为减函数 （2）证明：因为 a1，所以 1 eln x F xmx x ，x（0，） ， 则 22 11121 elneeln xxx Fxmxmx xxxxx ， 因为 ex0，所以 F（x）与 2 21 lnmx xx 同号 设 2 21 lnt xmx xx ，x（0，） ，则 2 3 22 xx tx x ， 所以对任意 x（0，） ，都有 t（x）0，所以 t（x）在（0，）上单调递增 因为 m（0，ln2） ，t（1）m10， 11 ln0 22 tm ， 所以存在 0 1 ,1 2 x ，使得 t（x0）0 当 0 1 , 2 xx 时，F（x）0，F（x）单调递减； 当 x（x0，1）时，F（x）0，F（x）单调递增； 所以若 m（0，ln2） ，存在 0 1 ,1 2 x ，使得 x0是 F（x）的极小值点 由 t（x0）0 得： 0 2 00 21 ln0mx xx ， 即 0 0 22 000 1212 ln0 x mx xxx 故 mlnx00