2020-2021学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期中数学试卷.docx

1、 第 1 页（共 18 页） 2020-2021 学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期中数学试卷学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期中数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （4 分）已知集合 2 |log1Axx，集合 | 11Bxx 剟，则(AB ) A 1，1 B 1，2) C(0，1 D(,2) 2 （4 分）设 0.7 3a ， 0.8 1 ( ) 3 b ， 0.7 log0.8c ，则a，b，c的大

2、小关系为( ) Aabc Bbac Cbca Dcab 3 （4 分）已知平面、，直线l，直线m不在平面上，下列说法正确的是( ) A若/ /，/ /m，则/ /lm B若/ /，m，则lm C若1/ /m，/ /，则/ /m D若lm，/ /m，则 4 （4 分）已知x，y满足约束条件 21 0 1 0 1 xy xy y ，则|32|Zxy的取值范围是( ) A0，7 B(1,7) C0，4 D1，4 5 （4 分）已知等比数列 n a的前n项和为 n S，若 123 111 2 aaa ， 2 2a ，则 3 (S ) A8 B7 C6 D4 6 （4 分）函数 2 () ( ) 1 x

3、x x ee f x x 的部分图象大致是( ) A B C D 7 （4 分）已知函数( ) |() xx f xxee，对于实数a，b， “0ab”是“f（a）f（b） 第 2 页（共 18 页） 0”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8 （4 分）已知函数( )2sin(2) 6 f xx ，将( )f x的图象上所有点向右平移(0) 个单位 长度，得到的图象关于直线 6 x 对称，则的最小值为( ) A 6 B 3 C 2 D 9 （4 分）已知线段AB是圆 22 :4C xy的一条动弦，且| 2 3AB ，若点P为直线 40 xy上的任

4、意一点，则|PAPB的最小值为( ) A2 21 B2 21 C4 22 D4 22 10 （4 分）已知数列 n a满足 0 0a ， 1 | |1|() ii aaiN ，则 20 1 | k k a 的值不可能是( ) A2 B4 C10 D14 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分分. 11 （6 分）复数 (12 ) 1 ii i 的虚部为 ，模为 12 （6 分）已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：)cm，则该几何体的体积（单位： 3) cm是 ；此几何体各个面中，面积的最大

5、值（单位： 2) cm为 13 （6 分）若 728 0128 (1)(1 2 )xxaa xa xa x，则 127 aaa的值是 ；在 上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，假设这三项均不相邻，则有 种不同的 取法 14 （6 分）已知数列 n a， n b满足： 1 1a ， 1nn aan ， 21nn ba ，则数列 n b ； 第 3 页（共 18 页） 记 n S为数列 n a的前n项和， 3124 SS 15 （4 分）函数( )sin()f xx的部分图象如图所示，则( )f x的单调递增区间为 16 （4 分）已知0 x ，0y ，则 2222 2 4 xyxy xy

6、xy 的最大值为 17 （4 分）四面体ABCD中，ABBC，CDBC，2BC ，且异面直线AB和CD所成 的角为60， 若四面体ABCD的外接球半径为5， 则四面体ABCD的体积的最大值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18 在ABC中 ， 内 角A，B，C的 对 边 分 别 为a，b，c， 若 222 2 s i ns i ns i ns i ns i n 3 ACBAC，2c （1）求sin B的值； （2）设D在BC边上，且2BDADDC，求ABC的面积 19如

7、图，在四棱锥SABCD中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，底面为直 角梯形且90ABC， 1 2 ABADBC，CDSD，点M是SA的中点 （1）求证：BD 平面SCD； （2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60，求SD与平面MBD所成角的正弦值 20已知数列 n a满足 * 11 1 ,(1)(1)21, 2 nnn aaaanN （1）求数列 n a的通项公式； （2）证明：对 * nN ， 12323412 1 12 nnn a a aa a aa aa 第 4 页（共 18 页） 21已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，且经过点(

8、3P ， 1 ) 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2） 设点M是椭圆C上位于第一象限内的动点，A，B分别为椭圆C的左顶点和下顶点， 直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，O为椭圆的中心，求三角形OCD的 面积的取值范围 22已知函数( )cos2 x f xex，( )fx为( )f x的导数 （1）当0 x时，求( )fx的最小值； （2）当 2 x 时， 2 cos20 x xexxaxx恒成立，求a的取值范围 第 5 页（共 18 页） 2020-2021 学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期中数学试卷学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案

9、与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （4 分）已知集合 2 |log1Axx，集合 | 11Bxx 剟，则(AB ) A 1，1 B 1，2) C(0，1 D(,2) 【解答】解：集合 2 |log1 |02Axxxx， 集合 | 11Bxx 剟， |01(0ABxx，1 故选：C 2 （4 分）设 0.7 3a ， 0.8 1 ( ) 3 b ， 0.7 log0.8c ，则a，b，c的大小关系为( )

10、Aabc Bbac Cbca Dcab 【解答】解： 0.7 3a ， 0.80.8 1 ( )3 3 b ， 则1ba， 0.70.7 log0.8log0.71， cab ， 故选：D 3 （4 分）已知平面、，直线l，直线m不在平面上，下列说法正确的是( ) A若/ /，/ /m，则/ /lm B若/ /，m，则lm C若1/ /m，/ /，则/ /m D若lm，/ /m，则 【解答】解：对于A，若/ /，/ /m，则/ /lm或l与m异面，故A错误； 对于B，若/ /，m，则m，又l，则lm，故B正确； 对于C，若1/ /m，/ /，则/ /m或m，故C错误； 对于D，若lm，/ /m

11、，则/ /或与相交，故D错误 故选：B 4 （4 分）已知x，y满足约束条件 21 0 1 0 1 xy xy y ，则|32|Zxy的取值范围是( ) 第 6 页（共 18 页） A0，7 B(1,7) C0，4 D1，4 【解答】解：如图可行域： 令32zxy，平移直线320 xy可知当直线过(0, 1)C时，z取得最大值 1， 经过( 2,1)B 时，z有最小值7，|32|Zxy，所以Z的取值范围：0，7 故选：A 5 （4 分）已知等比数列 n a的前n项和为 n S，若 123 111 2 aaa ， 2 2a ，则 3 (S ) A8 B7 C6 D4 【解答】解： 131233

12、2 1231322 1111 2 4 aaaaaS aaaa aaa ，则 3 8S 故选：A 6 （4 分）函数 2 () ( ) 1 xx x ee f x x 的部分图象大致是( ) A B C D 【解答】解：函数的定义域为 |1x x ， 2 () ()( ) 1 xx x ee fxf x x ，故函数( )f x为偶函 第 7 页（共 18 页） 数，其图象关于y轴对称，故排除A； 又 22 2() (2)0 3 ee f ，故排除BC； 故选：D 7 （4 分）已知函数( ) |() xx f xxee，对于实数a，b， “0ab”是“f（a）f（b） 0”的( ) A充分不必

13、要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：( ) |() xx f xxee， () |()|()( ) xxxx fxxeexeef x ，即函数( )f x是奇函数， 当0 x，( )f x为增函数， 则由0ab得ab ，此时f（a）()fbf （b） ，即f（a）f（b）0成立，即 充分性成立， 若f（a）f（b）0得f（a）f （b）()fb，则ab ，即0ab成立，即必 要性成立， 则“0ab”是“f（a）f（b）0”成立的充要条件， 故选：C 8 （4 分）已知函数( )2sin(2) 6 f xx ，将( )f x的图象上所有点向右平移(0) 个单

14、位 长度，得到的图象关于直线 6 x 对称，则的最小值为( ) A 6 B 3 C 2 D 【解答】解：函数( )2sin(2) 6 f xx ， 将( )f x的图象上所有点向右平移(0) 个单位长度， 得()2sin2()2sin(22) 66 yf xxx ； 又函数y的图象关于直线 6 x 对称， 即22 662 k ，kZ； 解得 1 2 k ，kZ； 第 8 页（共 18 页） 又0，所以的最小值为 2 故选：C 9 （4 分）已知线段AB是圆 22 :4C xy的一条动弦，且| 2 3AB ，若点P为直线 40 xy上的任意一点，则|PAPB的最小值为( ) A2 21 B2 2

15、1 C4 22 D4 22 【解答】解：如图， P为直线40 xy上的任意一点， 过原点O作ODAB，由| 2 3AB ，可得| 1CD ， | | 1PDOP，则 | 4| |12 21 2 min PD 则| | 2| 2|PAPBPOOAPOOBPOODPD， |PAPB的最小值为4 22 故选：C 10 （4 分）已知数列 n a满足 0 0a ， 1 | |1|() ii aaiN ，则 20 1 | k k a 的值不可能是( ) A2 B4 C10 D14 【解答】解： 1 | |1| ii aa ，两边平方可得 22 1 21 iii aaa ， 由 22 100 2100 1

16、aaa ， 22 211 21aaa， 22 322 21aaa， 22 212020 21aaa， 上面的式子累加可得 2 211220 2()21aaaa， 第 9 页（共 18 页） 则 2 20 21 1 21 | | 2 k k a a ， 若 2 21 21 | 2 2 a ，可得 21 5a ，故A可能； 若 2 21 21 | 4 2 a ，可得 21 a不为整数，故B不可能； 若 2 21 21 | 10 2 a ，可得 21 1a ，故C可能； 若 2 21 21 | 14 2 a ，可得 21 7a ，故D可能 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题

17、，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分分. 11 （6 分）复数 (12 ) 1 ii i 的虚部为 3 2 ，模为 【解答】解： 2 (12 )2( 2)(1)2213 11(1)(1)222 iiiiiiii i iiii ， 复数 (12 ) 1 ii i 的虚部为 3 2 ， 22 (12 )131310 | |()( ) 122222 ii i i 故答案为： 3 2 ； 10 2 12 （6 分）已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：)cm，则该几何体的体积（单位： 3) cm是 16 3 ；此几何体各个面中，面积的最大值（单位

18、： 2) cm为 【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体EABCD 如图所示： 第 10 页（共 18 页） 所以 116 242 33 EABCD V ， 22 1 4224 2 2 ADE S 故答案为：16;4 2 3 13 （6 分）若 728 0128 (1)(1 2 )xxaa xa xa x，则 127 aaa的值是 125 ； 在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，假设这三项均不相邻，则有 种不同 的取法 【解答】解： 728 0128 (1)(1 2 )xxaa xa xa x， 77 87 ( 2)128aC 令0 x ，得 7 0 (1

19、0)(1 0)a，即 0 1a ； 令1x ，得 7 01278 (1 1)(1 2)2aaaaa， 12708 221 128125aaaaa 在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，有 3 9 84C 种不同取法， 三项均相邻，有 7 种不同的取法， 两项相邻，有266542种不同的取法， 故三项均不相邻有8474235种不同的取法 故答案为：125；35 14 （6 分）已知数列 n a， n b满足： 1 1a ， 1nn aan ， 21nn ba ，则数列 n b n ； 记 n S为数列 n a的前n项和， 3124 SS 【解答】解： 1 1a ， 1nn aan ，可得

20、 21 10aa ， 将n换为1n可得 1 1 nn aan ，2n， 第 11 页（共 18 页） 又 1nn aan ，相减可得 11 1 nn aa ， 可得 n a的奇数项和偶数项均为公差为 1 的等差数列，可得 21 1(1) nn bann ； 2 011 n ann ， 则 312425262728293031 SSaaaaaaa 25272931262830 ()()(13141516)(121314)aaaaaaa 583997 故答案为：n，97 15（4 分） 函数( )sin()f xx的部分图象如图所示， 则( )f x的单调递增区间为 5 2 4 k ， 1 2 4

21、 k ，kZ 【解答】解：根据函数( )sin()f xx的部分图象，可得 1 251 244 ， 再根据五点法作图，可得 1 4 ， 3 4 ， 3 ( )sin() 4 f xx 令 3 22 242 kxk 剟，kZ，解得 51 22 44 kxk剟，kZ， 故函数的增区间为 5 2 4 k ， 1 2 4 k ，kZ 故答案为： 5 2 4 k ， 1 2 4 k ，kZ 16 （4 分）已知0 x ，0y ，则 2222 2 4 xyxy xyxy 的最大值为 2 2 3 【解答】解：因为0 x ，0y ， 令 2xy t yx ， 则2 2t， 所以 1 yt t 在2 2，)上单

22、调递增， 9 2 4 y， 则 第 12 页（共 18 页） 33 22222242242 2 22 362 3() 2363332 2 21 4454139 2 ()1 5 4 xyxy xyxyx yxytyxyx xy xyxyxyxx yyt t yxt yx ， 当且仅当 1 t t 即1t 时取等号， 故答案为： 2 2 3 17 （4 分）四面体ABCD中，ABBC，CDBC，2BC ，且异面直线AB和CD所成 的角为60，若四面体ABCD的外接球半径为5，则四面体ABCD的体积的最大值为 2 3 【解答】解：四面体ABCD中，ABBC，CDBC，2BC ，且异面直线AB和CD所

23、 成的角为60， 构建直三棱柱ABECDF，设G，H分别为ABE，CDF的外心，连结GH，取其中点 O， 则O为直三棱柱ABECDF的外接球的球心，也是四面体ABCD的外接球的球心， 异面直线AB与CD所成角为60，60ABE， 设三棱柱底面ABE的外接圆半径为r，则512r ， 2 sin602 3AEr ， 由余弦定理得： 222 2cos60AEABBEAB BE， 22 12ABBEAB BE， 22 122ABBEAB BEAB BEAB BEAB BE， 四面体ABCD的体积： 1113 sin602 3 3326 A BCDABE CDF VVABBEBCABBE 四面体ABCD

24、的体积的最大值为2 3 故答案为：2 3 第 13 页（共 18 页） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18 在ABC中 ， 内 角A，B，C的 对 边 分 别 为a，b，c， 若 222 2 s i ns i ns i ns i ns i n 3 ACBAC，2c （1）求sin B的值； （2）设D在BC边上，且2BDADDC，求ABC的面积 【解答】解： （1）ABC中， 222 2 sinsinsinsinsin 3 ACBAC， 由正弦定理得， 222 2 3

25、acbac， 所以 222 2 1 3 cos 223 ac acb B acac ； 又(0, )B， 所以 22 12 2 sin1sin1( ) 33 BB； （2）如图所示， 设2BDADDCx，由2cAB， 利用余弦定理得， 222 2cosADABBDAB BDB， 即 222 1 222 3 xxx， 解得3x ， 13 22 CDx， 所以ABC的面积为 第 14 页（共 18 页） 1132 2 sin2(3)3 2 2223 ABC SAB BCB 19如图，在四棱锥SABCD中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，底面为直 角梯形且90ABC， 1 2 ABADB

26、C，CDSD，点M是SA的中点 （1）求证：BD 平面SCD； （2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60，求SD与平面MBD所成角的正弦值 【解答】 （1）证明：取BC的中点E，连接DE， 设ABa，则ADa，2BCa， 1 2 BEBCa， 90ABC，/ /ADBE，ADBE， 四边形ABED是正方形， 2BDa，DEBC，DECEa， 2CDa， 222 BDCDBC，故BDCD， 平面SCD 平面ABCD， 平面SCD平面ABCDCD，BD平面ABCD，BDCD， BD平面SCD （2）解：过S作SNCD，交CD延长线于N， 平面SCD 平面ABCD，平面SCD平面ABCDCD，S

27、N 平面SCD，SNCD， SN平面ABCD， SDN为直线SD与底面ABCD所成的角，故60SDN， 2SDCDa， 2 2 a DN， 6 2 a SN ， 以D为原点，以DB，DC，及平面ABCD的过点D的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系 Dxyz，如图所示， 则( 2Ba，0，0)，(0D，0，0)， 2 ( 2 Aa， 2 2 a，0)，(0S， 2 2 a， 6 ) 2 a， 第 15 页（共 18 页） M是SA的中点， 2 ( 4 Ma， 2 2 a， 6 ) 4 a， (0DS ， 2 2 a， 6 ) 2 a，( 2DBa，0，0)， 2 ( 4 DMa， 2 2 a， 6

28、) 4 a， 设平面MBD的法向量为(nx，y，) z，则 0 0 n DB n DM ，即 20 226 0 424 ax axayaz ， 令2z 可得(0n ，3，2)， cosn， 6 21 2 14|72 a n DS DS nDSa ， SD与平面MBD所成角的正弦值为|cosn， 21 | 14 DS 20已知数列 n a满足 * 11 1 ,(1)(1)21, 2 nnn aaaanN （1）求数列 n a的通项公式； （2）证明：对 * nN ， 12323412 1 12 nnn a a aa a aa aa 【解答】解： （1）由 * 11 1 ,(1)(1)21, 2

29、nnn aaaanN ， 可得 1 1 n n n a a a ， 由 1 0a ，可得0 n a ， 则 1 11 1 nn aa ， 即 1 11 1 nn aa ， 所以 1 n a 是首项为 2，公差为 1 的等差数列， 第 16 页（共 18 页） 则 1 211 n nn a ，即 1 1 n a n ； （2）证明： 1 1 n a n ，对1k ，2，3， 12 1 (1)(2)(3) kkk a aa kkk 111 2 (1)(2)(2)(3)kkkk ， 所以 12323412 1111111 2 2 33 43 44 5(1)(2)(2)(3) nnn a a aa a

30、 aa aa nnnn 111111 2 2 3(2)(3)122(2)(3)12nnnn 21已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，且经过点(3P ， 1 ) 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2） 设点M是椭圆C上位于第一象限内的动点，A，B分别为椭圆C的左顶点和下顶点， 直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，O为椭圆的中心，求三角形OCD的 面积的取值范围 【解答】解： （1）由题意 22 3 2 31 1 4 c a ab ，结合 222 abc， 解得 2 4a ， 2 1b ， 2 3c ， 故，椭圆C的标准方程为： 2 2 1 4

31、x y ； （2）设 0 (M x， 0) y， 0 0 x ， 0 0y ，( 2,0)a ，(0, 1)B， 直线MA的方程为： 0 0 (2) 2 y yx x ，令0 x ，得 0 0 2 (0,) 2 y D x ， 直线MB的方程为： 0 0 1 1 y yx x ，令0 x ，得 0 0 ( 1 x C y ，0)， 第 17 页（共 18 页） 所以三角形OCD的面积 0000 000000 1 | 2(2)(1)22 x yx y SOC OD xyx yxy ， 令 00 2xyt，则 2222 00000000 (2)4444txyxyx yx y， 2 00 4 4 t

32、 x y ， 2 2 4 4 4 1 42 2 4 t S tt t 令 00 2cos ,sin ,(0,) 2 xy ， 则2cos2sin2 2sin() 4 t ， (0,) 2 ， 3 (,) 444 ， 2 sin()( 42 ，1 函数 4 1 2 S t 在(2，2 2单调递增，(0,32 2S 三角形OCD的面积的取值范围为(0，32 2 22已知函数( )cos2 x f xex，( )fx为( )f x的导数 （1）当0 x时，求( )fx的最小值； （2）当 2 x 时， 2 cos20 x xexxaxx恒成立，求a的取值范围 【解答】解： （1）( )sin x f

33、xex，令( )sin x g xex，0 x，则( )cos x g xex 当0 x，)时，( )g x为增函数，( )(0)0g xg； 当x，)时，( )10g xe 故0 x时，( ) 0g x，( )g x为增函数， 故( )(0)1 min g xg，即( )fx的最小值为 1 （2）令( )cos2 x h xexax，( )sin x h xexa，则 2 x 时，( ) 0 x h x 恒成立 当1a时，若0 x，则由（1）可知，( ) 10h xa厖， 所以( )h x为增函数，故( )(0)0h xh恒成立，即( ) 0 x h x 恒成立； 若,0 2 x ，则( )

34、cos x h xex， ( )sin x hxex在,0 2 上为增函数， 第 18 页（共 18 页） 又(0)1 h ， 2 ()10 2 he ， 故存在唯一 0 (,0) 2 x ，使得 0 ()0hx 当 0 (,) 2 xx 时，( )0hx，( )h x为减函数； 0 (xx，0)时，( ) 0hx，( )h x为增函数 又 2 ()0 2 he ，(0)0 h ， 故存在唯一 1 (,0) 2 x 使得 1 ()0hx 故 1 (,) 2 xx 时， 1 ()0hx，( )h x为增函数； 1 (xx，0)时， 1 ()0hx，( )h x为减函数 又 2 ()10 2 hea ，(0)10ha ， 所以,0 2 x 时，( )0h x，( )h x为增函数， 故( )(0)0h xh，即( ) 0 x h x 恒成立； 当1a 时，由（1）可知( )sin x h xexa在0，)上为增函数， 且(0)10ha ， 1 (1)10 a haea ， 故存在唯一 2 (0,)x ，使得 2 ()0h x 则当 2 (0,)xx时，( )0h x，( )h x为减函数， 所以( )(0)0h xh，此时( )0 x h x ，与( ) 0 x h x 恒成立矛盾 综上所述，1a