2020-2021学年山东省聊城市高三（上）期中数学试卷.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 2020-2021 学年山东省聊城市高三（上）期中数学试卷学年山东省聊城市高三（上）期中数学试卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 |10Ax x ， |21 x By y，则(AB ) A(1,) B( 1,) C(, 1) D(,1) 2 （5 分）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数” ，若复数 1 2 ai z i 为“等部复数” ，则实数a的

2、值为( ) A1 B0 C1 D2 3 （5 分）已知条件 2 :20p xx，条件:q xa，若p是q的必要不充分条件，则a的取 值范围是( ) A1a B1a C2a D2a 4 （5 分）已知函数( )yf x的图象如图所示，则此函数可能是( ) A( )cosf xx lnx B( )cos|f xx ln x C( )cos|f xx ln x D( ) |cos|f xxlnx 5 （5 分）刘微是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当n很大时，用 圆内接正n边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率3.1416在九 章算术注中总结出“割之弥细，所失弥少，割

3、之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无 所失矣”的极限思想运用此思想，当取 3.1416 时可得sin1的近似值为( ) A0.00873 B0.01745 C0.02618 D0.03491 6（5 分） 函数( )sin()(0f xx ，|) 2 的图象如图所示， 为了得到( )sin(3) 4 g xx 的图象，只需将( )f x的图象( ) 第 2 页（共 19 页） A向右平移 6 个单位长度 B向左平移 6 个单位长度 C向右平移 2 个单位长度 D向左平移 2 个单位长度 7 （5 分）若函数( )f x为定义在R上的偶函数，且在(0,)内是增函数，又f（2）0， 则不等式(1

4、)0 xf x的解集为( ) A(，2)(0，2) B( 1，1)(3，) C( 1，0)(3，) D( 2，0)(2，) 8 （5 分）已知a，bR， x eaxb对任意的xR恒成立，则ab的最大值为( ) A 1 e B1 C2 D 2 e 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知a，bR，下列说法正确的有( )

5、A若ab，则 22 11 ab B若ab，则 33 ab C若1ab ，则2ab D若 22 1ab，则 1 2 ab 10 （5 分）某大学进行强基计划招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试学 校对参加测试的 200 名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排 名其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示： 则下面判断中一定正确的是( ) A甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 第 3 页（共 19 页） B乙同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前 C甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前 D甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩

6、排名中，丙同学更靠前 11 （5 分）已知向量 1 e， 2 e是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一 点P，当 12 OPxeye时，则称有序实数对( , )x y为点P的广义坐标若点A、B的广义 坐标分别为 1 (x， 12 )(yx， 2) y，关于下列命题正确的是( ) A线段A、B的中点的广义坐标为 1212 (,) 22 xxyy BA、B两点间的距离为 22 1212 ()()xxyy C向量OA平行于向量OB的充要条件是 1221 x yx y D向量OA垂直于OB的充要条件是 1221 0 x yx y 12（5 分） 已知ABC的内角A，B，C的对边长a，b，c成

7、等比数列， 1 cos()cos 2 ACB， 延长BA至D则下面结论正确的是( ) A 6 A B 3 B C若3CD ，则ACD 周长的最大值为2 33 D若4BD ，则ACD 面积的最大值为3 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13（5 分） 若曲线( )sinf xxx在 2 x 处的切线与直线10axy 平行， 则实数a 14 （5 分）已知ABC中，1AC ，3BC ，2AB ，点M是线段AB的中点，则 CM CA 15 （5 分）2020 年疫情期间，某医院 30 天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数 列 n

8、 a，已知 1 1a ， 2 2a ，且满足 2 1 ( 1)n nn aa ，则该医院 30 天内因患新冠肺炎就 诊的人数共有 16 （5 分）设 |,03 ( ) (6),36 lnxx f x fxx ，若方程( )f xm有四个不相等的实根(1 i x i ，2， 第 4 页（共 19 页） 3，4)，则m的取值范围为 ； 2222 1234 xxxx的最小值为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（10 分） 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c，(cosc

9、os)()cosaBCbcA， 10 3 ABC S （1）若ABC还同时满足下列三个条件中的两个：7a ，10b ，8c ，请指出这 两个条件，并说明理由； （2）若2 6a ，求ABC的周长 18 （12 分） n S为等差数列 n a的前n项和，且 1 2a ， 7 35S ，记 nn blga，其中 x表 示不超过x的最大整数，如0.90， 991lg （1）求 1 b， 11 b， 101 b； （2）求数列 n b的前 2020 项和 19 （12 分）已知函数 3 ( )log (31)() x f xkx kR是偶函数 （1）求k的值； （2）若不等式 1 ( )0 2 f x

10、xa 对0 x，)恒成立，求实数a的取值范围 20 （12 分）已知函数( )2sin()(0f xx ，|) 2 的图象与直线2y 两相邻交点之 间的距离为，且图象关于 12 x 对称 （1）求( )yf x的解析式； （2）令函数( )( )1g xf x，且( )yg x在0，a上恰有 10 个零点，求a的取值范围 21 （12 分）某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在 2021 年利用新技术生产某款智 能手机通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本 200 万元，每生产x（千部）手 机，需另投入成本( )P x万元，且 2 5100 ,050 ( ) 8100 50110380

11、,50 xxx P x xx x ，由市场调研知，每部手 机售价 5000 元，且全年内生产的手机若不超过 100（千部）则当年能全部销售完 （1）求出 2021 年的利润y（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润销售额 成本） ； （2）2021 年年产量x（千部）为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 第 5 页（共 19 页） 22 （12 分）已知函数( )1sin () x f xeax aR （1）当1a 时，判断( )f x在(0,)的单调性； （2）当0 x，时，( ) 0f x 恒成立，求实数a的取值范围 第 6 页（共 19 页） 2020-2021 学年山东省

12、聊城市高三（上）期中数学试卷学年山东省聊城市高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 |10Ax x ， |21 x By y，则(AB ) A(1,) B( 1,) C(, 1) D(,1) 【解答】解： |1Ax x， |1By y ； ( 1,)AB 故选：B 2 （5 分）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数” ，若复数

13、 1 2 ai z i 为“等部复数” ，则实数a的值为( ) A1 B0 C1 D2 【解答】解： 2 1(1)1 2222 aiai ia zi ii ， 复数 1 2 ai z i 为“等部复数” 1a 1a 故选：A 3 （5 分）已知条件 2 :20p xx，条件:q xa，若p是q的必要不充分条件，则a的取 值范围是( ) A1a B1a C2a D2a 【解答】解：条件 2 :20p xx，解得1x 或2x 条件:q xa， p是q的必要不充分条件， 2a 故选：D 4 （5 分）已知函数( )yf x的图象如图所示，则此函数可能是( ) 第 7 页（共 19 页） A( )co

14、sf xx lnx B( )cos|f xx ln x C( )cos|f xx ln x D( ) |cos|f xxlnx 【解答】 解： 由图象可知函数为偶函数， 其定义域为(，0)(0，)， 函数的值域(,) ， 故可排除AD， 对于B，当 6 x 时，()cos| 0 666 fln ，当1x 时，f（1）0，故B不符合， 对于C，当 6 x 时，()cos| 0 666 fln ，当1x 时，f（1）0，故C符合， 故选：C 5 （5 分）刘微是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当n很大时，用 圆内接正n边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率3.141

15、6在九 章算术注中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无 所失矣”的极限思想运用此思想，当取 3.1416 时可得sin1的近似值为( ) A0.00873 B0.01745 C0.02618 D0.03491 【解答】解：将一个单位圆分成 180 个扇形， 则每个扇形的圆心角度数均为2 由垂径定理，可得每个圆心角所对的弦长22 1 sin12sin1ABAC ， 这 180 个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长， 1802 1 sin1360sin12 ， 223.1416 sin10.01745 360360 故选：B 第 8 页（共 19 页） 6（5 分

16、） 函数( )sin()(0f xx ，|) 2 的图象如图所示， 为了得到( )sin(3) 4 g xx 的图象，只需将( )f x的图象( ) A向右平移 6 个单位长度 B向左平移 6 个单位长度 C向右平移 2 个单位长度 D向左平移 2 个单位长度 【解答】解：由函数( )sin()f xx的图象知， 5 41246 T ，解得 2 3 T ， 所以 22 3 2 3 T ； 又 5 sin(3)1 12 ，且| 2 ， 所以 4 ， 所以( )sin(3) 4 f xx ， 又函数( )sin(3)sin3() 464 g xxx ， 所以将函数( )f x的图象向右平移 6 个

17、单位即可 故选：A 7 （5 分）若函数( )f x为定义在R上的偶函数，且在(0,)内是增函数，又f（2）0， 则不等式(1)0 xf x的解集为( ) A(，2)(0，2) B( 1，1)(3，) C( 1，0)(3，) D( 2，0)(2，) 【解答】解：根据题意，函数( )f x在(0,)内是增函数且f（2）0， 则在区间(0,2)上，( )0f x ，在区间(2,)上，( )0f x ， 又由( )f x为偶函数，则在区间( 2,0)上，( )0f x ，在区间(, 2) 上，( )0f x ， 0 (1)0 (1)0 x xf x f x 或 0 (1)0 x f x ，则有10

18、x 或3x ， 第 9 页（共 19 页） 即不等式的解集为( 1，0)(3，)， 故选：C 8 （5 分）已知a，bR， x eaxb对任意的xR恒成立，则ab的最大值为( ) A 1 e B1 C2 D 2 e 【解答】解：若0a ，则yaxb单调递减， x ye单调递增， 不能满足且 x eaxb对xR恒成立，故而0a 若0a ，则0ab 若0a ，由 x eaxb得 x b eax，则 2x ab aea x 设函数 2 ( ) x f xaea x， 2 ( )() xx f xaeaa ea ， 令( )0fx得0 x ea，解得xlna， 当xlna时，( )0fx ，函数( )

19、f x递减； 当xlna时，( )0fx，函数( )f x递增； 当xlna时，函数( )f x取最小值，( )f x的最小值为 22 ()f lnaaa lna 设g（a） 22 (0)aa lna a，g（a）(12)(0)alna a， 由g（a）0得ae， 当0ae时，g（a）0，当ae时，g（a）0 当ae时，()ge取得最大值 1 () 22 e geee ab的最大值为 2 e 故选：D 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得多项

20、符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）已知a，bR，下列说法正确的有( ) A若ab，则 22 11 ab B若ab，则 33 ab C若1ab ，则2ab D若 22 1ab，则 1 2 ab 第 10 页（共 19 页） 【解答】解：对于A：由于ab，所以 22 222222 11()()baab ba aba ba b 不能确定正负，故A 错误 对于B：由于ab，所以 2 332 3 ()()0 24 bb ababa，故B正确； 对于C：当a和b为正数，且1ab 时，22abab， （当且仅当ab时，等

21、号成立） ， 故C错误； 对于D：由于 22 1ab，所以 22 12abab，整理得 1 2 ab，故D正确 故选：BD 10 （5 分）某大学进行强基计划招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试学 校对参加测试的 200 名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排 名其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示： 则下面判断中一定正确的是( ) A甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 B乙同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前 C甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前 D甲、乙、丙三位同学的阅读表达成绩排名中，丙同学更靠前 【

22、解答】对于A，甲同学的逻辑思维能力比较靠前，但是总成绩比较靠后，说明甲同学的 逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前，故A正确 对于B，乙同学的总排名比较靠前，但是他的逻辑思维排名比较靠后，说明他的阅读表达 排名比逻辑排名成绩更靠前，故B正确 对于C，甲乙丙三位同学的逻辑思维排名顺序是甲，丙，乙，故甲同学最靠前故C正确 对于D，丙同学的阅读表达和逻辑思维排名居中，故总成绩排名也居中，但是乙同学的总 成绩比居中靠前，故乙同学的阅读表达成绩比丙同学的阅读表达成绩排名更靠前， 故D错误 第 11 页（共 19 页） 故选：ABC 11 （5 分）已知向量 1 e， 2 e是平面内的一组基向量，

23、O为内的定点，对于内任意一 点P，当 12 OPxeye时，则称有序实数对( , )x y为点P的广义坐标若点A、B的广义 坐标分别为 1 (x， 12 )(yx， 2) y，关于下列命题正确的是( ) A线段A、B的中点的广义坐标为 1212 (,) 22 xxyy BA、B两点间的距离为 22 1212 ()()xxyy C向量OA平行于向量OB的充要条件是 1221 x yx y D向量OA垂直于OB的充要条件是 1221 0 x yx y 【解答】解：根据题意得，由中点坐标公式知A正确； 只有平面直角坐标系中两点间的距离公式B才正确，未必是平面直角坐标系因此B错误； 由向量平行的充要条

24、件得C正确； 当向量 1 e， 2 e是相互垂直的单位向量时，OA与OB垂直的充要条件为 1212 0 x xy y，因此 D不正确； 故选：AC 12（5 分） 已知ABC的内角A，B，C的对边长a，b，c成等比数列， 1 cos()cos 2 ACB， 延长BA至D则下面结论正确的是( ) A 6 A B 3 B C若3CD ，则ACD 周长的最大值为2 33 D若4BD ，则ACD 面积的最大值为3 【解答】解：B在ABC中，ABC，则ACB， 由 1 cos()cos 2 ACB，知 1 cos()cos() 2 ACAC， 所以 1 coscossinsincoscossinsin

25、2 ACACACAC， 所以 1 coscos 4 AC 第 12 页（共 19 页） 由a，b，c成等比数列知 2 bac， 由正弦定理边化角，得 2 sinsinsinBAC 得 1 sin2coscossinsincos()cos 4 BACACACB ， 所以 1 sin2cos 4 BB又因为 22 sincos1BB， 所以 3 cos2cos0 4 BB，解得 1 cos 2 B 或 3 cos 2 B （舍)， 所以 3 B ，故B正确； A由，得 2 1 sincoscossinsincos() 4 BACACAC， 所以 2 13 cos()()1 42 AC，所以AC，

26、故ABC为正三角形，如图所示： 则abc， 3 A ，故A错误； C由于在ACD中，由余弦定理 222 2cosCDACADAC ADDAC， 可得 22 923ACADAC ADAC ADAC ADAC AD， 解得3AC AD，当且仅当ACAD等号成立， 所以 222 9()ACADAC ADACADAC AD， 可得 2 ()912ACADAC AD，解得2 3ACAD，当且仅当ACAD等号成立， 所以ACD周长的最大值为2 33，故C正确； D由于 1133 3 sin3 2224 ACD SAC ADDAC ，当且仅当ACAD等号成立， 即 2 11333 sin(4)3 22244

27、 ACD SACADDACACADaaaa ， 所以当 3 2 3 2() 4 a 时， ACD S取最大值，最大值为3，故D正确 故选：BCD 第 13 页（共 19 页） 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13（5 分） 若曲线( )sinf xxx在 2 x 处的切线与直线10axy 平行， 则实数a 1 【解答】解：由( )sinf xxx，得( )sincosfxxxx， ()sincos1 2222 f ， 直线10axy 的斜率为a， 曲线( )sinf xxx在 2 x 处的切线与直线10axy 平行， 1a 故答

28、案为：1 14（5 分） 已知ABC中，1AC ，3BC ，2AB ， 点M是线段AB的中点， 则CM CA 1 2 【解答】解：ABC中，1AC ，3BC ，2AB ， 可得 222 ACBCAB，所以0CA CB ， 点M是线段AB的中点， 则 2111 () 222 CM CACACB CACA， 故答案为： 1 2 15 （5 分）2020 年疫情期间，某医院 30 天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数 列 n a，已知 1 1a ， 2 2a ，且满足 2 1 ( 1)n nn aa ，则该医院 30 天内因患新冠肺炎就 诊的人数共有 255 【解答】解：当n为奇数时： 2

29、2 nn aa （常数） ，该数列的奇数项为等差数列 当n为偶数时， 2nn aa ，该数列为常数列； 所以 122930 15 14 15 1 1522255 2 aaaa 故答案为：255 第 14 页（共 19 页） 16 （5 分）设 |,03 ( ) (6),36 lnxx f x fxx ，若方程( )f xm有四个不相等的实根(1 i x i ，2， 3，4)，则m的取值范围为 (0,3)ln ； 2222 1234 xxxx的最小值为 【解答】解：当36x时，( )(6)f xfx，函数( )f x关于直线3x 对称， 画出函数( )f x的图象，如图所示 ， 方程( )f x

30、m有四个不相等的实根， 函数( )f x与ym有 4 个交点， 由函数( )f x的图象可知03mln， 即m的取值范围为：(0,3)ln， 由函数( )f x的图象可知： 14 6xx， 23 6xx，且 1 lnxm ， 2 lnxm， 1 m xe， 2 m xe， 3 6 m xe， 4 6 m xe， 2222222222 1234 (6)(6)2212()72 mmmmmmmm xxxxeeeeeeee ， 令 mm tee， 03mln，13 m e ， 10 2 3 t ， 又 22222 1234 21268xxxxtt， 当3t 时， 2222 1234 xxxx的值最小，

31、最小值为 50， 第 15 页（共 19 页） 故答案为：(0,3)ln，50 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（10 分） 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c，(coscos)()cosaBCbcA， 10 3 ABC S （1）若ABC还同时满足下列三个条件中的两个：7a ，10b ，8c ，请指出这 两个条件，并说明理由； （2）若2 6a ，求ABC的周长 【解答】解： （1）因为(coscos)()cosaBCbcA， 所以sin (coscos)(s

32、insin)cosABCBCA， 所以sin()sin()ABCA， 又因为A，B，(0, )C， 所以ABCA，即2ABC， 所以 3 A ， 因为10 3 ABC S， 所以 113 sin10 3 222 ABC SbcAbc ，解得40bc 选择条件，因为 sinsin ab AB ， 所以 710 sin3 2 B ，所以 5 3 sin1 7 B ，这不可能，所以ABC不能同时满足； 选择条件，这与40bc 矛盾，所以ABC不能同时满足； 选择条件， 因为 222 2cosabcbcA， 所以 222 7828cos 3 bb ， 所以3b ， 或5b ， 又因为40bc ，所以5

33、b ，所以ABC同时满足 （2）由 22222 (2 6)2cos()3()120 3 bcbcbcbcbc ， 所以12bc， 所以ABC周长为122 6 18 （12 分） n S为等差数列 n a的前n项和，且 1 2a ， 7 35S ，记 nn blga，其中 x表 第 16 页（共 19 页） 示不超过x的最大整数，如0.90， 991lg （1）求 1 b， 11 b， 101 b； （2）求数列 n b的前 2020 项和 【解答】解： （1）由题设知： 17 74 7() 735 2 aa Sa ， 4 5a， 又 1 2a ，公差 41 1 3 aa d ， 1 n an，

34、 又(1) nn blgalg n， 1 0b， 11 1b ， 101 2b； （2）由（1）可知：当8n时，29 n a剟，0 n b ； 当998n剟时，1099 n a剟，1 n b ； 当99998n剟时，100999 n a剟，2 n b ； 当9992020n剟时，10002021 n a剟，3 n b ， 2020 081 9029003 10224956T 19 （12 分）已知函数 3 ( )log (31)() x f xkx kR是偶函数 （1）求k的值； （2）若不等式 1 ( )0 2 f xxa 对0 x，)恒成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）因为(

35、)yf x为偶函数，所以对任意的xR，()( )fxf x， 即 33 log (31)log (31) xx kxkx ， 于是 3333 31 2log (31)log (31)loglog 3 31 x xx x kx x x ， 而x不恒为 0，所以21k ，即 1 2 k ； （2）因为 1 ( )0 2 f xxa 对0 x，)恒成立， 即 3 log (31) x ax对0 x，)恒成立， 可令 33 ( )log (31)log (31) xx g xx ， 因为 1 112 3x ，所以 33 ( )log (31) log 2 x g x ，所以 3 log 2a， 即a的

36、范围是 3 log 2，) 第 17 页（共 19 页） 20 （12 分）已知函数( )2sin()(0f xx ，|) 2 的图象与直线2y 两相邻交点之 间的距离为，且图象关于 12 x 对称 （1）求( )yf x的解析式； （2）令函数( )( )1g xf x，且( )yg x在0，a上恰有 10 个零点，求a的取值范围 【解答】解： （1）由已知可得T， 2 ，2， 又函数( )f x的图象关于 12 x 对称， 2 122 k ，kZ， 22 ， 3 ， ( )2sin(2) 3 f xx （2）令( )0g x 得： 1 sin(2) 32 x ， 要使( )yg x在0，a

37、上恰有 10 个零点，则52252 636 a ， 解得：19 65 412 a ， 所以a的取值范围为： 1965 ,) 412 21 （12 分）某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在 2021 年利用新技术生产某款智 能手机通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本 200 万元，每生产x（千部）手 机，需另投入成本( )P x万元，且 2 5100 ,050 ( ) 8100 50110380,50 xxx P x xx x ，由市场调研知，每部手 机售价 5000 元，且全年内生产的手机若不超过 100（千部）则当年能全部销售完 （1）求出 2021 年的利润y（万元）关于年产量

38、x（千部）的函数关系式（利润销售额 成本） ； （2）2021 年年产量x（千部）为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解： （1）当050 x时， 22 500(5100 )2005400200yxxxxx； 当50100 x剟时， 81008100 500(50110380)200()10180yxxx xx 第 18 页（共 19 页） 2 5400200,050 8100 ()10180,50100 xxx y xx x 剟 ； （2）若050 x，则 22 54002005(40)7800yxxx， 当40 x 时，7800 max y万元； 当50100 x剟时，

39、8100 ()10180 101802 810010000yx x ， 当且仅当 8100 x x ，即90 x 时，10000 max y万元 2021年年产量为 90 千部时，企业所获利润最大，最大利润是 10000 万元 22 （12 分）已知函数( )1sin () x f xeax aR （1）当1a 时，判断( )f x在(0,)的单调性； （2）当0 x，时，( ) 0f x 恒成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）1a 时，( )1 sin x f xex ，故( )cos x f xex， 当(0,)x时，1 x e ，cos1x，故( )0fx， ( )f x在(0

40、,)递增； （2）( )1sin () x f xeax aR ， ( )cos x f xeax ， 设( )( )h xfx，( )sin x h xeax， 当0a即0a 时，0 x，sin0 x， sin0ax，而1 0 x e ，1sin0 x eax ， 即( ) 0f x 恒成立， 当01a 时，( ) 0h x， 故( )fx在0，递增，而(0)10fa ， 故( )(0)0fxf，故( )f x在0，递增， 即( )(0)0f xf成立， 当1a 时，( )sin0 x h xeax， 故( )fx在0，递增，而(0)10fa ，()0 2 f ， 第 19 页（共 19 页） 故存在 0 0 x ，有 0 ()0fx， 当 0 0 xx时，( )0fx，( )f x递减， 当 0 xx时，( )0fx，( )f x递增， 故 0 xx时，( )f x取最小值，最小值是 0 ()f x， 而 0 ()(0)0f xf，不成立， 综上：实数a的取值范围是(，1