2020-2021学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高三（上）期中数学试卷.docx

1、 第 1 页（共 18 页） 2020-2021 学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高三（上）学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高三（上） 期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （4 分）已知集合 |14Pxx， |02Qxx，则(PQ ) A |01xx B |12xx C |24xx D |04xx 2 （4 分）已知复数 1 ( i zi i 为虚数单位） ，则在复平面内z所对应的点在(

2、) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （4 分）若实数x，y满足约束条件 21 0 4 0 xy xy ，则2zxy的取值范围是( ) A(，5 B(，7 C7，) D(,) 4 （4 分）将函数( )sin(2) 6 f xx 向左至少平移多少个单位，使得到的图象关于y轴对称 ( ) A 12 B 6 C 3 D 2 5 （4 分）函数sin(cos )yx的部分图象大致为( ) A B C D 6（4 分） 已知正项等比数列 n a的公比不为 1， n T为其前n项积， 若 20172021 TT， 则 2020 2021 ( lna lna ) A1:3 B3:1 C3

3、:5 D5:3 7 （4 分）已知a，bR，则“0ab”是“| 0a ab b”的( ) 第 2 页（共 18 页） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8 （4 分）已知aR，0b ，若xb是函数 2 ( )()()f xxb xaxb的极小值点，则实数 b的取值范围为( ) A1b 且0b B1b C2b 且0b D2b 9 （4 分）在ABC中，点D满足 1 3 ADDB且CDCB，则当角A最大时，cos A的值为( ) A 4 5 B 3 5 C 4 5 D 5 34 34 10（4 分） 已知函数 2 2,0 ( ) (2),0 x x f x

4、 axxlnx x ， 若恰有 3 个互不相同的实数 1 x， 2 x， 3 x， 使得 312 222 123 ()()() 2 f xf xf x xxx ，则实数a的取值范围为( ) A 1 a e B 1 0a e C0a D0a或 1 a e 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分分 11 （6 分）已知34 a ， 2 log 3b ，则ab ；4b 12 （ 6 分 ） 二 项 展 开 式 52345 012345 (2) xaa xa xa xa xa x， 则 3 a ； 1

5、35 aaa 13 （6 分）已知 1 tan 2 ，则tan() 4 ；sin2 14 （6 分）已知函数 |1| 1,0 ( ) sin(),0 xx f x x x ，则 3 ( ( ) 2 f f ；若( )f x在 3 ( , ) 2 xa既有最 大值又有最小值，则实数a的取值范围为 15 （4 分）已知0 x ，0y ，且21xy，则 21 12 y xy 的最小值为 16（4 分） 若 2 (2)()0 xxx meex eexe在(0,)x上恒成立， 则实数m的取值范围为 17 （4 分）已知平面向量a，b满足| |2 |3aab，则3| | |ba b的最大值为 三、解答题：

6、本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18（14 分） 已知在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且s i n3c o s0aBbA （1）求角A的大小； 第 3 页（共 18 页） （2）求2cos2coscosABC的取值范围 19 （15 分）如图，三棱台ABCDEF中，90ABC，22ACABDF，四边形ACFD 为等腰梯形，45ACF，平面ABED 平面ACFD （1）求证：ABCF； （2）求直线BD与平面ABC所成角的正弦值 20 （15 分） 已知数列 1 n n

7、 a 的前n项和为n， 数列 n b满足 1 1b ， 1nnn bba ， * nN （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）若数列 n c满足 2 2 n n n a c b ， * nN，求满足 123 63 16 n cccc的最大整数n 21 （15 分）如图，点A为椭圆 22 1: 21Cxy的左顶点，过A的直线 1 l交抛物线 2 2: 2(0)Cypx p于B，C两点，点C是AB的中点 （1）若点A在抛物线 2 C的准线上，求抛物线 2 C的标准方程； （2）若直线 2 l过点C，且倾斜角和直线 1 l的倾斜角互补，交椭圆 1 C于M，N两点， 证明：点C的横坐标是定

8、值，并求出该定值； 当BMN的面积最大时，求p的值 第 4 页（共 18 页） 22 （15 分）已知1a ，函数 1 ( )f xlnxa x （1）证明：函数( )yf x在(1,)上有唯一零点； （2）记 0 x为函数( )yf x在(1,)上的零点，证明： 2 0 0 13 2()2 2 a x ealna x 其中 2.71828e 为自然对数的底数 第 5 页（共 18 页） 2020-2021 学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高三（上）学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高三（上） 期中数学试卷期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题

9、：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （4 分）已知集合 |14Pxx， |02Qxx，则(PQ ) A |01xx B |12xx C |24xx D |04xx 【解答】解：集合 |14Pxx， |02Qxx， |04PQxx 故选：D 2 （4 分）已知复数 1 ( i zi i 为虚数单位） ，则在复平面内z所对应的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：复数 1(1) 1 iii zi ii i 在复平面内对应的

10、点(1, 1)位于第四象限 故选：D 3 （4 分）若实数x，y满足约束条件 21 0 4 0 xy xy ，则2zxy的取值范围是( ) A(，5 B(，7 C7，) D(,) 【解答】解：由约束条件 21 0 4 0 xy xy 作出可行域如图， 联立 210 40 xy xy ，解得(1,3)A， 第 6 页（共 18 页） 化目标函数2zxy为 1 22 z yx ，由图可知，当直线 1 22 z yx 过A时，z有最小值 为 7 2zxy 的取值范围是7，) 故选：C 4 （4 分）将函数( )sin(2) 6 f xx 向左至少平移多少个单位，使得到的图象关于y轴对称 ( ) A

11、12 B 6 C 3 D 2 【解答】解：将函数( )sin(2) 6 f xx 向左至少平移 6 个单位，得到sin(2)cos2 2 yxx 的图象， 此时，得到的函数为偶函数，图象关于y轴对称， 故选：B 5 （4 分）函数sin(cos )yx的部分图象大致为( ) A B C D 【解答】解：根据题意，( )sin(cos )f xx，其定义域为R， 有()sincos()sin(cos )( )fxxxf x，( )f x为偶函数，排除D， 又由1 cos1x 剟，则sin1( ) sin1f x剟，即( )f x的值域为 sin1，sin1，排除B、C， 故选：A 6（4 分）

12、已知正项等比数列 n a的公比不为 1， n T为其前n项积， 若 20172021 TT， 则 2020 2021 ( lna lna ) A1:3 B3:1 C3:5 D5:3 【解答】解：正项等比数列 n a的公比不为 1，0 n a，0q ， 第 7 页（共 18 页） n T为其前n项积， 20172021 TT， 2018201920202021 1aaaa， 20182021 1aa， 22020 20202020 2 a aqaq q ， 1 2 2020 aq， 20182021 1aa， 2021 2021 3 1 a a q ， 23 2021 aq， 3 2 2021

13、aq， 1 2 2020 3 2021 2 1 3 lnalnq lna lnq 故选：A 7 （4 分）已知a，bR，则“0ab”是“| 0a ab b”的( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由0ab，可得0a，0b 或0a ，ba ， 当0a，0b 时，可得| 0a ab b， 当0a ，ba 时，可得| 0a ab b， 故“0ab”是“| 0a ab b”的充分条件， 由| 0a ab b，可得当0a时，0b ，或ba ，得0ab； 当0a 时，可得ba ，得0ab， 故“0ab”是“| 0a ab b”的必要条件， a，bR

14、，则“0ab”是“| 0a ab b”的充分必要条件， 故选：C 8 （4 分）已知aR，0b ，若xb是函数 2 ( )()()f xxb xaxb的极小值点，则实数 b的取值范围为( ) A1b 且0b B1b C2b 且0b D2b 【解答】解：由 2 ( )()()f xxb xaxb可得 2 ( )32()f xxab xbab ， xb是函数 2 ( )()()f xxb xaxb的极小值点， f （b） 2 0babb， 0b ， 第 8 页（共 18 页） 10ba 即(1)ab ， xb是函数 2 ( )()()f xxb xaxb的极小值点， 2 ( )32()0f xxa

15、b xbab 有两不等根，且xb是大根，设另外一根为 0 x， 则 0 2() 3 ab xb ，即 0 11 (2)(2) 33 xabbb ， 解可得，1b 故选：B 9 （4 分）在ABC中，点D满足 1 3 ADDB且CDCB，则当角A最大时，cos A的值为( ) A 4 5 B 3 5 C 4 5 D 5 34 34 【解答】 解：ABC中， 设三边长分别为a、b、c， 点D满足 1 34 c ADDBAD， 3 4 c BD ， Rt BCD中， 4 cos 3 aa B BDc ABC中，由余弦定理可得 222 cos 2 acb B ac ， 222 4 23 acba ac

16、c ， 222 2 () 5 acb 22222 4 cos 25 bcabc A bcbc 由于A为锐角，当角A最大时， 22 4 cos 5 bc A bc 最小 再利用基本不等式可得 22 444 555 bcbc bcbc ，当且仅当2bc时，等号成立， 故cos A的最小值为 4 5 ， 故选：C 10（4 分） 已知函数 2 2,0 ( ) (2),0 x x f x axxlnx x ， 若恰有 3 个互不相同的实数 1 x， 2 x， 3 x， 使得 312 222 123 ()()() 2 f xf xf x xxx ，则实数a的取值范围为( ) A 1 a e B 1 0a

17、 e C0a D0a或 1 a e 【解答】解：设 2 ( ) ( )(0) f x g xx x ， 恰有 3 个互不相同的实数 1 x， 2 x， 3 x，使得 312 222 123 ()()() 2 f xf xf x xxx ， ( )2g x恰好 3 个解， 第 9 页（共 18 页） （1）当0 x 时， 2 2 ( ) x g x x ，则 3 2 (22) ( ) x xln g x x ， 令( )0g x可得 2 2 x ln ， 当 2 2 x ln 时，( )0g x，当 2 0 2 x ln 时，( )0g x， ( )g x在 2 (,) 2ln 上单调递减，在

18、2 ( 2ln ，0)上单调递增， 又 2 2 2 222 2 22 222( 2) ()2 22 244 ()() 22 log e ln e lne g ln lnln ， ( )2g x在(,0)上有 2 解， ( )2g x在(0,)上只有 1 解， （2）当0 x 时，由( )2g x 可得 lnx a x ， 令( )(0) lnx h xx x ，则 2 1 ( ) lnx h x x ， 当0 xe时，( )0h x，当xe时，( )0h x， ( )h x在(0, ) e上单调递减，在( ,)e 上单调递增， 故( )h x的最小值为h（e） 1 e ， 又当01x时，( )

19、0 lnx h x x ，当1x 时，( )0h x ， 作出( )h x的大致函数图象如图所示： ( )2g x 在(0,)上只有 1 解， 直线ya与( )yh x的图象只有 1 个交点， 0a 或 1 a e 第 10 页（共 18 页） 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分分 11 （6 分）已知34 a ， 2 log 3b ，则ab 2 ；4b 【解答】解：34 a ， 2 log 3b ， 3 log 4a， 32 43 log 4 log 32 32 lglg ab

20、 lglg ， 24 39 4449 loglogb 故答案为：2，9 12 （6 分）二项展开式 52345 012345 (2) xaa xa xa xa xa x，则 3 a 40 ； 135 aaa 【解答】解： 5 (2) x的展开式中含 3 x的项为 3233 5 240Cxx， 所以含 3 x的项的系数为 40， 令1x ，则 5 012345 (2 1)243aaaaaa 再令1x ，则 5 012345 (2 1)1aaaaaa 可得 135 121aaa， 故答案为：40，121 13 （6 分）已知 1 tan 2 ，则tan() 4 1 3 ；sin2 【解答】解：已知

21、 1 tan 2 ，则 tan11 tan() 41tan3 故 222 2sin cos2tan14 sin2 1 sincostan15 1 4 ， 故答案为： 1 3 ； 4 5 14 （6 分）已知函数 |1| 1,0 ( ) sin(),0 xx f x x x ，则 3 ( ( ) 2 f f 1 ；若( )f x在 3 ( , ) 2 xa既有 最大值又有最小值，则实数a的取值范围为 【解答】解：根据分段函数的性质，可得 33 ( ( )(sin)( 1) | 1 1| 11 22 f fff ； 第 11 页（共 18 页） 由已知函数解析式，可得 1 ( )sin1 22 f

22、 ，( 3) | 3 1| 1 1f ，( 1)1f ， 且当0 x 时，由正弦函数性质和周期定义，可得函数( )f x的周期为 2， 函数( )f x的图象如图所示： 由图可知( )f x要在区间 3 ( , ) 2 a取得最大值和最小值，则a的范围是 3，1 故答案为：1； 3，1 15 （4 分）已知0 x ，0y ，且21xy，则 21 12 y xy 的最小值为 1 2 2 【解答】解：因为0 x ，0y ，且21xy， 所以122xy ， 则 2121212111 121221222 yyxyyx xyxyxy ， 2111211 22 14221 42 yxyx xyxy ， 当

23、且仅当 21 14 yx xy 且21xy即21y ，32 2x 时取等号， 故答案为： 1 2 2 16 （4 分）若 2 (2)()0 xxx meex eexe在(0,)x上恒成立，则实数m的取值范围为 3 2 m 【解答】解： 2 (2)()0 xxx meex eexe在(0,)x上恒成立， 即为 2 2 2 x x x xxx e ex eex eex m eeexe 在(0,)x上恒成立， 即有 12 () 1 min x x ex m ex e e ， 第 12 页（共 18 页） 设 x ex t e ，0 x ，导数为 1 x x te e ， 可得01x时，函数 x ex

24、 t e 递增，1x 时，函数 x ex t e 递减， 则 x ex t e 在1x 处取得最大值 1， 而 1 2 1 yt t 在1t递减，可得 13 2 22 y ， 则 3 2 m， 故答案为： 3 2 m 17（4 分） 已知平面向量a，b满足| |2 |3aab， 则3 | | |ba b的最大值为 2 3 【解答】解：| |2 |aab， 222 44aaa bb， 2 ba b ， 设, a b的夹角为，则|3cosb ，显然 2 剟， 2222222 ()23 3cos3sinabaa bbab ， |3sinab， 3|3cos3sin2 3sin() 3 bab ， 当

25、 32 即 5 6 时，3|bab取得最大值2 3 故答案为：2 3 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18（14 分） 已知在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且s i n3c o s0aBbA （1）求角A的大小； （2）求2cos2coscosABC的取值范围 【解答】解： （1）由于sin3 cos0aBbA， 利用正弦定理可得：sinsin3sincosABBA， 又由于B为三角形内角，sin0B ， 可得sin3cosAA，即tan3A ， 因为(0

26、, )A， 第 13 页（共 18 页） 所以 3 A （2）因为2cos2coscos12coscos()ABCBAB ， 所以 2 2cos2coscos12coscos()3sin()1 33 ABCBBB ， 因为 2 (0,) 3 B ， 所以( 33 B ，)， 则0sin() 1 3 B ， 所以2cos2coscosABC的取值范围为(1，31 19 （15 分）如图，三棱台ABCDEF中，90ABC，22ACABDF，四边形ACFD 为等腰梯形，45ACF，平面ABED 平面ACFD （1）求证：ABCF； （2）求直线BD与平面ABC所成角的正弦值 【解答】 （1）证明：延

27、长AD、BE、CF交于点P， 四边形ACFD为等腰梯形，45ACF， 90APC，即CPAP， 平面ABED 平面ACFD，平面ABED平面ACFDAP，CP 平面ACFD， CP平面ABED， AB 平面ABED， CPAB 第 14 页（共 18 页） （2）解：由22ACABDF，可知D为PA的中点， 设ABDFa，则2PAa，3BCa， 由（1）知，CPAB， 90ABC，即ABBC，CPBCC，CP、BC 平面PBC， AB平面PBC， ABPB， 22 PBPAABa， 12 22 BDPAa， 过点P作PMBC于点M， AB 平面PBC，PM 平面PBC， ABPM， 又ABBC

28、C，AB、BC 平面ABC， PM平面ABC，PMBC， 由（1）知，CP 平面ABED，CPPB， PM BCCP PB，即32PMaa a， 26 33 PMaa， D为PA的中点， D到平面ABC的距离 16 26 hPMa， 直线BD与平面ABC所成角的正弦值为 6 3 6 32 2 a h BD a 第 15 页（共 18 页） 20 （15 分） 已知数列 1 n n a 的前n项和为n， 数列 n b满足 1 1b ， 1nnn bba ， * nN （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）若数列 n c满足 2 2 n n n a c b ， * nN，求满足 123

29、 63 16 n cccc的最大整数n 【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 由 题 意 可 得 ： 12 12 111 n n n aaa ， 121 121 1(2) 111 n n nn aaa ， 相减可得：1 1 n n a ，可得：1(2) n ann 1n 时， 1 1 1 1a ，解得 1 2a 1 n an 1nnn bba ， * nN， 121321 (1) ()()()123 2 nnn n n bbbbbbbbn 1n 时， 1 1b 也符合 (1) 2 n n n b （2） 2 22222 4(21)11 4() (1)(1) n n n an c bnnnn ， *

30、 nN， 123 2 163 4(1) (1)16 n cccc n ， 化为： 2 (1)64n， 7n ， 满足 123 63 16 n cccc的最大整数7n 21 （15 分）如图，点A为椭圆 22 1: 21Cxy的左顶点，过A的直线 1 l交抛物线 2 2: 2(0)Cypx p于B，C两点，点C是AB的中点 第 16 页（共 18 页） （1）若点A在抛物线 2 C的准线上，求抛物线 2 C的标准方程； （2）若直线 2 l过点C，且倾斜角和直线 1 l的倾斜角互补，交椭圆 1 C于M，N两点， 证明：点C的横坐标是定值，并求出该定值； 当BMN的面积最大时，求p的值 【解答】

31、解：（1） 由题意可得( 1,0)A ， 又A在抛物线 2 C的准线 2 p x 上， 则1 2 p ， 即2p ， 所以抛物线的方程为 2 4yx； （2）证明：因为过A的直线 1 l和抛物线交于两点， 所以 1 l的斜率存在且不为 0，设 1 l的方程为1xmy，其中m为斜率的倒数， 设 1 (B x， 1) y， 2 (C x， 2) y，联立 2 1 2 xmy ypx 可得 2 220ypmyp， 22 1480p mp，且 12 2yypm， 12 2y yp， 因为C为AB的中点，所以 12 2yy， 所以 2 2 3 pm y ， 2 9 4 m p ，所以 2 21 1 32

32、 pm xm ， 即C的横坐标为定值 1 2 ； 因为直线 2 l的倾斜角和直线 1 l的倾斜角互补， 所以 2 l的斜率和 1 l的斜率互为相反数设直线 2 l的方程为 21 () 32 pm xm y ， 即2xmy ，联立椭圆方程 22 21xy，可得 22 (2)430mymy， 224 2 (4 )12(2)4240mmm，即 2 6m ， 第 17 页（共 18 页） 2 4 2 MN m yy m ， 2 3 2 MN y y m ， 因为C为AB的中点，所以 BMNAMN SS ， 因为( 1,0)A 到MN的距离 22 | 21|3 11 d mm ， 22 222 222

33、4122 16 |1|1() 222 MN mmm MNmyym mmm ， 所以 2 2 136 | 22 AMN m SMN d m ， 令 2 6(0)tmt，可得 2 3333 2 8 882 8 AMN t S t t t ，当且仅当2 2t ，14m 时，等号成立， 所以 9 14 4p ，即 9 56 p 22 （15 分）已知1a ，函数 1 ( )f xlnxa x （1）证明：函数( )yf x在(1,)上有唯一零点； （2）记 0 x为函数( )yf x在(1,)上的零点，证明： 2 0 0 13 2()2 2 a x ealna x 其中 2.71828e 为自然对数的

34、底数 【解答】证明： （1） 22 111 ( ) x fx xxx ， 因为1x ， 所以( )f x在(1,)上单调递增， 又因为f（1）10a ， 11 ()0 a aa f eaa ee ， 所以( )f x在(1,) a e有唯一零点， 综上所得，函数( )yf x在(1,)上有唯一零点 （2）由（1）可知， 0 (1,) a xe，且 0 0 1 alnx x ， 0 1 2 0 00 00 1331 2()2() 22 xa x ex ex xx 0 1 0 2 00 31 (21) x xe xx ， 第 18 页（共 18 页） 令 0 1 (01) a tet x ， 所以

35、 0 1 2 0 2 00 311 (21)(231) xt xeett xxt 构造函数 2 1 ( )1(01) 2 x g xexxx ( )1 x g xex， ( )1 x gxe， 得知 2 1 ( )1(0)0 2 x g xexxg ， 所以 0 1 222 0 2 00 31111 (21)(231)(2231)(1)0 xt xeettttttt xxttt ， 即 2 0 0 13 2() 2 a x e x ， 又因为 00 00 11 22()()alnalnxlnlnx xx ，则 0000 0000 1111 22()()alnaxlnxlnlnxx xxxx ， 0000 00 11 ()()lnxxlnlnxlnx xx 构造函数( )h xlnxx，1x 1 ( )10h x x ， 所以( )h x在(1,)上单调递减，且( )h xh（1）1， 所以 000 00 11 1lnxxx xx ，且 0 0 1 1lnxa x ， 所以 00 0 1 ()()h xhlnx x 即 0000 00 11 ()()0lnxxlnlnxlnx xx ， 从而 0 0 1 2alnax x ， 综上所述， 2 0 0 13 2()2 2 a x ealna x