2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市高三（上）期中数学试卷.docx

1、 第 1 页（共 14 页） 2020-2021 学年浙江省宁波市慈溪市高三（上）期中数学试卷学年浙江省宁波市慈溪市高三（上）期中数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 （4 分）已知全集1U ，2，3，4，集合1A ，2，2B ，3，则()( U AB ) A1，3，4 B1，2，3 C4 D2，4 2 （4 分）已知(0,) 2 x ，则函数 4 cos( cos yx x ) A有最小值 4 B有最大值

2、 4 C无最小值 D有最大值 3 （4 分）已知非零向量a，b，c，若(1, )ax，(4, 1)b ，且/ /ac，/ /bc，则(x ) A4 B4 C 1 4 D 1 4 4 （4 分）函数 2 ( )f xx x 的大致图象是( ) A B C D 5 （4 分）要得到函数3sin(2)2 4 yx 的图象只需将函数3cos(2) 2 yx 的图象( ) A先向右平移 8 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度 B.先向左平移 8 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度 C.先向右平移 4 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度 D.先向左平移 4 个单位长度，再向上平移 2 个单位长

3、度 6 （4 分）给出下列四组函数： 第 2 页（共 14 页） 2|()yxxR， 2 2()sttR； |( 11)yxx 剟， 2( 1 1)uvv 剟； ( 1yx x ，0，1)， 3( 1mn n ，0，1)； 2 (0,1)yx x，2|1|(0,1)yxx 其中，表示相同函数的组的序号是( ) A B C D 7 （4 分）设(a，)(bx，)|31 0yxy ，且3 0 xy ，x，yR，则2ba的取值 范围是( ) A0，) B(，0 C(，3 D(,) 8（4 分） 若定义在R上的奇函数( )f x在(,) 单调递增， 且f（2）1， 则不等式|( )| 1f x 的解集

4、为( ) A | 11xx 剟 B | 10 xx 剟 C | 22xx 剟 D |02xx剟 9 （4 分）已知圆 22 1xy与y轴的负半轴交于点A，若B为圆上的一动点，O为坐标原 点，则OA BA的取值范围为( ) A0，2 B0，1 C 2，2 D 1，1 10 （4 分）公元 1202 年列昂那多 斐波那契（意大利著名数学家）以兔子繁殖为例，引入 “兔子数列” :1 n a， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 即 1 1a ，21a ， * 12(nnn aaanN ， 2)n ，此数列在现代物理、化学等学科都有着十分广泛的应用若将此数列 n a的各项除

5、以 2 后的余数构成一个新数列 n b，设数列 n b的前n项的和为 n T；若数列 n c满足： 2 12nnnn caa a ，设数列 n c的前n项的和为 n S，则 20202020 (TS ) A1348 B1347 C674 D673 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分。分。 11 （6 分）已知 1 sincos 2 ，(0, )，则是 （填： “锐角” ， “钝角” ， “直角” 之一） ，且sin2 12 （6 分）设 2 log 3a ，则4a （用数值表示） ， 36

6、 4 lg lg （用a表示） 13 （6 分）已知函数 3,2 ( ) (2),2 xx f x f xx ，则( 1)f ，(2021)f 第 3 页（共 14 页） 14 （4 分）设等差数列 n a的前n项和为 n S，且 1 20a ， 5 18a ，则 20 S 15 （4 分）已知向量a，b满足：| 1a ba，|7ab，则向量a与b的夹角为 16 （4 分）已知集合 |21Ax xk， * kN， |32Bx xk， * kN，则 AB （用集合的描述法表示） 17 （6 分） 已知a，bR， 且2 11 ab ab ， 则ab的最大值为 ， 最小值为 三、解答题：本大题共三、

7、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18 （14 分） 设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 2 4sin4cos5AA （）求角A； （）若2sin a A bc ，求角B，C 19 （15 分）已知平面向量 1 ( ,cos ) 2 ax，(1,2sin() 6 bx ，设函数( )2f xa b （）求函数|( )|f x的最小正周期； （）若不等式1( )1f x 在0, 2 x 上恒成立，求实数的取值范围 20 （15 分）设函数( )|2 | 2f xx xkx，k

8、R （1）当1k 时，解不等式( )3f x ； （）若对任意1x，2时，直线21yx恒在曲线( )yf x的上方，求k的取值范围 21 （15 分）已知数列 n a满足 1 2a ， 1 496 nn aan （） 问是否存在实数x，y， 使得数列 n axny是等比数列？若存在， 求出x，y的值， 若不存在，请说明理由； （）设 123 1 n in i aaaaa ，求 1 (3 ) n i i i ai 22 （15 分）已知函数 2 2 ( )( x eax f xalnx aR x ，e是自然对数的底数） （）求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程； （）当1a 时，

9、求( )f x的单调区间； （）若( )f x在(0,2)内存在两个极值点，求a的取值范围 第 4 页（共 14 页） 2020-2021 学年浙江省宁波市慈溪市高三（上）期中数学试卷学年浙江省宁波市慈溪市高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 （4 分）已知全集1U ，2，3，4，集合1A ，2，2B ，3，则()( U AB ) A1，3，4 B1，2，

10、3 C4 D2，4 【解答】解：1A，2，2B ，3， 1AB，2，3， 全集1U ，2，3，4， ()4 U AB 故选：C 2 （4 分）已知(0,) 2 x ，则函数 4 cos( cos yx x ) A有最小值 4 B有最大值 4 C无最小值 D有最大值 【解答】解：(0,) 2 x 时，cos(0,1)x， 函数 4 cos cos yx x 是定义域上的单调增函数， 且145y ，其值域是(5,)； 所以函数无最大、最小值 故选：C 3 （4 分）已知非零向量a，b，c，若(1, )ax，(4, 1)b ，且/ /ac，/ /bc，则(x ) A4 B4 C 1 4 D 1 4

11、【解答】解：由题意知/ /ac，/ /bc，所以/ /ab； 又(1, )ax，(4, 1)b ， 所以1 ( 1)40 x ， 解得 1 4 x 第 5 页（共 14 页） 故选：D 4 （4 分）函数 2 ( )f xx x 的大致图象是( ) A B C D 【解答】解：函数( )f x的定义域为(，0)(0，)， 2 ()( )fxxf x x ， ( )f x为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B， 令( )0f x ， 2 0 x x ，解得2x ，故排除D， 易知函数( )f x在(,0)和(0,)单调递增，故排除CD， 故选：A 5 （4 分）要得到函数3sin(2)2 4 y

12、x 的图象只需将函数3cos(2) 2 yx 的图象( ) A先向右平移 8 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度 B.先向左平移 8 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度 C.先向右平移 4 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度 D.先向左平移 4 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度 【解答】解：由函数3sin(2)23sin2()2 48 yxx ， 所以函数3cos(2)3sin2 2 yxx 的图象， 先向左平移 8 个单位长度，得3sin2()3sin(2) 84 yxx 的图象， 再向上平移 2 个单位长度，得3sin(2)2 4 yx 的图象 故选：B 第 6 页（共

13、14 页） 6 （4 分）给出下列四组函数： 2|()yxxR， 2 2()sttR； |( 11)yxx 剟， 2( 1 1)uvv 剟； ( 1yx x ，0，1)， 3( 1mn n ，0，1)； 2 (0,1)yx x，2|1|(0,1)yxx 其中，表示相同函数的组的序号是( ) A B C D 【解答】解：对于，2|()yxxR， 2 22| |()stttR；两函数的定义域相同，对 应关系也相同，是相同函数； 对于，|( 11)yxx 剟， 2( 1 1)uvv 剟；两函数的对应关系不同，不是相同函数； 对于，( 1yx x ，0，1)， 3( 1mn n ，0，1)；两函数的定

14、义域相同，对应关系 也相同，是相同函数； 对于，2 (0,1)yx x，2|1|(0,1)yxx； 两函数的对应关系不同， 不是相同函数 所以表示相同函数的组序号是 故选：C 7 （4 分）设(a，)(bx，)|31 0yxy ，且3 0 xy ，x，yR，则2ba的取值 范围是( ) A0，) B(，0 C(，3 D(,) 【解答】解：令2Zba，由题设知a，b满足 31 0 3 0 ab ab ， 点( , )a b满足的平面区域如右图所示， 由图象可知：ZR，即2(,)ba ， 故选：D 第 7 页（共 14 页） 8（4 分） 若定义在R上的奇函数( )f x在(,) 单调递增， 且f

15、（2）1， 则不等式|( )| 1f x 的解集为( ) A | 11xx 剟 B | 10 xx 剟 C | 22xx 剟 D |02xx剟 【解答】解：因为定义在R上的奇函数( )f x在(,) 单调递增，且f（2）1， 所以( 2)ff （2）1， 则不等式|( )| 1f x即为1( ) 1f x 剟可转化为( 2)( )ff xf 剟（2） ， 所以22x 剟， 故选：C 9 （4 分）已知圆 22 1xy与y轴的负半轴交于点A，若B为圆上的一动点，O为坐标原 点，则OA BA的取值范围为( ) A0，2 B0，1 C 2，2 D 1，1 【解答】 解： 圆 22 1xy与y轴的负半

16、轴交于点A， 若B为圆上的一动点，O为坐标原点， 可得(0, 1)A，设(cos ,sin )B， 所以(0OA BA，1) ( cos，sin1)sin1 0 ，2 故选：A 10 （4 分）公元 1202 年列昂那多 斐波那契（意大利著名数学家）以兔子繁殖为例，引入 “兔子数列” :1 n a， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 即 1 1a ，21a ， * 12(nnn aaanN ， 2)n ，此数列在现代物理、化学等学科都有着十分广泛的应用若将此数列 n a的各项除 以 2 后的余数构成一个新数列 n b，设数列 n b的前n项的和为 n T；若数列 n

17、 c满足： 2 12nnnn caa a ，设数列 n c的前n项的和为 n S，则 20202020 (TS ) A1348 B1347 C674 D673 【解答】解： “兔子数列”的各项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55， 第 8 页（共 14 页） 此数列被 2 除后的余数依次为：1，1，0，1，1，0，1，1，0， 即 1 1b ， 2 1b ， 3 0b ， 4 1b ， 5 1b ， 6 0b ， 数列 n b是以 3 为周期的周期数列， 20201231 673()673211347Tbbbb ， 由题意知 222 12112221121 222 121212

18、()() 1 nnnnnnnnnnnn nnnnnnnnnn caaaaaaaaa aa caa aaa aaa a ， 由于 2 121 3 1caaa， 所以( 1)n n c ， 所以 2020 ( 1 1)( 1 1)( 1 1)0S 则 20202020 1347TS 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分。分。 11 （6 分）已知 1 sincos 2 ，(0, )，则是 钝角 （填： “锐角” ， “钝角” ， “直 角”之一） ，且sin2 【解答】解：因为 1 s

19、incos 2 ，(0, )， 两边平方，可得 1 12sincos 4 ， 可得 3 2sincos0 4 ， 所以cos0，可得是钝角， 可得 3 sin22sincos 4 故答案为：钝角， 3 4 12 （6 分）设 2 log 3a ，则4a 9 （用数值表示） ， 36 4 lg lg （用a表示） 【解答】解： 2 log 3a ， 22 39 4429 logloga ， 42222 36 log 36log 6log (2 3)log 2log 31 4 lg a lg ， 故答案为：9，1a 第 9 页（共 14 页） 13 （6 分）已知函数 3,2 ( ) (2),2

20、xx f x f xx ，则( 1)f 4 ，(2021)f 【解答】解：函数 3,2 ( ) (2),2 xx f x f xx ， ( 1)1 34f (2021)(2 10101)fff（1）132 故答案为：4，2 14 （4 分）设等差数列 n a的前n项和为 n S，且 1 20a ， 5 18a ，则 20 S 305 【解答】解：设等差数列 n a的公差为d， 1 20a ， 5 18a ， 20418d， 解得 1 2 d 则 20 120 19 2020305 22 S 故答案为：305 15 （4 分） 已知向量a，b满足：| 1a ba，|7ab， 则向量a与b的夹角为

21、 3 【解答】解：| 1,|7a baab， 22 ()1 |27abb ，| 2b ， 1 cos, 2| a b a b a b ，且,0, a b， , 3 a b 故答案为： 3 16 （4 分）已知集合 |21Ax xk， * kN， |32Bx xk， * kN，则AB |65x xk， * kN （用集合的描述法表示） 【解答】解：32kn时， |65Ax xn，*nN；21kn时， |65Bx xn， *nN， |65ABx xk，*kN 故答案为： |65x xk， * kN 第 10 页（共 14 页） 17 （6 分）已知a，bR，且2 11 ab ab ，则ab的最大值

22、为 44 2 ，最小 值为 【解答】解：2 11 ab ab ，0ab且 22 ()4(11)abab ，即0ab且 2 ()84()811ababab， 211112ababab ，当且仅当ab时取“ “， 2 ()84()4(2)ababab，当且仅当ab时取“ “， 即 2 ()8() 16 0abab，解得：44 2ab，当且仅当22 2ab时取“ “， 又811 0ab ， 2 ()84()811ababab， 2 ()84()abab，当 1 1 a b 或 1 1 b a 时取“ “，解得：22 3ab，当且仅当 1 32 3 a b 或 1 32 3 b a 时取“ “， ()

23、44 2 max ab，()22 3 min ab， 故答案为：44 2，22 3 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18 （14 分） 设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 2 4sin4cos5AA （）求角A； （）若2sin a A bc ，求角B，C 【解答】解： （）因为 2 4sin4cos5AA， 所以 2 44cos4cos5AA， 2 4cos4cos10AA ， 解得 1 cos 2 A ， 因为0A，所以 3 A ； （）因为

24、3 A ，所以由余弦定理，得 222 1 cos 22 bca A bc ， 3 sin 2 A， 所以 222 bcabc， 又2sin a A bc ，得 3 3 bca， 第 11 页（共 14 页） 将代入得 222 3()bcbcbc， 即 22 2250bcbc，而bc，解得2bc， 所以3ac，故 222 bac， 所以ABC是直角三角形，且角B是直角， 所以 2 B ， 6 C 19 （15 分）已知平面向量 1 ( ,cos ) 2 ax，(1,2sin() 6 bx ，设函数( )2f xa b （）求函数|( )|f x的最小正周期； （）若不等式1( )1f x 在0,

25、 2 x 上恒成立，求实数的取值范围 【解答】解： （）因为( )2f xa b， 所以 1 ( )2cos sin()2 26 f xxx 2 5 3sin coscos 2 xxx 31 sin2cos22 22 xx sin(2)2 6 x ， 所以|( )| sin(2)2 6 f xx ， 所以|( )|f x的最小正周期为； （）因为0 2 x 剟， 所以 5 2 666 x 剟， 所以 3 sin(2)2 3 26 x 剟， 由不等式1( )1f x 恒成立，得 3 1 2 13 ，解得 5 2 2 ， 故所求实数的取值范围为 5 (2, ) 2 20 （15 分）设函数( )|

26、2 | 2f xx xkx，kR （1）当1k 时，解不等式( )3f x ； （）若对任意1x，2时，直线21yx恒在曲线( )yf x的上方，求k的取值范围 第 12 页（共 14 页） 【解答】解： （）当1k 时，不等式( )3f x 即|2| 23x xx， 所以 2 (2)23 x x xx 或 2 (2)23 x xxx ， 即为 2 33 x xx 或 或 2 13 x x ， 解得2x或12x， 所以原不等式的解集是(1,)； （）由题意得对任意1x，2时，不等式( )21f xx恒成立， 即|2 | 1x xk当1x，2时恒成立， 即 1 |2 |xk x ， 1111 (

27、)() 22 xkx xx ， 故只要 11 () 2 xk x 且 11 () 2 kx x 在1x，2恒成立即可， 即当1x，2时，只要k大于 11 () 2 x x 的最大值且k小于 11 () 2 x x 的最小值， 因为当1x，2时， 2 1111 ()(1) 0 22 x xx ， 11 () 2 x x 为减函数， 11 ()1 2 max x x ， 而 2 1111 ()(1)0 22 x xx ， 11 () 2 x x 为减函数， 113 () 24 min x x ， 故所求k的取值范围是 3 ( 1,) 4 21 （15 分）已知数列 n a满足 1 2a ， 1 4

28、96 nn aan （） 问是否存在实数x，y， 使得数列 n axny是等比数列？若存在， 求出x，y的值， 若不存在，请说明理由； （）设 123 1 n in i aaaaa ，求 1 (3 ) n i i i ai 【解答】解： （）假设存在x，yR，则对任意 * nN， 1 (1) n n ax ny q axny （常数） 由 96 4() 496 44 n n nn xxy an anxnxy q axnyaxny ， 得 9 4 6 4 x x xy y ，解得 3 1 x y 由3x ，1y 代入验证知数列 n axny是首项为 4，公比为 4 的等比数列， 第 13 页（共

29、 14 页） 故存在实数x，y，使得数列 n axny是等比数列，且3x ，1y （）由（）得 1 314 44 nn n an ，431 n n an， 因为(3 )(431 3 )4 ii i i aiiiiii 所以 123 1 (3)(141)(242)(343)(4) n n i i iainn ， 123 (1 42 43 44 )(1 23) n nn ， (1) 2 n n n S ， 其中 1231 1 42 43 4(1) 44 nn n Snn ， （1） 所以 2341 41 42 43 4(1) 44 nn n Snn ， （2） 由（1）（2）得： 12311 4(

30、14 ) 3444444 14 n nnn n Snn ， 所以 1 (31) 44 9 n n n S ， 故所求 1 1 (31) 441 (3 )(1) 92 n n i i n i ain n 22 （15 分）已知函数 2 2 ( )( x eax f xalnx aR x ，e是自然对数的底数） （）求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程； （）当1a 时，求( )f x的单调区间； （）若( )f x在(0,2)内存在两个极值点，求a的取值范围 【解答】解： （） 32 3 1(2)() ( ) 2(2)(2 ) x xx xeax fxxeaxxeaa xx ，

31、所以切线斜率k f （1）ae，而f（1）2ea， 所以曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程为yf（1）(1)k x， 即()23yae xea； （）可知函数( )f x的定义域为(0,)，当1a 时， 3 (2)() ( ) x xex fx x ， 可知在(0,)x，0 x ex，当02x时，( )0fx；当2x 时，( )0fx， 故( )f x的递减区间为(0，2，递增区间为2，)； （注:开闭区间无关） （）函数( )f x在(0,2)内存在二个极值点 ( )yfx在(0,2)内有两个异号零点， x yeax在(0,2)内有两个异号零点， 设( ) x h xeax，则( ) x h xea， 第 14 页（共 14 页） 当1a时，( )0h x，所以( )h x在(0,2)上递增， 所以( )h x在(0,2)内不存在两个不同的根； 当1a 时，由( )0h x可得xlna；由( )0h x可得xlna， 所以( )h x的最小值为()(1)h lnaalna， 所以0 x eax在(0,2)内有两个不同的根 等价于(0)10h 且h（2） 2 20ea且()(1)0h lnaalna且02lna， 解得 2 2 e ea， 综上所述，所求a的取值范围为 2 ( ,) 2 e e