2020-2021学年河北省衡水中学高三（上）第一次联考数学试卷（全国卷）.docx

1、 第 1 页（共 18 页） 2020-2021 学年河北省衡水中学高三（上）第一次联考数学试卷学年河北省衡水中学高三（上）第一次联考数学试卷 （全国卷）（全国卷） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符题目要求的。项是符题目要求的。 1 （5 分）设集合 2 |43 0Ax xx ，|15BxZx，则(AB ) A2 B3 C2，3 D1，2，3 2 （5 分）若复数1zi ，则| ( 1 z z ) A1 B2 C2 2 D4 3 （5 分）某班级要从 6

2、名男生、3 名女生中选派 6 人参加社区宣传活动，如果要求至少有 2 名女生参加，那么不同的选派方案种数为( ) A19 B38 C55 D65 4 （5 分）数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，称为斐波那契数列，是意大利著名数 学家斐波那契于 1202 年在他撰写的 算盘全书 中提出的， 该数列的特点是： 从第三项起， 每一项都等于它前面两项的和在该数列的前 2020 项中，偶数的个数为( ) A505 B673 C674 D1010 5 （5 分）已知非零向量a，b满足| |ab，且| |2|a ba b，则a与b的夹角为( ) A 2 3 B 2 C 3 D 6 6 （5 分

3、）为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取合并检测法，即将多人的拭子样本合 并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人 再做检测现对 20 名密切接触者的拭子样本进行合并检测，每份样本的检测结果是阴性还 是阳性都是相互独立的，每人检测结果呈阳性的概率为p，且检测次数的数学期望为 20， 则p的值为( ) A 1 20 1 1() 20 B 1 21 1 1() 20 C 1 20 1 1() 21 D 1 21 1 1() 21 7 （5 分）已知未成年男性的体重G（单位：)kg与身高x（单位：)cm的关系可用指数模 型 bx Gae来描述，根据大数据统计计

4、算得到2.004a ，0.0197b 现有一名未成年男性 身高为110cm，体重为17.5kg，预测当他体重为35kg时，身高约为( ) (20 . 6 9 )ln A155cm B150cm C145cm D135cm 第 2 页（共 18 页） 8 （5 分）已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，M为 1 CC的中点，点N在侧面 11 ADD A 内，若 1 BMA N则ABN面积的最小值为( ) A 5 5 B 2 5 5 C1 D5 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合分。在每小

5、题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分。分。 9 （5 分）已知 3 cos() 55 ，则 3 sin(2)( 5 ) A 24 25 B 12 25 C 12 25 D 24 25 10 （5 分）已知抛物线 2 :4C yx，焦点为F，过焦点的直线l抛物线C相交于 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y两点，则下列说法一定正确的是( ) A|AB的最小值为 2 B线段AB为直径的圆与直线1x 相切 C 12 x x为定值 D若( 1,0)M ，则AMFBMF 1

6、1 （5 分）已知( )f x是定义在R上的奇函数，其图象关于直线1x 对称，则( ) A(4)( )f xf x B( )f x在区间( 2,0)上单调递增 C( )f x有最大值 D( )sin 2 x f x 是满足条件的一个函数 12 （5 分）若存在实数t，对任意的(0 x， s，不等式 2 (2)(1) 0 xxttx 恒成立则 s的值可以为( ) A 51 2 B 51 2 C 35 2 D 35 2 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知 1 F， 2 F为双曲线 2 2 1 4 y x 的左、

7、右焦点，P为双曲线右支上一点，且 12 | 2|PFPF，则 12 PFF的面积为 14 （5 分）已知实数a，( 2b，)，且满足 22 11b ln aba ，则a，b，ab的大小关 系是 15 （5 分）数学多选题有A，B，C，D四个选项，在给出选项中，有多项符合题目要求 第 3 页（共 18 页） 全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的不得分已知某道数学多选题正确答案为 B，D， 小明同学不会做这道题目， 他随机地填涂了至少一个选项， 则他能得分的概率为 16 （5 分）在三棱锥PABC中，PAAB，4PA，3AB ，二面角PABC的大小 为30，在侧面PAB内（含边界）

8、有一动点M，满足M到PA的距离与M到平面ABC的 距离相等，则M的轨迹的长度为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）在对任意1n ，满足 11 2(1) nnn SSS ， 1 2 nnn SSa ， 1 (1) nn Snan n 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中 问题： 已知数列 n a的前n项和为 n S， 2 4a ， _， 若数列 n a是等差数列， 求数列 n a 的通项公式；若数列 n a不一定是等差数列，说明理由 18 （12 分）振华

9、大型电子厂为了解每位工人每天制造某种电子产品的件数，记录了某天所 有工人每人的制造件数，并对其进行了简单随机抽样统计，统计结果如表： 制造电子产 品的件数 40，50) 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90，100 工人数 1 3 11 x 4 1 （1） 若去掉70，80)内的所有数据， 则件数的平均数减少 2 到 3 （即大于等于 2 且小于3)， 试求样本中制造电子产品的件数在70，80)的人数x的取值范围： （同一区间数据用该组区 间数据的中点值作代表） （2）若电子厂共有工人 1500 人，且每位工人制造电子产品的件数(70XN， 2 11 )，试估 计制造电

10、子产品件数小于等于 48 件的工人的人数 附：若 2 ( ,)XN ，则()0.68Px，(22 )0.96Px 19（12 分） 如图， 在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，sinsinOBABDODADB， 3 ABC ，33ABBC （1）求sinDAC； （2）若 2 3 ADC ，求四边形ABCD的面积 第 4 页（共 18 页） 20 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，平面PAC 底面ABCD， PAPCAC （1）证明：ACPB； （2）若PB与底面所成的角为45，求二面角BPCA的余弦值 21 （12 分）已知椭圆C的焦点在x轴上，并且经过点(0

11、,1)，离心率为 3 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2）动直线l与圆 22 :1O xy相切于点M，与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中 点为D，求OMD面积的最大值，并求此时点D的坐标 22 （12 分）已知函数 1 ( ) x x f xxlnx e （1）求函数( )yf x在1x 处的切线方程； （2）证明： （）( )2f x ； （）任意*nN， 1 (2) nn enlnn 第 5 页（共 18 页） 2020-2021 学年河北省衡水中学高三（上）第一次联考数学试卷学年河北省衡水中学高三（上）第一次联考数学试卷 （全国卷）（全国卷） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析

12、一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符题目要求的。项是符题目要求的。 1 （5 分）设集合 2 |43 0Ax xx ，|15BxZx，则(AB ) A2 B3 C2，3 D1，2，3 【解答】解： 2 |43 0 1Ax xx，3，|15BxZx，2，3，4， 2AB，3 故选：C 2 （5 分）若复数1zi ，则| ( 1 z z ) A1 B2 C2 2 D4 【解答】解：数1zi ，则 11 | | | | 1|2 11 1 zii i zii ， 故选

13、：B 3 （5 分）某班级要从 6 名男生、3 名女生中选派 6 人参加社区宣传活动，如果要求至少有 2 名女生参加，那么不同的选派方案种数为( ) A19 B38 C55 D65 【解答】解：6 人中至少有 2 名女生包括 2 女 4 男及 3 女 3 男两种情况， 故不同的选派方案种数为 2433 3636 452065C CC C； 故选：D 4 （5 分）数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，称为斐波那契数列，是意大利著名数 学家斐波那契于 1202 年在他撰写的 算盘全书 中提出的， 该数列的特点是： 从第三项起， 每一项都等于它前面两项的和在该数列的前 2020 项中，偶

14、数的个数为( ) A505 B673 C674 D1010 【解答】解：该数列第三，六，九为偶数，以 3 为周期，202036731， 所以前 2020 项中共有 673 个偶数， 故选：B 第 6 页（共 18 页） 5 （5 分）已知非零向量a，b满足| |ab，且| |2|a ba b，则a与b的夹角为( ) A 2 3 B 2 C 3 D 6 【解答】解：设向量a，b的夹角为， 由| |ab，且| |2|abab， 所以 22 ()(2)abab， 即 2222 244aa bbaa bb， 化简得 2 63a ba， 解得 2 1 2 a ba， 所以 2 2 1 1 2 cos |

15、2| a a b aab ； 又0， 所以 3 ， 即a与b的夹角为 3 故选：C 6 （5 分）为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取合并检测法，即将多人的拭子样本合 并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人 再做检测现对 20 名密切接触者的拭子样本进行合并检测，每份样本的检测结果是阴性还 是阳性都是相互独立的，每人检测结果呈阳性的概率为p，且检测次数的数学期望为 20， 则p的值为( ) A 1 20 1 1() 20 B 1 21 1 1() 20 C 1 20 1 1() 21 D 1 21 1 1() 21 【解答】解：随机变量的取值只能是

16、1，21，对应的概率分别是 20 (1)p， 20 1 (1)p，由 期望的运算公式可得， 2020 1 (1)21 1 (1) 20pp 1 20 1 1() 20 p ， 故选：A 7 （5 分）已知未成年男性的体重G（单位：)kg与身高x（单位：)cm的关系可用指数模 第 7 页（共 18 页） 型 bx Gae来描述，根据大数据统计计算得到2.004a ，0.0197b 现有一名未成年男性 身高为110cm，体重为17.5kg，预测当他体重为35kg时，身高约为( ) (20 . 6 9 )ln A155cm B150cm C145cm D135cm 【解答】解：根据题意，2.004a

17、 ，0.0197b ，则 0.0197 2.004 bxx Gaee， 现有一名未成年男性身高为110cm，体重为17.5kg，则 0.0197 110 17.52.004 e ， 当他体重为35kg时，身高为m，则有 0.0197 352.004 m e ， 则有 0.0197 1100.0197 2 (2.004)2.004 m ee ， 变形可得 0.0197 (110) 22.004 m e ，变形可得0.0197(110)2mln， 解可得145m ， 故选：C 8 （5 分）已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，M为 1 CC的中点，点N在侧面 11 ADD A 内

18、，若 1 BMA N则ABN面积的最小值为( ) A 5 5 B 2 5 5 C1 D5 【解答】解：如图， 取BC中点E，连接 1 B E， 由 1 B BBC，BECM， 1 B BEBCM ， 可得 1 B BEBCM ，则 1 B EBBMC ， 1 90B EBMBE ，即 1 B EBM， 取AD中点F，连接EF，可得四边形 11 AB EF为平行四边形， 11 / /AFB E， 又点N在侧面 11 ADD A内，且 1 BMA N， N在 1 A F上，且N到AB的最小距离为 2 12 5 55 第 8 页（共 18 页） ABN面积的最小值为 12 52 5 2 255 故选

19、：B 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分。分。 9 （5 分）已知 3 cos() 55 ，则 3 sin(2)( 5 ) A 24 25 B 12 25 C 12 25 D 24 25 【解答】解： 32 sin(2)sin(2) 55 2sin()cos() 55 由 3 cos() 55 ，得 4 sin() 55 所以 224 sin

20、(2) 525 ，即 32224 sin(2)sin(2)sin(2) 55525 故选：AD 10 （5 分）已知抛物线 2 :4C yx，焦点为F，过焦点的直线l抛物线C相交于 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y两点，则下列说法一定正确的是( ) A|AB的最小值为 2 B线段AB为直径的圆与直线1x 相切 C 12 x x为定值 D若( 1,0)M ，则AMFBMF 【解答】解：抛物线 2 :4C yx，焦点为(1,0)F，准线方程为1x ，过焦点的弦中通径最 短，所以|AB的最小值为24p ，故A不正确， 如图：设线段AB的中点为D，过点A，B，D作准线的垂线，垂足分

21、别为 1 A， 1 B， 1 D， 由抛物线的定义可得 1 | |AAAF， 1 | |BBBF， 所以 111 11 |(|)| 22 DDAABBAB， 所以以线段AB为直径的圆与直线1x 相切，故B正确； 设直线AB所在的直线方程为1xny， 由 2 1 4 xny yx ，消去x可得 2 440yny， 第 9 页（共 18 页） 所以 12 4yyn， 12 4y y ， 所以 2 12 12 () 1 16 y y x x ，故C正确； 所以 12122112211212 11121212 (1)(1)(2)(2)22() 0 11(1)(1)(1)(1)(1)(1) AMBM y

22、yyxyxynyynynyyyy kk xxxxxxxx ，故D正确 故选：BCD 11 （5 分）已知( )f x是定义在R上的奇函数，其图象关于直线1x 对称，则( ) A(4)( )f xf x B( )f x在区间( 2,0)上单调递增 C( )f x有最大值 D( )sin 2 x f x 是满足条件的一个函数 【解答】解：由( )f x是定义在R上的奇函数可得( )()f xfx ， 由图象关于直线1x 对称可得(2)()fxfx， 所以(2)( )fxf x ，(4)( )fxf x， 故A正确；由已知没法判断函数的单调性，BC错误； ( )sin 2 f xx 是奇函数，且(2

23、)( )fxf x，故D正确 故选：AD 12 （5 分）若存在实数t，对任意的(0 x， s，不等式 2 (2)(1) 0 xxttx 恒成立则 s的值可以为( ) A 51 2 B 51 2 C 35 2 D 35 2 【解答】解：存在实数t，对任意的(0 x， s，不等式 2 (2)(1) 0 xxttx 恒成立； 等价于 2 (2 )(1) 0txx tx 恒成立； 第 10 页（共 18 页） 即： 2 20 10 xxt tx ， 得到 2 2txx，或1tx， 所以 2 21xxx，即 2 31 0 xx ， 解得 35 2 x 或 35 2 x ， 由于对任意的(0 x， s，

24、上述不等式恒成立， 所以 35 2 S 故选：AC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知 1 F， 2 F为双曲线 2 2 1 4 y x 的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，且 12 | 2|PFPF，则 12 PFF的面积为 4 【解答】解：由题意： 2 1a ， 2 4b ， 222 5cab， 因为 12 | 2|PFPF，而 12 | 22PFPFa， 所以 2 |2PF ， 1 | 4PF ，而 12 | 22 5FFc， 因为 222 1212 |PFPFFF，所以 12 2 FPF ， 所以

25、12 12 11 | |244 22 PF F SPFPF 故答案为：4 14 （5 分）已知实数a，( 2b，)，且满足 22 11b ln aba ，则a，b，ab的大小关 系是 aabb 【解答】解： 22 11b ln aba 变形可得 22 11 ()0lnalnb ab ， 令 2 1 ( )f xlnx x ，( 2x，)， 则 2 3 2 ( ) x fx x ，当( 2x，)时， 2 3 2 ( )0 x fx x ， 所以( )f x单调递增，由f（a）f（b） 22 11 ()0lnalnb ab ， 可得2ab， 所以()0aabaab， 第 11 页（共 18 页）

26、()0abbbab， aabb 故答案为：aabb 15 （5 分）数学多选题有A，B，C，D四个选项，在给出选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的不得分已知某道数学多选题正确答案为 B，D，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率为 1 5 【解答】解：小明随机地填涂了至少一个选项， 共有： 1234 4444 15CCCC种涂法， 得分的涂法有 3 种， 他能得分的概率为 31 155 P 故答案为： 1 5 16 （5 分）在三棱锥PABC中，PAAB，4PA，3AB ，二面角PABC的大小 为30，在侧面PAB内（含

27、边界）有一动点M，满足M到PA的距离与M到平面ABC的 距离相等，则M的轨迹的长度为 6 5 5 【解答】解：如图，过M作MNPA 于N，MO 平面ABC 于O， 过O 作OQAB 于Q，连接MQ， 则MQO 为二面角PABC 的平面角， 由30MQO， 得2MQMO 又MOMN，所以2MQMN， 在PAB 中，以AB 所在直线为x 轴，AP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系， 则直线AM 的方程为2yx， 直线PB 的方程为43120 xy， 所以直线AM 与PB 的交点坐标为 6 12 ( ,) 55 R， 所以M 的轨迹为线段AR， 第 12 页（共 18 页） 长度为 22 6126

28、 5 ( )() 555 故答案为： 6 5 5 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）在对任意1n ，满足 11 2(1) nnn SSS ， 1 2 nnn SSa ， 1 (1) nn Snan n 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中 问题： 已知数列 n a的前n项和为 n S， 2 4a ， _， 若数列 n a是等差数列， 求数列 n a 的通项公式；若数列 n a不一定是等差数列，说明理由 【解答】解：若选择条件： 因为对任意1n ，*nN，

29、满足 11 2(1) nnn SSS ， 所以 11 2 nnnn SSSS ， 所以 1 2 nn aa ， 因为无法确定 1 a的值， 所以 21 aa不一定等于 2， 所以数列 n a不一定是等差数列， 若选择条件： 由 1 2 nnn SSa ， 则 1 2 nnn SSa ，即 1 2 nn aa ，*nN， 又因为 2 4a ，所以 1 2a ， 所以数列 n a是等差数列，公差为 2， 因此数列 n a的通项公式为2 n an， 第 13 页（共 18 页） 若选择条件： 因为 1 (1) nn Snan n 所以 1 (1)(1) nn Snann ，(2,*)nnN， 两式相

30、减得， 1 (1)2 nnn ananan ，(2)n， 即 1 2(2) nn aan ， 又 12 2Sa，即 21 2aa， 所以 1 2 nn aa ，*nN， 又 2 4a ， 21 2aa，所以 1 2a ， 所以数列 n a是以 2 为首项，2 为公差的等差数列 所以22(1)2 n ann 18 （12 分）振华大型电子厂为了解每位工人每天制造某种电子产品的件数，记录了某天所 有工人每人的制造件数，并对其进行了简单随机抽样统计，统计结果如表： 制造电子产 品的件数 40，50) 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90，100 工人数 1 3 11 x 4

31、1 （1） 若去掉70，80)内的所有数据， 则件数的平均数减少 2 到 3 （即大于等于 2 且小于3)， 试求样本中制造电子产品的件数在70，80)的人数x的取值范围： （同一区间数据用该组区 间数据的中点值作代表） （2）若电子厂共有工人 1500 人，且每位工人制造电子产品的件数(70XN， 2 11 )，试估 计制造电子产品件数小于等于 48 件的工人的人数 附：若 2 ( ,)XN ，则()0.68Px，(22 )0.96Px 【解答】解： （1）由题意，当0 x 时，计算其他数据的平均数为： 1 (45 155365 1185495 1)68 20 ， 故原平均数应满足 1360

32、75 7071 20 x x ，解得815x，xZ 所以制造电子产品的件数在70，80)的人数x的取值范围为815x，xZ； （2）因为每位工人制造电子产品的件数(70XN， 2 11 )， 所以 1 (48)(10.96)0.02 2 P X 第 14 页（共 18 页） 所以估计 1500 人中制造电子产品件数小于等于 48 件的工人的人数为0.02 150030 19（12 分） 如图， 在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，sinsinOBABDODADB， 3 ABC ，33ABBC （1）求sinDAC； （2）若 2 3 ADC ，求四边形ABCD的面积 【解答】解： （1）

33、在ABC中， 3 ABC ，33ABBC， 由余弦定理可得 22222 1 2cos3123 17 2 ACABBCAB BCABC ， 所以7AC ， 由正弦定理可得： sinsin BCAC BACABC ，可得 3 sin21 2 sin 147 BCABC BAC AC ， 在AOB中，由正弦定理 sinsin OBOA BACABD ，即sinsinOBABDOABAC， 同理，在AOD中，由正弦定理可得：sinsinODADBOADAC， 又因为：sinsinOBABDODADB， 所以：sinsinOABACOADAC， 所以： 21 sinsin 14 DACBAC （2）在A

34、DC中，由正弦定理可得 sinsin CDAC DACADC ，即 7 213 142 CD ，解得1CD ， 又由余弦定理可得 222 cos 2 ADCDAC ADC AD CD ，即 2 117 22 AD AD ，解得2AD ， 可得 5 3111 2224 ADCABCABCD SSSADACsin DACABACsin BACACsin DACADAB 四边形 20 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，平面PAC 底面ABCD， PAPCAC 第 15 页（共 18 页） （1）证明：ACPB； （2）若PB与底面所成的角为45，求二面角BPCA的余弦值 【

35、解答】证明： （1）连接BD交AC于O， 底面ABCD为菱形，ACBD， PAPC，O为AC的中点，ACPO， 又BDPOO，AC平面PBD， 则ACPB； 解： （2）PAPC，O为AC的中点，ACPO， 又平面PAC 底面ABCD，平面PAC底面ABCDAC， PO 平面PAC， PO平面ABCD，则OB，OC，OP两两互相垂直 以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， PB与底面所成的角为45PBO， OBOP，设3OP ，则1OC ，3OB ( 3B，0，0)，(0C，1，0)，(0P，0，3)，(0A，1，0)， (3,0, 3)BP ，(3,

36、1,0)BC ， 设平面BPC的一个法向量为( , , )nx y z， 由 330 30 n BPxz n BCxy ，取1x ，得(1, 3,1)n ， 又平面APC的一个法向量( 3,0,0)mOB， 第 16 页（共 18 页） 35 cos, |553 m n m n m n 二面角BPCA为锐角， 二面角BPCA的余弦值为 5 5 21 （12 分）已知椭圆C的焦点在x轴上，并且经过点(0,1)，离心率为 3 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2）动直线l与圆 22 :1O xy相切于点M，与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中 点为D，求OMD面积的最大值，并求此时点D的坐标 【

37、解答】解： （1）由题意设椭圆的方程为 22 22 1 xy ab ，由题意可得1b ， 3 2 c e a ， 222 abc，解得：2a ，1b ， 所以椭圆的标准方程为： 2 2 1 4 x y； （2）设动直线的方程为：xmyn，(0)m ，由直线与圆相切可得 2 | 1 1 n m ，即 22 1nm ， 2 2 1 4 xmyn x y ，整理可得 222 (4)240m ymnyn， 222222 44(4)(4)16(4)480mnmnmn， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 0 (D x， 0) y， 则 12 2 2 4 mn yy m ，从而中点

38、 2 4 (4 n D m ， 2) 4 mn m ， 所以 第 17 页（共 18 页） 2222 2222 00 2222222 1111116193|31313 |11 4 22222(4)(4)2(4)2 42284 | 2 | | | OMD nm nmm SOMMDDMODOMxy mmmm m m m m ， 当且仅当| 2m ，|5n ， 所以OMD面积的最大值为 3 8 ，此时D的坐标 5 ( 2 ， 5) 4 或 5 ( 2 ， 5 ) 4 或 5 ( 2 ， 5) 4 或 5 ( 2 ， 5 ) 4 22 （12 分）已知函数 1 ( ) x x f xxlnx e （1

39、）求函数( )yf x在1x 处的切线方程； （2）证明： （）( )2f x ； （）任意*nN， 1 (2) nn enlnn 【解答】 （1）解：( )f x的定义域为(0,)， 函数 1 ( ) x x f xxlnx e 的导数为 1 1 ( )1 x x fxlnx e ， 则f（1）1，f（1）1， 所以( )f x在1x 处的切线方程为1(1)yx ， 即20 xy； （2）证明： （）( )2f x 可化为 1 2 x x xlnx e ， 设 1 ( ) x x h x e ，则 1 1 ( ) x x h x e ， 当(0,1)x时，( )0h x，( )h x递增；当

40、(1,)x时，( )0h x，( )h x递减， 故( )maxh xh（1）1， 设( )2g xxlnx，则( )1g xlnx， 当 1 (0, )x e 时，( )0g x，( )g x递减，当 1 (x e ，)时，( )0g x，( )g x递增 故 11 ( )( )2 min g xg ee ， 因为 1 12 e ，所以 1 2 x x xlnx e ， 所以( )2f x ； （）由( )2f x ，可得 1 2 x x xlnx e ， 第 18 页（共 18 页） 令 1 x n ，*nN，可得 1 1 11 2 n lnn n ne ， 即 1 1 1 2 n lnnn e ，所以 1 2 n n enlnn ，则20nlnn， 所以 1 (2) nn enlnn