专题02《全等三角形》（解析版）-期末挑重点之2020-2021学年上学期人教版八年级数学.docx

1、 专题 02 全等三角形 1全等三角形定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2全等三角形的性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等 （2）全等三角形的周长相等，面积相等 （3）全等三角形的对应的中线、高、角平分线相等 （4）传递性：若ABCDEF，DEFMNP，则ABCMNP 3全等三角形的判定 （1）判定方法： 依据定义 依据判定定理 （2）判定定理 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写为“SSS”） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写为“SAS”） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写为“ASA”） 两角分别相等且其中一角的对边也相等的两个三角

2、形全等（可以简写为“AAS”） 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写为“HL”） （3）证明思路 SAS HLSAS SSS 找夹角 已知两边 找直角或 找另一边 AAS SAS ASA AAS 边为角的对边找任一角 找夹角的另一边 已知一边和一角 边为角的一边找夹角的另一角 找边的对角 ASA AAS 找夹边 已知两角 找任一角的对边 （4）常用策略：添加辅助线法 连接两点的线段 过某点做某线的平行线，帮助找到相等的角，从而构造出全等三角形 作垂线，以出现直角、距离、高；题中若有角平分线、等腰三角形等条件时常作这样的辅助线，便于找 到相等线段或便于用三线合一定理 题中出现垂直

3、平分线条件时，向线段两端点连线 截取与某线段相等的线段，从而构造出全等三角形 4角的平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等 几何语言：OQ 平分AOB，且 QEOB，QDOA， QD=QE 5角的平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 几何语言：QEOB，QDOA，且 QD=QE， OQ 平分AOB 6尺规作图 （1）作已知角（课本 P36） （2）作角平分线（课本 P48） （3）作线段的垂直平分线（课本 P63） （4）作已知直线的垂线（课本 P62） 过已知直线上一点作已知直线的垂线 过已知直线外一点作已知直线的垂线 考点一、全等三角形的性

4、质考点一、全等三角形的性质 例例 1 （2020 淄博）如图，若ABCADE，则下列结论中一定成立的是（ ） A. AC=DE B. BAD=CAE C. AB=AE D. ABC=AED. 【答案】B 【解析】ABCADE， AC=AE，AB=AD，ABC=ADE，BAC=DAE， BAC-DAC=DAE-DAC， 即BAD=CAE. 故 A，C，D 选项错误，B 选项正确， 故选：B. 【名师点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键 考点二、全等三角形的判定考点二、全等三角形的判定 例例 2（2020 永州）如图，已知 AB=DC，ABC=DCB，能直接判断A

5、BCDCB 的方法是（ ） A. SAS B. AAS C. SSS D. ASA 【答案】A 【解析】AB=DC，ABC=DCB，BC=CB， ABCDCB（SAS） 故选：A. 【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键 考点三、角平分线的性质考点三、角平分线的性质 例例 3（2020 怀化）在 RtABC 中，B=90，AD 平分BAC，交 BC 于点 D，DEAC，垂足为点 E，若 BD=3，则 DE 的长为（ ） A. 3 B. 3 2 C. 2 D. 6 【答案】A 【解析】B=90， DBAB， 又AD 平分BAC， DEAC， DE=BD=3， 故

6、选：A 【名师点睛】 本题考查的是角平分线的性质， 掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键 考点四、角平分线的判定考点四、角平分线的判定 例例 4 （2020 焦作月考）已知，如图，MON=60 ，点 A，B 为射线 OM，ON 上的动点（点 A，B 不与点 O 重合） ，在MON 的内部、AOB 的外部有一点 P. 且 AP=BP，APB=120 求证：点 P 在MON 的平分线上. 【答案】见解析. 【解析】如图，过点 P 分别作 PSOM 于点 S， PTON 于点 T， OSP=OTP=90 ， 在四边形 OSPT 中， SPT=360 -OSP-SOT-OTP=360

7、-90 -60 -90 =120 ， APB=SPT=120 APS=BPT， 又ASP=BTP=90 AP=BP APSBPT PS=PT 点 P 在MON 的平分线上. 【名师点睛】本题考查全等三角形的性质和角平分线的判定定理，角的内部到角的两边距离相等的点在角 的平分线上用判定定理证明较为简单题中角平分线的性质定理和判定定理都要用到，注意书写的规范， 弄清每个定理需要的条件及得出的结论 考点五、尺规作图考点五、尺规作图 例例 5 （2020 金昌）如图，在ABC中，D是BC边上一点，且BDBA. （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ： 作ABC的角平分线交AD于点E； 作线段DC的

8、垂直平分线交DC于点F. （2）连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系. 【答案】见解析. 【解析】 （1）如图， BE 即为所求； 如图，线段 DC 的垂直平分线交 DC 于点 F， （2）BD=BA，BE 平分ABD， 点 E 是 AD 的中点， 点 F 是 CD 的中点， EF 是ADC 的中位线， 线段 EF 和 AC 的数量关系为：EF= 1 2 AC， 位置关系为：EFAC. 【名师点睛】本题考查了作图复杂作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平 分线的性质，灵活运用所学知识解决问题 考点六、考点六、全等三角形的全等三角形的判定与性质判定与性质 例例

9、 6（2020 南通）如图，在ABC 中，AB=2，ABC=60，ACB=45，D 是 BC 的中点，直线 l 经过 点 D，AEl，BFl，垂足分别为 E，F，则 AE+BF 的最大值为（ ） A. 6 B. 22 C. 23 D. 32 【答案】A 【解析】如图，过点 C 作 CKl 于点 K，过点 A 作 AHBC 于点 H， 在 RtAHB 中， ABC=60，AB=2， BH=1，AH=3， 在 RtAHC 中，ACB=45， AC= 2222 3 +3= 6AHCH （） （）， 点 B 为 BC 中点， BD=CD， 在BFD 与CKD 中， BFD=CKD=90，BDF=CDK

10、，BD=CD， BFDCKD（AAS） BD=CK， 延长 AE，过点 C 作 CNAE 于点 N， 可得 AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN， 在 RtCAN 中，ANAC， 当直线 lAC 时，最大值为6. 故选：A. 【名师点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的 关键. 考点考点七七、全等三角形的全等三角形的实际应用实际应用 例例 7（2020 陕西）如图所示，小明家与小华家同住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大 厦的高 MN，他俩在小明家的窗台 B 处，测得商业大厦顶部 N 的仰角1 的度数，由于楼下植物的遮挡， 不能

11、在 B 处测得商业大厦底部 M 的俯角的度数. 于是，他俩上楼来到小华家，在窗台 C 处测得大厦底部的 俯角2 的度数，竟然发现1 与2 恰好相等. 已知 A，B，C 三点共线，CAAM，NMAM，AB=31m， BC=18m，试求商业大厦的高 MN 【答案】商业大厦的高 MN 为 80 米. 【解析】如图，过点 C 作 CEMN 于点 E，过点 B 作 BFMN 于点 F， CEF=BFE=90， CAAM，NMAM， CEMN，BFMN， CE=BF，AE=AC， 1=2， BFNCEM（ASA） ， NF=EM=31+18=49， EF=CB=18， MN=NF+EM-EF=49+59-

12、18=80（m） 答：商业大厦的高 MN 为 80 米. 【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义，构造全等三角 形解决问题. 一、选择题一、选择题 1如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角 形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ） ASSS BSAS CAAS DASA 【答案】D 【解析】根据题意，由于三角形的两角和它们的夹边是完整的，因此，可以利用“角边角”定理作出完全 一样的三角形故选 D 2. （2020 荆州一模）如图，两个三角形全等，则 的度数是（ ） A50 B58 C72 D60 【答

13、案】A 【解析】两个三角形全等，50， 故选：A 3下列关于全等三角形的说法不正确的是（ ） A全等三角形的大小相等 B两个等边三角形一定是全等三角形 C全等三角形的形状相同 D全等三角形的对应边相等 【答案】B 【解析】A、全等三角形的大小相等，说法正确，故 A 选项错误； B、两个等边三角形，三个角对应相等，但边长不一定相等，所以不一定是全等三角形，故 B 选项正确； C、全等三角形的形状相同，说法正确，故 C 选项错误； D、全等三角形的对应边相等，说法正确，故 D 选项错误 故选 B 4.（2020 鄂州期中）如图，在 RtABC 和 RtBAD 中，AB 为斜边，ACBD，BC，AD

14、 相交于点 E，下 列说法错误的是（ ） AADBC BDABCBA CACEBDE DACCE 【答案】D 【解析】在 RtABC 和 RtBAD 中， AB=BA，AC=BD， RtABCRtBAD（HL）， BADABC，ADBC， AEBE， 又CD90，AECBED， ACEBDE 故选：D 5如图，P 是BAC 的平分线 AD 上一点，PEAB 于 E，PFAC 于 F，下列结论中不正确的是（ ） APEPF BAEAF CAPEAPF DAPPEPF 【答案】D 【解析】P 是BAC 的平分线 AD 上一点，PEAB 于 E，PFAC 于 F， PE=PF，又有 AP=AP， A

15、PEAPF（HL），AE=AF，故选 D 6如图，已知AB DCADBCBEDF， ，则图中全等三角形的总对数是（ ） A3 B4 C5 D6 【答案】D 【解析】直接数出图中全等三角形的总对数为 6 对故选 D 7如图， 55ABDCAEDFCEBFB， ，则C（ ） A45 B55 C35 D65 【答案】B 【解析】因为CEBF，所以 CF=BE，而ABDCAEDF，所以FCDEBA，所以 55CB 故选 B 8 （2020 通州一模）如图，D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DEFE，FCAB，若 AB4，CF3， 则 BD 的长是（ ） A0.5 B1 C1.5 D2 【

16、答案】B 【解析】CFAB， AFCE，ADEF， 在ADE 和FCE 中 = = = ， ADECFE（AAS） ， ADCF3， AB4， DBABAD431，故选 B 9 （2020 焦作模拟）如图，BD是ABC的角平分线，AEBD，垂足为F若35ABC，50C， 则CDE的度数为（ ） A35 B40 C45 D50 【答案】A 【解析】BD是ABC的角平分线，AEBD， ABDEBD，AFBEFB， BFBF， ()ABFEBF ASA， AFEF，ABBE， ADDE， 35ABC，50C， 18095BACABCC， 在DAB与DEB中 ABBE ADDE BDBD ， ， ，

17、， ()ABDEAD SSS ， 95BEDBAD ， 360959535145ADE ， 18035CDEADE， 故选A 10 （2020 鄂州）如图，在AOB 和CDO 中，OA=OB，OC=OD，OAOC，AOB=COD=36.连接 AC，BD 交于点 M，连接 OM. 下列结论：AMB=36，AC=BD，OM 平分AOD，MO 平分 AMD. 其中正确是结论个数有（ ）个 A. 4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【解析】AOB=COD=36， AOB+BOC=COD+BOC， 即AOC=BOD， 在AOC 和BOD 中， OA=OB，AOC=BOD，OC=OD， AOCBOD（

18、SAS） ， OCA=ODB，AC=BD，故正确. OAC=ODB， 由三角形的外角性质得： AMB+OBD=OAC+AOB， AMB=AOB=36，故正确； 作 OGAM 于 G，OHDM 于 H，如图所示， 则OGA=OHB=90， AOSBOD， OG=OH， MO 平分AMD，故正确； 假设 OM 平分AOD，则DOM=AOM， 在AOM 与DMA 中， AOM=DOM，OM=OM，AMO=DMO， AMODMO（ASA） ， AO=OD，OC=OD， 而 OAOC，故错误； 正确的个数有 3 个； 故选：B. 二、填空题二、填空题 11 （2020 江西）如图，AC 平分DCB，CB

19、=CD，DA 的延长线交 BC 于点 E，若EAC=49 ，则BAE 的度数为 【答案】82 . 【解析】AC 平分DCB， BCA=DCA， 又CB=CD，AC=AC， ABCADC， （SAS） ， B=D， B+ACB=D+ACD， CAE=D+ACD=49， B+ACB=49， BAE=180-B-ACB-CAE=82 故答案为：82. 12. （2020 湘潭）如图，点 P 是AOC 的角平分线上一点，PDOA，垂足为点 D，且 PD=3，点 M 是射线 OC 上一动点，则 PM 的最小值为 【答案】3. 【解析】根据垂线段最短可知：当 PMOC 时，PM 最小， 当 PMOC 时，

20、 又OP 平分AOC，PDOA，PD=3 PM=PD=3， 故答案为：3. 13.如图，ABDCBD，若A=80 ，ABC=70 ，则ADC 的度数为_ 【答案】130 【解析】ABDCBD，C=A=80 ， ADC=360 -A-ABC-C=360 -80 -70 -80 =130 故答案为：130 14 （2020 菏泽模拟）如图，在ABC 中，ACB120，BC4，D 为 AB 的中点，DCBC，则ABC 的面积是 【答案】83 【解析】DCBC， BCD90， ACB120， ACD30， 延长 CD 到 H 使 DHCD， D 为 AB 的中点， ADBD， 在ADH 与BCD 中，

21、 = = = ， ADHBCD（SAS） ， AHBC4，HBCD90， ACH30， CH= 3AH43， CD23， ABC 的面积2SBCD2 1 2 423 =83， 故答案为：83 15 （2020 武汉模拟）如图，AD 是ABC 的角平分线，DFAB，垂足为 F，DEDG，ADG 和AED 的面积分别为 40 和 28，则EDF 的面积为 【答案】6 【解析】如图，过点 D 作 DHAC 于 H， AD 是ABC 的角平分线，DFAB， DFDH， 在 RtDEF 和 RtDGH 中， DE=DG，DF=DH， RtDEFRtDGH（HL）， SEDFSGDH，设面积为 S， 同理

22、 RtADFRtADH（HL） SADFSADH， 即 28+S40S， 解得 S6 故答案为：6. 16.（2020 齐齐哈尔）如图，已知在ABD 和ABC 中，DAB=CAB，点 A、B、E 在同一条直线上， 若使ABDABC，则还需添加的一个条件是 （只填一个即可） 【答案】ADAC（DC 或ABDABC 等） 【解析】,DABCAB ABAB， 可以添加ADAC，此时满足SAS； 添加条件DC ，此时满足AAS； 添加条件ABDABC ，此时满足ASA， 故答案为：ADAC（DC 或ABDABC 等） 三、解答题三、解答题 17. （2020 鞍山） 如图， 在四边形 ABC D 中，

23、 B=D=90， 点 E， F 分别在 AB， AD 上， AE=AF， CE=CF， 求证：CB=CD 【答案】见解析 【解析】证明：连接 AC， 在AEC 与AFC 中， AC=AC，CE=CF，AE=AF， AECAFC（SSS） ， ACECAF， BD=90， CB=CD 18.（2020 大连）如图，ABC 中，AB=AC，点 D，E 在边 BC 上，BD=CE，求证：ADE=AED 【答案】见解析 【解析】证明：AB=AC， BC， 在ABD 与ACE 中， AB=AC，BC，BD =CE， ABDACE（SAS） ， AD=AE， ADEAED 19.（2020 河池） （1）

24、如图（1） ，已知 CE 与 AB 交于点 E，AC=BC，1=2. 求证：ACEBCE （2）如图（2） ，已知 CD 的延长线与 AB 交于点 E，AD=BC，3=4探究 AE 与 BE 的数量 关系，并说明理由 【答案】见解析 【解析】 （1）证明：在ACE 和BCE 中， AC=BC，1=2，CE=CE， ACEBCE（SAS） ； （2）AE=BE， 理由如下： 在 CE 上截取 CF=DE， 在ADE 和BCF 中， AD=CB，3=4，CF=DE， ADEBCF（SAS） ， AE=BF，AED=CFB， AED+BEF=180，CFB+EFB=180， BEF=EFB， BE=

25、BF， AE=BE. 20如图，电信部门要在公路 m，n 之间的 S 区域修建一座电视信号发射塔 P按照设计要求，发射塔 P 到 区域 S 内的两个城镇 A， B 的距离必须相等， 到两条公路 m， n 的距离也必须相等 发射塔 P 建在什么位置？ 在图中用尺规作图的方法作出它的位置并标出（不写作法但保留作图痕迹） 【答案】如图所示，点 P 就是所求作的点 【解析】本题主要考查尺规作角平分线和尺规作垂直平分线 作线段 AB 的垂直平分线，再作直线 m 与 n 的夹角的角平分线，两线的交点就是 P 点 21.（2020 镇江）如图，AC 是四边形 ABCD 的对角线，1=B，点 E、F 分别在

26、AB、BC 上，EB=CD， BE=CD，BF=CA，连接 EF （1）求证：D=2； （2）若 EFAC，D=78 ，求BAC 的度数 【答案】 （1）见解析； （2）2=78 【解析】 （1）在BEF与CDA中， 1 BECD B BFCA ()BEFCDA SAS 2D； （2）2D ，D=78， 2D=78， EF/AC， 2BAC =78 22.（2020 泸州一模）如图，ABCD，AD 和 BC 相交于点 O，OAOD求证：OBOC 【答案】见解析. 【解析】证明：ABCD， AD，BC， 在AOB 和DOC 中， = = = ， AOBDOC（AAS） ， OBOC 23.（20

27、20 荆门）如图，ABC中，ABAC，B的平分线交AC于 D，/AEBC交BD的延长线于 点 E，AFAB交BE于点 F （1）若40BAC，求AFE的度数； （2）若2ADDC，求AF的长 【答案】（1）125AFE；（2） 4 3 3 AF 【解析】（1）ABAC，40BAC， 18040 70 2 ABC BD平分ABC， 1 7035 2 ABDDBC ， AFAB，90BAF， 9035125AFEBAFABD （2）/AE BC， EDBC ， 又ADECDB，ADCD ADECDB，AECB， ,EDBCABDDBC EABD ， ABAE，ABCBAC，ABC为等边三角形， 6

28、0ABC，30ABD， 2ADDC，4AB ， 在在Rt ABF中，中，30ABD，设 AF=x，则 BF=2x， x2+42=（2x）2， 3x2=16， x2=16 3 ， 4 3 3 AF 24.（2020 内江）如图，点 C、E、F、B 在同一直线上，点 A、D 在 BC 的异侧，/ /ABCD，AE=DF，A= D （1）求证：AB=CD； （2）若 AB=CF，B=40，求D的度数 【答案】 （1）见解析； （2）70 【解析】 （1）证明：/ /ABCD， BC ， 在ABE与DCF中， AC BC AEDF ， ()ABEDCF AAS ； ABCD ； （2）ABEDCF ，

29、 ABCD ，BE CF ， BC ， 40B， 40C， ABCF， CF CD ， 1 (18040 )70 2 DCFD 25 （2020 武汉模拟） 如图 1， 点 P、 Q 分别是等边ABC 边 AB、 BC 上的动点 （端点除外） ， 点 P 从顶点 A、 点 Q 从顶点 B 同时出发，且它们的运动速度相同，连接 AQ、CP 交于点 M （1）求证：ABQCAP； （2）当点 P、Q 分别在 AB、BC 边上运动时，QMC 变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度 数； （3）如图 2，若点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动，直线 AQ、CP 交点为 M，

30、则 QMC 变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数 【答案】 （1）证明见解析； （2）点 P、Q 在运动的过程中，QMC 不变，QMC=60 ； （3）点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动时，QMC 不变，QMC=120 【解析】（1）证明：ABC 是等边三角形 ABQ=CAP，AB=CA， 又点 P、Q 运动速度相同， AP=BQ， 在ABQ 与CAP 中， ABCA ABQCPA APBQ ， ABQCAP（SAS） （2）点 P、Q 在运动的过程中，QMC 不变 理由：ABQCAP， BAQ=ACP， QMC=ACP+MAC， QMC=BAQ+MAC=BAC=60 （3）点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动时，QMC 不变 理由：ABQCAP， BAQ=ACP， QMC=BAQ+APM， QMC=ACP+APM=180 -PAC=180 -60 =120