2013年高考数学总复习课时训练 8-6 《抛物线》 新人教B版选修1-1.doc

1、. 20132013 年高考数学总复习年高考数学总复习 8 8- -6 6 抛物线但因为测试抛物线但因为测试 新人教新人教 B B 版版 1.(文)(2011惠州调研)若抛物线 y 22px 的焦点与椭圆x 2 6 y 2 21 的右焦点重合， 则 p 的值为( ) A2 B2 C4 D4 答案 D 解析 椭圆中，a 26，b22，c a2b22， 右焦点(2,0)，由题意知p 22，p4. (理)(2011东北三校联考)抛物线 y 28x 的焦点到双曲线x 2 12 y 2 41 的渐近线的距离 为( ) A1 B.3 C. 3 3 D. 3 6 答案 A 解析 抛物线 y 28x 的焦点

2、F(2,0)到双曲线x 2 12 y 2 41 的渐近线 y 3 3 x 的距离 d1. 2(文)(2011陕西文，2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x2，则抛物线 的方程是( ) Ay 28x By 24x Cy 28x Dy 24x 答案 C 解析 由抛物线准线方程为 x2 知 p4， 且开口向右， 抛物线方程为 y 28x. 故选 C. (理)(2010河北许昌调研)过点 P(3,1)且方向向量为 a(2，5)的光线经直线 y 2 反射后通过抛物线 y 2mx，(m0)的焦点，则抛物线的方程为( ) Ay 22x By 23 2x Cy 24x Dy 24x . 答案 D 解析 设过

3、 P(3,1)，方向向量为 a(2，5)的直线上任一点 Q(x，y)，则PQ a， x3 2 y1 5 ， 5x2y130， 此直线关于直线 y2 对称的直线方程为 5x2( 4y)130，即 5x2y50，此直线过抛物线 y 2mx 的焦点 F ? ? ? ? ? ? m 4，0 ，m4，故 选 D. 3(文)(2011茂名一模)直线 yx3 与抛物线 y 24x 交于 A、B 两点，过 A、B 两 点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P、Q，则梯形 APQB 的面积为( ) A48 B56 C64 D72 答案 A 解析 由题意不妨设 A 在第一象限，联立 yx3 和 y 24x 可得 A

4、(9,6)，B(1， 2)， 而抛物线的准线方程是 x1， 所以|AP|10， |QB|2， |PQ|8， 故 S梯形 APQB1 2(|AP| |QB|)|PQ|48，故选 A. (理)(2011石家庄模拟)直线 3x4y40 与抛物线 x 24y 和圆 x2(y1)21 从 左到右的交点依次为 A、B、C、D，则|AB| |CD|的值为( ) A16 B. 1 16 C4 D.1 4 答案 B 解析 由? ? 3x4y40， x 24y 得 x 23x40， xA1，xD4，yA1 4，y D4， 直线 3x4y40 恰过抛物线的焦点 F(0,1) |AF|yA15 4，|DF|y D15

5、， |AB| |CD| |AF|1 |DF|1 1 16.故选 B. . 4(2010福州市质检)已知 P 为抛物线 y 24x 上一个动点，Q 为圆 x2(y4)21 上一个动点，那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( ) A5 B8 C.171 D.52 答案 C 解析 抛物线 y 24x 的焦点为 F(1,0)，圆 x2(y4)21 的圆心为 C(0,4)，设点 P 到抛物线的准线距离为 d，根据抛物线的定义有 d|PF|，|PQ|d|PQ| |PF|(|PC|1)|PF|CF|1171. 5(2010福建福州)若抛物线 y 24x 的焦点是 F，准线是

6、 l，则经过点 F、M(4,4) 且与 l 相切的圆共有( ) A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 答案 C 解析 经过 F、 M 的圆的圆心在线段 FM 的垂直平分线上， 设圆心为 C， 则|CF|CM|， 又圆 C 与 l 相切，所以 C 到 l 距离等于|CF|，从而 C 在抛物线 y 24x 上 故圆心为 FM 的垂直平分线与抛物线的交点，显然有两个交点，所以共有两个圆 6(2011湖北文，4)将两个顶点在抛物线 y 22px(p0)上，另一个顶点是此抛物线 焦点的正三角形个数记为 n，则( ) An0 Bn1 Cn2 Dn3 答案 C 解析 由抛物线的对称性知，在抛物线上的两个顶

7、点关于 x 轴对称，所以过抛物线 焦点 F 作斜率为 3 3 (或斜率为 3 3 )的直线与抛物线有两个不同交点，它们关于 x 轴的对 称点也在抛物线上，这样可得到两个正三角形 7(2010延边州质检)抛物线的焦点为椭圆x 2 9 y 2 41 的左焦点，顶点在椭圆中心， 则抛物线方程为_ 答案 y 24 5x 解析 由 c 2945 得 F( 5，0)， 抛物线方程为 y 24 5x. . 8 (文)若点(3, 1)是抛物线 y 22px 的一条弦的中点， 且这条弦所在直线的斜率为 2， 则 p_. 答案 2 解析 设弦两端点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则? ? y 2 12

8、px1 y 2 22px2 ，两式相减得，y 1y2 x1x2 2p y1y22， y1y22，p2. (理)已知点 A(2,0)、B(4,0)，动点 P 在抛物线 y 24x 上运动，则AP BP 取得最小 值时的点 P 的坐标是_ 答案 (0,0) 解析 设 P? ? ? ? ? y 2 4 ，y ，则AP ? ? ? ? ? y 2 42，y ，BP ? ? ? ? ? y 2 44，y ，AP BP ? ? ? ? ? y 2 42 ? ? ? ? ? ? y 2 44 y 2y 4 16 5 2y 288，当且仅当 y0 时取等号，此时点 P 的坐标为(0,0) 9(文)(2011湖

9、南六校联考)AB 是抛物线 y 2x 的一条焦点弦，若|AB|4，则 AB 的中点到直线 x1 20 的距离为_ 答案 9 4 解析 由题可知|AB|4，所以 A、B 两点分别到准线 x1 4的距离之和为 4，所以 AB 的中点到准线 x1 4的距离为 2，所以 AB 的中点到直线 x 1 2的距离为 2 1 4 9 4. (理)(2011黑龙江哈六中期末)设抛物线 y 28x 的焦点为 F， 过点 F 作直线交抛物线 于 A、B 两点，若线段 AB 的中点 E 到 y 轴的距离为 3，则 AB 的长为_ 答案 10 解析 2p8，p 22，E 到抛物线准线的距离为 5，|AB|AF|BF|2

10、5 10. 10(文)(2011福建文，18)如图，直线 l：yxb 与抛物线 C：x 24y 相切于点 A. (1)求实数 b 的值； (2)求以点 A 为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程 . 解析 (1)由? ? yxb x 24y 得 x 24x4b0(*) 直线 l 与抛物线相切 (4) 24(4b)0 (*) b1 (2)由(1)知 b1，方程(*)为 x 24x40 解得 x2，代入 x 24y 中得，y1，A(2,1) 圆 A 与抛物线准线 y1 相切 r|1(1)|2. 所以圆 A 的方程为(x2) 2(y1)24. (理)(2011韶关月考)已知动圆过定点 F(0,

11、2)，且与定直线 L：y2 相切 (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程； (2)若 AB 是轨迹 C 的动弦，且 AB 过 F(0,2)，分别以 A、B 为切点作轨迹 C 的切线， 设两切线交点为 Q，证明：AQBQ. 解析 (1)解：依题意，圆心的轨迹是以 F(0,2)为焦点，L：y2 为准线的抛物 线， 因为抛物线焦点到准线距离等于 4， 所以圆心的轨迹方程是 x 28y. (2)证明：因为直线 AB 与 x 轴不垂直， 设 AB：ykx2.A(x1，y1)，B(x2，y2) 由 ? ? ? ? ? ykx2， y1 8x 2， 可得 x 28kx160， x1x28k，x1x216. 抛物

12、线方程为 y1 8x 2，求导得 y1 4x. . 所以过抛物线上 A、B 两点的切线斜率分别是 k11 4x 1，k21 4x 2， k1k21 4x 11 4x 2 1 16x 1x21. 所以 AQBQ. 11.(文)(2011温州模拟)已知 d 为抛物线 y2px 2(p0)的焦点到准线的距离，则 pd 等于( ) A.1 2p 2 Bp 2 C.1 2 D.1 4 答案 D 解析 抛物线方程可化为 x 21 2py， d 1 4p，则 pd 1 4，故选 D. (理)(2011山东文，9)设 M(x0，y0)为抛物线 C：x 28y 上一点，F 为抛物线 C 的焦 点，以 F 为圆心

13、、|FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交，则 y0的取值范围是( ) A(0,2) B0,2 C(2，) D2，) 答案 C 解析 设圆的半径为 r，因为 F(0,2)是圆心，抛物线 C 的准线方程 y2.圆与准 线相切时半径为 4.若圆与准线相交则 r4.又因为点 M(x0，y0)为抛物线 x 28y 上一点，所 以有 x 2 08y0.又点 M(x0，y0)在圆 x 2(y2)2r2上所以 x2 0(y02) 2r216，所以 8y 0 (y02) 216，即有 y2 04y0120，解得 y02 或 y02.故选 C. 12(文)(2010山东文)已知抛物线 y 22px(p0)，过

14、焦点且斜率为 1 的直线交抛物 线于 A、B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为( ) Ax1 Bx1 Cx2 Dx2 答案 B . 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段 AB 的中点(x 1x2 2 ，y 1y2 2 )，y 1y2 2 2， ? ? ? y 2 12px1 y 2 22px2 得 y 2 1y 2 22p(x1x2)，kABy 1y2 x1x2 2p y1y2 p 2， kAB1，p2，y 24x， 准线方程为：x1，故选 B. (理)(2011山东济宁一模)已知抛物线 y 22px(p0)上一点 M(1，m)(m0)到其焦点

15、的距离为 5，双曲线x 2 ay 21 的左顶点为 A，若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行，则 实数 a 的值是( ) A. 1 25 B.1 9 C.1 5 D.1 3 答案 B 解析 根据抛物线定义可得， 抛物线准线方程为 x4， 则抛物线方程为 y 216x. 把 M(1，m)代入 y 216x 得 m4，即 M(1,4) 在双曲线x 2 ay 21 中，A( a，0)，则 kAM 4 1 a 1 a. 解得 a1 9. 13(2011台州二检)已知抛物线 y 22px(p0)的焦点为 F，F 关于原点的对称点为 P，过 F 作 x 轴的垂线交抛物线于 M、N 两点，有下列四个命题： PMN 必为直角三角形； PMN 不一定为直角三角形； 直线 PM 必与抛物线相切； 直线 PM 不一定与抛物线相切其中正确的命题是( ) A B C D 答案 A 解析 因为|PF|MF|NF|，故FPMFMP，FPNFNP，从而可知MPN 90，故正确，错误；令直线 PM 的方程为 yxp 2，代入抛物线方程可得 y 22py p 20，0，所以直线 PM 与抛物线相切，故正确，错误 . 14 (2011烟台检测)已知抛物线型拱桥的顶点距离水面 2 米时， 测量水面宽为 8 米， 当水面上升1 2米后，水面的