2013年高考数学总复习课时训练 3-3 《导数的实际应用》 新人教B版选修1-1.doc

1、. 20132013 年高考数学总复习年高考数学总复习 3 3- -3 3 导数的实际应用但因为测试导数的实际应用但因为测试 新人教新人教 B B 版版 1.在内接于半径为 R 的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为( ) A.R 2和 3 2R B. 5 5 R 和4 5 5 R C.4 5R 和 7 5R D以上都不对 答案 B 解析 设矩形垂直于半圆直径的边长为 x，则另一边长为 2 R 2x2，则 l2x 4R 2x2 (0xR)， l2 4x R 2x2，令 l0，解得 x 5 5 R. 当 0x 5 5 R 时，l0；当 5 5 RxR 时，l0. 所以当 x 5 5 R 时，l

2、取最大值，即周长最大的矩形的边长为 5 5 R，4 5 5 R. 2(文)正三棱柱体积为 V，则其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D23V 答案 C 解析 设正三棱柱底面边长为a，高为h，则体积V 3 4 a 2h，h 4V 3a 2，表面积S 3 2 a 23ah 3 2 a 24 3V a ， 由 S 3a4 3V a 20，得 a34V，故选 C. (理)做一个圆柱形锅炉，容积为 V，两个底面的材料每单位面积的价格为 a 元，侧面 的材料每单位面积的价格为 b 元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( ) A.a b B. a 2 b C. b a

3、D. b 2 a 答案 C 解析 . 如图，设圆柱的底面半径为 R，高为 h，则 VR 2h. 设造价为 y，则 y2R 2a2Rhb2aR22Rb V R 22aR 22bV R ， y4aR2bV R 2. 令 y0 并将 VR 2h 代入解得，2R h b a. 3(2010山东文，8)已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万 件)的函数关系式为 y1 3x 381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( ) A13 万件 B11 万件 C9 万件 D7 万件 答案 C 解析 y1 3x 381x234， yx 281(x0) 令 y0 得 x9，令 y

4、9，令 y0 得 00 和 x0，得 00，ax 22x10 有实数解当 a0 时，显然满足；当 a0， 11. 解法 2：f (x)1 xax2 1ax 22x x ， 由题意可知 f (x)1 x 22 x在(0，)内有实数解 x(0，)时，1 x 22 x( 1 x1) 211，a1. 9有一个容积 V 一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁 的 3 倍，问如何设计使总造价最小？ 分析 桶的总造价要根据铁与铝合金的用量来定，由于二者单位面积的价格不同， 在保持铁桶容积不变的前提下，使总造价最小问题转化为 V 一定求总造价 y 的最小值， 选取恰当变量(圆柱高 h 或底

5、半径 r)来表示 y 即变为函数极值问题 解析 解：设圆柱体高为 h，底面半径为 r，又设单位面积铁的造价为 m，桶总造 价为 y，则 y3mr 2m(r22rh) . 由于 Vr 2h，得 h V r 2，所以 y4mr 22mV r (r0) 所以，y8mr2mV r 2. 令 y0，得 r? ? ? ? ? V 4 1 3 ，此时，h V r 24? ? ? ? ? V 4 1 3 . 该函数在(0，)内连续可导，且只有一个使函数的导数为零的点，问题中总造价 的最小值显然存在，当 r? ? ? ? ? V 4 1 3 时，y 有最小值，即 4 时，总造价最小 10(文)已知球的直径为 d

6、，求当其内接正四棱柱体积 最大时，正四棱柱的高为多少？ 解析 如右图所示，设正四棱柱的底面边长为 x，高 为 h， 由于 x 2x2h2d2， x 21 2(d 2h2) 球内接正四棱柱的体积为 Vx 2h1 2(d 2hh3)，00，cos0；当 1 20) (2)V1 3a 2h1 3 h 1h 2(h0)， V1 3 h 2 1h 22 1h 2 h 22. 所以当 00.所以 V(h)在(0,1上为增函数 当 h1 时，V0 成立 解析 f(x)lnx，f (x)1 x，g(x)lnx 1 x. g(x)x1 x 2，令 g(x)0 得 x1， 当 x(0,1)时，g(x)0.(1，)

7、是 g(x)的单调增区间 因此当 x1 时 g(x)取极小值，且 x1 是唯一极值点，从而是最小值点 所以 g(x)最小值为 g(1)1. . (2)g(1 x)lnxx 令 h(x)g(x)g(1 x)2lnxx 1 x， 则 h(x) 2 x 2， 当 x1 时，h(1)0，即 g(x)g(1 x)， 当 x(0,1)(1，)时 h(x)h(1)0，即 g(x)g(1 x) 当 x(1，)时，h(x)g(1 x)， 当 x1 时，g(x)g(1 x) 当 x(1，)时，g(x)0 成立等价于 g(a)10，f(x)为增函数， 当 x10，f(x)单调增，只有正确 5某工厂要围建一个面积为

8、128m 2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其它三边 要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，堆料场的长、宽应分别为_ 答案 16m 8m 解析 解：设场地宽为 xm，则长为128 x m， 因此新墙总长度为 y2x128 x (x0)， y2128 x 2，令 y0，x0，x8. 因为当 0x8 时，y0；当 x8 时，y0， 所以当 x8 时，y 取最小值，此时宽为 8m，长为 16m. 即当堆料场的长为 16m，宽为 8m 时，可使砌墙所用材料最省 6(2010东北三校二模)已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万元， 每生产 1 千件需另投入 2.7 万元设该公司一年内生

9、产该品牌服装 x 千件并全部销售完， 每千件的销售收入为 R(x)万元，且 R(x) ? ? ? ? ? 10.8 1 30x 2，010 . (1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得年利润最大(注： 年利润年销售收入年总成本) 解析 (1)当 010 时，WxR(x)(102.7x)981000 3x 2.7x， . W ? ? ? ? ? 8.1xx 3 3010，010 . (2)当 00；当 x(9,10时，W10 时，W98(1000 3x 2.7x)982 1000 3x 2.7x38， 当且仅当

10、1000 3x 2.7x，即 x100 9 时，W 取得最大值 38. 综合知：当 x9 时，W 取得最大值为 38.6 万元， 故当年产量为 9 千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获的年利润最大 7某工厂每天生产某种产品最多不超过 40 件，并且在生产过程中产品的正品率 P 与 日产量 x(xN *)件之间的关系为 P4200x 2 4500 ，每生产一件正品盈利 4000 元，每出现一件 次品亏损 2000 元(注：正品率产品中的正品件数产品总件数) (1)将日利润 y(元)表示成日产量 x(件)的函数； (2)问该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值 解析 (1)y40004200x 2 4500 x2000(14200x 2 4500 ) 2x3600x4 3x 3. 所求的函数关系式是 y4 3x 33600x(xN*,1x40) (2)由(1)知 y36004x 2.令 y0，解得 x30. 当 1x0；当 30x40 时，y0. 函数 y4 3x 33600x(xN*,1x40)在1,30上是单调递增函数，在30,40上 是单调递减函数 当 x30 时， 函数 y4 3x 33600x(xN*,1x40)取得最大值， 最大值为4 330 3 36003072000(元) 该厂的日产量为 30 件时，日利润最大，最大值为 72000 元 .