（新教材）高中数学人教A版选择性必修第三册课件：第六章　习题课-排列与组合的综合应用.pptx

1、习题课排列与组合的综合应用 课标阐释 思维脉络 1.能够判断所研究的问题是不是排列或 组合问题.(逻辑推理) 2.进一步熟练掌握排列数、组合数公式 的计算技能.(数学运算) 3.熟练掌握用排列、组合解决常见问题 的方法.(数学建模) 激趣诱思 知识点拨 有十个年轻人在一家饭店吃饭,几个人想吃免费的午餐,老板说:“你 们每次来吃饭由我安排座位,如果我安排的座位与前面的哪一次完 全重复了,就免去全部费用.”大家以为很快能吃到免费餐,结果一年 以后还没吃到.你认为他们有可能吃到吗? 激趣诱思 知识点拨 一、排列数、组合数的公式及性质 激趣诱思 知识点拨 微练习 对所有满足1mn5的自然数m,n,方程

2、x2+ y2=1所表示的不 同椭圆的个数为 . n m 解析:1mn5,n m有 2 1, 3 1, 3 2, 4 1, 4 2, 4 3, 5 1, 5 2, 5 3, 5 4共10 种情况.其中3 1 = 3 2, 4 1 = 4 3, 5 1 = 5 4, 5 2 = 5 3,所以x2+ n my2=1能 表示的不同椭圆有 6 个. 答案:6 激趣诱思 知识点拨 二、排列与组合的区别 排列 组合 排列与顺序有关 组合与顺序无关 两个排列相同,当且仅当这两个排 列的元素及其排列顺序完全相同 两个组合相同,当且仅当这两 个组合的元素完全相同 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1)某高三毕业班有4

3、0人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留 言,那么全班共写了毕业留言 条. (2)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙两人所选的课程中 恰有1门相同的选法有 种. 解析:(1)由题意,得毕业留言共40 2 =1 560(条).(2)依题意知,满足题意 的选法共有4 1 3 1 2 1=24(种). 答案:(1)1 560 (2)24 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 排列问题排列问题 例1(1)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能 排甲,则不同的排法共有( ) A.192种 B.216种 C.240种 D.288种 (2)把5件不同产品摆成一排,若产

4、品A与产品B相邻,且产品A与产品 C不相邻,则不同的摆法有 种. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解析:(1)第 1 类,甲在最左端,有A5 5 =120(种)排法; 第 2 类,乙在最左端,有 4A4 4=96(种)排法, 所以共有 120+96=216(种)排法. (2)记其余两种产品为 D,E,由于 A,B 相邻,则视为一个元素,先与 D,E 排列,有A2 2 A3 3种方法.再将 C 插入,仅有 3 个空位可选,共有 A2 2 A3 3 C3 1=263=36(种)不同的摆法. 答案:(1)B (2)36 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟

5、 求解排列问题的六种主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列, 同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再 将不相邻的元素插在前面元素排列的空中 定序问题 除法处理 对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再 除以定序元素的全排列 间接法 正难则反、等价转化的方法 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练1工程队有6项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程 甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,工程丁 必须在工程丙完成后立即进行

6、,则安排这6项工程的不同方法种数 为( ) A.10 B.20 C.30 D.40 解析:因为工程丙完成后立即进行工程丁,若不考虑与其他工程的顺 序,则安排这 6 项工程的不同方法数为A5 5,对于甲、乙、丙、丁所处 位置的任意排列有且只有一种情况符合要求,因此,符合条件的安排 方法种数为A5 5 A3 3=54=20. 答案:B 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 组合问题组合问题 组合问题的常见题型及解题思路 常见题型 一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、 分组问题等 解题思路 (1)分清问题是否为组合问题; (2)对较复杂的组合问题,要搞清是“分类”还是“分步”

7、, 一般是先整体分类,然后局部分步,将复杂问题通过两 个计数原理化归为简单问题 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 例2(1)某学校为了迎接市春季运动会,从5名男生和4名女生组成的 田径运动队中选出4人参加比赛,要求男、女生都有,则男生甲与女 生乙至少有1人入选的方法种数为( ) A.85 B.86 C.91 D.90 (2)设集合A=(x1,x2,x3,x4,x5)|xi-1,0,1,i=1,2,3,4,5,那么集合A中 满足条件“1|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|3”的元素个数为( ) A.130 B.120 C.90 D.60 (3)从6男2女共8名学生中

8、选出队长1人、副队长1人、普通队员2人 组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 种不 同的选法. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解析:(1)(方法一 直接法)由题意,可分三类考虑:第1类,男生甲入选 女生乙不入选的方法种数为C3 1C42 + C3 2C41 + C3 3=31; 第 2 类,男生甲不入选,女生乙入选的方法种数为C4 1C32 + C4 2C31 + C4 3=34; 第 3 类,男生甲入选,女生乙入选的方法种数为C3 2 + C4 1C31 + C4 2=21. 所以男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为 31+34+21=86. (方法

9、二 间接法)从 5 名男生和 4 名女生中任意选出 4 人,男、女生 都有的选法有C9 4 C5 4 C4 4=120(种);男、女生都有,且男生甲与女生 乙都没有入选的方法有C7 4 C4 4=34(种).所以男生甲与女生乙至少 有 1 人入选的方法种数为 120-34=86. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (2)易知|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=1 或 2 或 3,下面分三类讨论: 第 1 类,|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=1,此时,从 x1,x2,x3,x4,x5中任取一个让 其等于 1 或-1,其余等于 0,于是有C5 1C

10、21=10(种)情况;第 2 类,|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=2,此时,从 x1,x2,x3,x4,x5中任取两个让其都 等于 1 或都等于-1 或一个等于 1、另一个等于-1,其余等于 0,于是有 2C5 2 + C5 2C21=40(种)情况;第 3 类,|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=3,此时,从 x1,x2,x3,x4,x5中任取三个让其都等于 1 或都等于-1 或两个等于 1、另 一个等于-1 或两个等于-1、另一个等于 1,其余等于 0,于是有 2C5 3 + C5 2C31 + C5 1C42=80(种)情况.所以满足条件的元素个数为 10

11、+40+80=130. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (3)从 8 人中选出 4 人,且至少有 1 名女学生的选法种数为C8 4 C6 4=55. 从 4 人中选出队长 1 人,副队长 1 人,普通队员 2 人的选法为 A4 2=12(种). 故总共有 5512=660(种)选法. 答案:(1)B (2)A (3)660 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 有限制条件的组合问题的解法 组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“含”或“不含”某些元 素,或者“至少”或“最多”含有几个元素: (1)“含”或“不含”某些元素的组合题型.“含”,则先将这些

12、元素取出, 再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素 中去选取. (2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型.考虑逆向思维,用间接法 处理. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练2现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡 片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡 片至多1张,不同取法的种数为 . 解析:第 1 类,含有 1 张红色卡片,不同的取法有C4 1C122 =264(种).第 2 类,不含有红色卡片,不同的取法有C12 3 -3C4 3=220-12=208(种).由分类 加法计数原理,不同的取法种数为 2

13、64+208=472. 答案:472 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 分组分配问题分组分配问题 分组分配问题是排列、组合问题的综合运用,解决这类问题的一个 基本指导思想就是先分组后分配.关于分组问题,有整体均分、部 分均分和不等分三种,无论分成几组,都应注意只要有一些组中元 素的个数相等,就存在均分现象. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 例3(1)教育部为了发展贫困地区教育,在全国重点师范大学免费培 养教育专业师范生,毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培 养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教,有 种不同的分派方法. (2)若将6名教师分到

14、3所中学任教,一所1名,一所2名,一所3名,则有 种不同的分法. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解析:(1)先把 6 个毕业生平均分成 3 组,有C6 2C42C22 A3 3 种方法,再将 3 组毕 业生分到 3 所学校,有A3 3 种方法,故将 6 个毕业生平均分到 3 所学校, 共有C6 2C42C22 A3 3 A3 3 =90(种)不同的分派方法. (2)将 6 名教师分组,分三步完成: 第 1 步,在 6 名教师中任取 1 名作为一组,有C6 1种分法; 第 2 步,在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组,有C5 2种分法; 第 3 步,余下的 3 名教师

15、作为一组,有C3 3种分法. 根据分步乘法计数原理,共有C6 1C52C33=60(种)分法. 再将这 3 组教师分配到 3 所中学,有A3 3=6(种)分法,故共有 606=360(种)不同的分法. 答案:(1)90 (2)360 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 分组分配问题的三种类型及求解策略 类型 求解策略 整体 均分 解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是一种 情况,所以分组后一定要除以 (n为均分的组数),避免 重复计数 部分 均分 解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m 组元素个数相等,则分组时应除以m! 不等 分组 只需先分组,后排列

16、,注意分组时任何组中元素的个数 都不相等,所以不需要除以全排列数 n n 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练3某局安排3名副局长带5名职工去3地调研,每地至少去1 名副局长和1名职工,则不同的安排方法总数为( ) A.1 800 B.900 C.300 D.1 440 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解析:分三步:第 1步,将 5名职工分成 3组,每组至少 1 人,则有 (C5 3C21C11 A2 2 + C5 1C42C22 A2 2 )种不同的分组方法;第 2步,将这 3组职工分到 3 地 有A3 3 种不同的方法;第 3步,将 3名副局长分

17、到 3地有A3 3种不同的方 法.根据分步乘法计数原理,不同的安排方法共有(C5 3C21C11 A2 2 + C5 1C42C22 A2 2 ) A3 3 A3 3=900(种),故选 B. 答案:B 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 排列、组合的综合应用排列、组合的综合应用 例43名男生和3名女生共6名同学站成一排,若男生甲不站两端,3名 女生中有且只有2名女生相邻,则不同的排法有多少种? 思路分析:分析排列、组合问题的关键是要遵循特殊元素优先考虑 的原则. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解:先考虑女生,先从 3 名女生中选 2 名,有C3 2种方法

18、,再考虑顺序,有 A2 2种方法.这样选出2名女生后,再考虑男生.先把3名男生任意排列, 有A3 3 种不同的排法. 再把2名相邻女生看成一个整体,和另一名女生看成两个元素插入4 个空中,有A4 2种不同的排法,共有C32A22 A3 3 A4 2种不同的排法.然后考虑 把男生甲站两端的情况排除掉. 甲可能站左端,也可能站右端,有C2 1种不同的方法,然后其他 2 名男生 排列,有A2 2种排法,最后把女生在剩余的三个位置中排列,有A32种不 同的排法,共C3 2A22C21A22A32种不同的排法. 故总的排法有C3 2A22 A3 3 A4 2 C3 2A22 C2 1A22 A3 2=2

19、88(种). 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 1.解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”,也就 是先把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列. 2.解排列、组合综合问题时要注意以下几点: (1)元素是否有序. (2)对于有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,再 考虑是分类还是分步,这是处理排列、组合综合问题的一般方法. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练4有6名男医生,4名女医生.把10名医生分成2组,每组5人, 且每组要有女医生,有多少种不同的分派方法?若将这两组医生分 派到两地去,并且每组选出正、副组长2人,

20、又有多少种方法? 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解:医生的选法有两类: 第 1 类,一组女医生 1 人男医生 4 人,另一组女医生 3 人男医生 2 人. 因为组与组之间没有顺序,故一共有C4 1C64种不同的选法; 第 2 类,两组都是 3 男 2 女,考虑两组没有顺序,因此有C4 2C63 A2 2 种不同的 选法. 因此不同的分法总数为C4 1C64 + C4 2C63 A2 2 =120(种). 分派到两地有A2 2种方法,每个小组选出正、副组长各有A52种选法,故 一共有 N=120A2 2 A5 2 A5 2=96 000(种)方法. 探究一 探究二 探究三

21、探究四 素养形成 当堂检测 分类讨论的思想分类讨论的思想 典例从1,2,3,4,5,6这6个数字中,任取3个数字组成无重复数字的三 位数,其中若有1和3时,3必须排在1前面;若只有1和3中的1个时,它 应排在其他数字的前面,这样不同的三位数共有 个. 解析:1 与 3 是特殊元素,以此为分类标准进行分类. 分三类:第 1 类,没有数字 1 和 3 时,有A4 3个; 第 2 类,只有 1 和 3 中的 1 个时,有 2A4 2个; 第 3 类,同时有 1 和 3 时,把 3 排在 1 的前面,再从其余 4 个数字中选 1 个数字插入 3 个空中的 1 个即可,有C4 1C31个. 所以满足条件

22、的三位数共有A4 3+2A42 + C4 1 C3 1=60(个). 答案:60 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 方法点睛 分类讨论是一种逻辑方法,也是一种数学思想.这种思想 在人的思维发展中有着重要的作用,因此在近年来的高考试题中占 很大比例,在本章中也有着广泛的应用.在进行分类讨论时,必须保 证分类科学、统一,不重复、不遗漏,力求简洁. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 跟踪训练如图所示,6个扇形区域A,B,C,D,E,F,现给这6个区域涂色, 要求同一区域涂同一种颜色,相邻两个区域不得使用同一种颜色, 现有4种不同颜色可用,那么一共有多少种不同的涂色

23、方法? 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解:第 1 类,当相间区域A,C,E 涂同一颜色时,有 4 种不同的涂色方法, 此时,B,D,F 各有 3 种不同的涂色方法,故有 4333=108(种)不同 的涂色方法;第 2 类,当相间区域 A,C,E 涂两种不同颜色时,有C3 2A42种 不同的涂色方法,此时 B,D,F 有 322 种不同的涂色方法,故共有 C3 2A42322=432(种)不同的涂色方法;第3类,当相间区域A,C,E涂 三种不同颜色时,有A4 3种不同的涂色方法,此时 B,D,F 各有 2 种不同 的涂色方法,此时共有A4 3222=192(种)不同的涂色方

24、法.利用分 类加法计数原理,可得共有 108+432+192=732(种)不同的涂色方法. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 1.方程C14 = C14 2-4的解为( ) A.4 B.14 C.4或6 D.14或2 解析:C14 = C14 2-4,x=2x-4,解得 x=4,或 14-x=2x-4,解得 x=6.经检 验 x=4,x=6 均符合题意,所以方程的解为 4 或 6. 答案:C 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 2.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两 个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队 都必须有内

25、科医生、外科医生和护士,则不同的分配方案有( ) A.72种 B.36种 C.24种 D.18种 解析:A2 1 (C3 2C31 + C3 1C32)=36(种). 答案:B 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 3.(2020四川棠湖中学高二月考)从5名学生中选出4名分别参加数学, 物理,化学,生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛 方案种数为( ) A.48 B.72 C.90 D.96 解析:甲不参加生物竞赛,则安排甲参加另外3场比赛或甲不参加任 何比赛. 第1类,当甲参加另外3场比赛时,共有 =72(种)不同的参赛方 案;第2类,当甲不参加任何比赛时,共有

26、=24(种)不同的参赛方案. 综上所述,所有参赛方案有72+24=96(种). 答案:D C3 1 A4 3 A4 4 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 4.高二某班第1小组共12名同学,现在要调换座位,使其中3人都不坐 自己原来的座位,其他9人的座位不变,共有 种不同的调 换方法. 解析:完成这一任务需要两步:第1步,从12人中选3人,共有 =220(种)选法;第2步,3人都不坐原来的座位有2种情况,所以共有 2202=440(种)不同的调换方法. C12 3 答案:440 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 5.从4名男同学中选出2人,6名女同学中选出3人,并将选出的5人排 成一排. (1)共有多少种不同的排法? (2)若选出的2名男同学不相邻,共有多少种不同的排法? 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解:(1)从 4 名男生中选出 2 人,有C4 2种选法; 从 6 名女生中选出 3 人,有C6 3种选法. 根据分步乘法计数原理知,选出 5 人,再把这 5 个人进行排列共有 C4 2C63A55=14 400(种)不同的排法. (2)在选出的 5 个人中,若 2 名男生不相邻,则先排 3 名女生,再让男生 插空,根据分步乘法计数原理知共有C4 2C63A33 A4 2=8 640(种)不同的排 法.