（新教材）高中数学人教A版选择性必修第三册练习：第六章计数原理 单元测试.docx

1、第六章测评第六章测评 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本题共 8 小题,每小题 5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.(2020 重庆高三月考)(x+1)8的展开式的各项系数和为 ( ) A.256 B.257 C.254 D.255 解析令 x=1,则(1+1)8=28=256,即(x+1)8的展开式的各项系数的和为 256.故选 A. 答案 A 2.把编号为 1,2,3,4,5 的 5 位运动员排在编号为 1,2,3,4,5 的 5条跑道中,要求有且只有两位运动员的编 号与其所在跑道的编号相同,共有不同排法的种数是( ) A.1

2、0 B.20 C.40 D.60 解析先选出两位运动员的编号与其所在跑道编号相同,有 ,剩余的有 2种排法,共有 2 =20(种). 答案 B 3.(2020 河南高二月考)从 4名男同学和 3名女同学中选出 3 名参加某项活动,则男女生都有的不同的 选法种数是( ) A.18 B.24 C.30 D.36 解析由于选出的 3名学生男女生都有,所以可分成两类: 第 1类,3 人中是 1男 2女,共有 =43=12(种)不同的选法; 第 2类,3 人中是 2男 1女,共有 =63=18(种)不同的选法. 所以男女生都有的不同的选法种数是 12+18=30. 答案 C 4.(2020 浙江高三专题

3、练习)已知 +0!=4,则 m= ( ) A.0 B.1 C.2或 3 D.3 解析 +0!=4, =6. 当 m=2时成立; 当 m=3时也成立.故选 C. 答案 C 5.(2020 黑龙江牡丹江一中高三期末)张、王夫妇各带一个小孩儿到游乐园游玩,购票后依次入园,为 安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外两个小孩要排在一起,则这 6个人的排法种数是( ) A.12 B.24 C.36 D.48 解析先安排首尾两个位置的男家长,共有 种方法;将两个小孩作为一个整体,与剩下的另两位家长安 排在两位男家长的中间,共有 种方法.由分步乘法计数原理可得所有的排法有 =24(种).故 选 B. 答案 B

4、6.(2020 全国 1高考)( )(x+y)5的展开式中 x3y3的系数为( ) A.5 B.10 C.15 D.20 解析因为(x+y)5的通项公式为 x5-k yk(k=0,1,2,3,4,5),所以当 k=1 时, x4y=5x3y3,当 k=3 时,x x2y3=10 x3y3,所以 x3y3的系数为 10+5=15. 答案 C 7.如图所示,要给四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但 相邻区域必须涂不同颜色,则不同的涂色方法种数为( ) A.320 B.160 C.96 D.60 解析根据分步乘法计数原理,区域有 5种颜色可供选择,区域有 4 种颜色可供

5、选择,区域和区域 只要不选择区域的颜色即可,故有 4种颜色可供选择,所以不同涂色方法有 5444=320(种). 答案 A 8.(2020 山东济南高三模拟)某学校实行新课程改革,即除语文、数学、外语三科为必考科目外,还要 在物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某 大学环境科学专业,按照该大学上一年高考招生选考科目要求,物理、化学必选,为该生安排课表(上 午四节、下午四节,每门课每天至少一节),已知该生某天最后两节为自习课,且数学不排下午第一节, 语文、外语不相邻(上午第四节和下午第一节不算相邻),则该生该天课表有( ) A.444种 B.1 77

6、6种 C.1 440种 D.1 560种 解析物理、化学、生物、历史、地理、政治六选三,且物理、化学必选, 所以只需在生物、历史、地理、政治中四选一,有 =4(种). 对语文、外语排课进行分类,第 1 类,语文、外语有一科在下午第一节,则另一科可以安排在上午 四节课中的任意一节,剩下的四科可全排列,有 =192(种); 第 2类,语文、外语都不在下午第一节,则下午第一节可在除语文、数学、外语三科的另三科中 选择,有 =3(种), 语文和外语可都安排在上午,即上午第一、三节,上午第一、四节,上午第二、四节,有 3 =6(种), 也可一科在上午任一节,一科在下午第二节,有 =8(种), 其他三科可

7、以全排列,有 (6+8) =252(种). 综上,共有 4(192+252)=1 776(种). 故选 B. 答案 B 二、选择题(本题共 4 小题,每小题 5分,共 20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求.全部选对的得 5 分,有选错的得 0分,部分选对的得 3分) 9.(2020 江苏扬中高级中学高二期中)某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七 门课程中选三门作为选考科目,下列说法错误的是( ) A.若任意选择三门课程,选法总数为 B.若物理和化学至少选一门,选法总数为 C.若物理和历史不能同时选,选法总数为 D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,

8、选法总数为 解析若任意选择三门课程,选法总数为 ,故 A错误; 若物理和化学至少选一门,选法总数为 ,故 B错误; 若物理和历史不能同时选,选法总数为 ,故 C正确; 若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,选法总数为 ,故 D错误.故 选 ABD. 答案 ABD 10.(2020 江苏丰县中学高二期中)下列等式中,成立的有 ( ) A. B. - C. - D. =n - - 解析 =n(n-1)(n-m+1)= - ,故 A 错误; 根据组合数性质知 B,C 正确; - - - - - =n - - ,故 D正确.故选 BCD. 答案 BCD 11.(2020 山东高二期中)若(1

9、+mx)8=a0+a1x+a2x2+a8x8且 a1+a2+a8=255,则实数 m的值可以为 ( ) A.-3 B.-1 C.0 D.1 解析因为(1+mx)8=a0+a1x+a2x2+a8x8,令 x=1,得(1+m)8=a0+a1+a2+a8, 令 x=0,得 a0=1. 因为 a1+a2+a8=255, 所以(1+m)8-1=255,所以(1+m)8=256=28, 所以 1+m=2 或 1+m=-2, 解得 m=1 或 m=-3.故选 AD. 答案 AD 12.(2020 山东宁阳第四中学高二期中)已知 (a0)的展开式中第 5 项与第 7项的二项式系 数相等,且展开式的各项系数之和

10、为 1 024,则下列说法正确的是( ) A.展开式中奇数项的二项式系数和为 256 B.展开式中第 6项的系数最大 C.展开式中存在常数项 D.展开式中含 x15的项的系数为 45 解析由二项式的展开式中第 5项与第 7 项的二项数系数相等,可知 n=10. 又因为展开式的各项系数之和为 1 024,即当 x=1 时,(a+1)10=1 024,所以 a=1. 所以二项式为 - . 二项式系数和为 210=1 024,则奇数项的二项式系数和为 1 024=512,故 A错误; 由 n=10 可知展开式共有 11 项,故第 6项的二项式系数最大, 因为 x2与 - 的系数均为 1,则该二项展开

11、式的二项式系数与相应各项的系数相同,所以第 6项的 系数最大,故 B 正确; 若展开式中存在常数项,由通项 Tk+1= x2(10-k) - 可得 2(10-k)- k=0,解得 k=8,故 C 正确; 由通项 Tk+1= x2(10-k) - 可得 2(10-k)- k=15,解得 k=2,所以系数为 =45,故 D 正确.故选 BCD. 答案 BCD 三、填空题(本题共 4 小题,每小题 5分,共 20分) 13.(2019 上海高二期末)某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢 4个不相同的红包,每人最 多抢一个红包,且红包全被抢光,则甲、乙两人都抢到红包的情况有 种. 解析第 1步,

12、甲、乙抢到红包,有 =43=12(种),第 2 步,其余三人抢剩下的两个红包,有 =32=6(种),所以甲、乙两人都抢到红包的情况有 126=72(种). 答案 72 14.将 5 位志愿者分成 3 组,其中两组各 2人,另一组 1人,分赴某大型展览会的三个不同场馆服务,不 同的分配方案有 种. 解析先分组 ,再把三组分配到三个不同的场馆,得共有不同的分配方案 =90(种). 答案 90 15.(2020 安徽高三模拟)(x2+2) - 的展开式中的常数项为 . 解析因为 2x- 6的展开式中含 的项为 (2x)2 - - 的展开式中含常数项 (2x)3 - =-160,所以(x2+2) -

13、的展开式中的常数项为 60-320=-260. 答案-260 16.(2020 浙江高三专题练习)某学校要安排 2名高二的同学、2 名高一的同学和 1名初三的同学去参 加电视节目,有五个乡村小镇 A,B,C,D,E(每名同学选择一个小镇),由于某种原因高二的同学不去小镇 A,高一的同学不去小镇 B,初三的同学不去小镇 D 和 E,则共有 种不同的安排方法. 解析如果初三学生去 A,则高二学生选 1 人去 B,另外三人去 C,D,E,故不同的安排方法有 =12(种); 如果初三学生去 B,则高一学生选 1人去 A,另外三人去 C,D,E,故不同的安排方法有 =12(种); 如果初三学生去 C,则

14、高二学生选 1人去 B,高一学生选 1人去 A,另外两人去 D,E,故不同的安排 方法有 =8(种). 故共有不同的安排方法 12+12+8=32(种). 答案 32 四、解答题(本题共 6 小题,共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)(2020黑龙江海林朝鲜族中学高二期末)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7,求: (1)a1+a2+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6; (4)|a0|+|a1|+|a2|+|a7|. 解(1)根据所给的等式求得常数项 a0=1. 令 x=1,可得 a0+a1+a2+a7=-1.

15、 则 a1+a2+a7=-2. (2)在所给的等式中,令 x=1, 可得 a0+a1+a2+a7=-1. 令 x=-1,则 a0-a1+a2-a3+-a7=37. (-)2,可得 a1+a3+a5+a7=-1 094. (3)由(2),(+)2,可得 a0+a2+a4+a6=1 093. (4)在所给的等式中,令 x=-1, 可得|a0|+|a1|+|a2|+|a7|=a0-a1+a2-a3+-a7=37=2 187. 18.(12分)(2020安徽六安中学高二期中)某医院有内科医生 8 名、外科医生 6 名,现选派 4名参 加抗击新冠肺炎疫情医疗队. (1)甲、乙两人至少有一人参加,有多少种

16、选法? (2)队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法? 解(1)不考虑甲、乙两人,从所有 14名医生中选派 4 名共有 =1 001(种);甲、乙两人都没被选派共 有 =495(种).故甲、乙两人至少有一人参加,有 1 001-495=506(种). (2)此时 4 名医生的组成可分为三类: 第 1类,1 名内科医生、3名外科医生,共有 =160(种); 第 2类,2 名内科医生、2名外科医生,共有 =420(种); 第 3类,3 名内科医生、1名外科医生,共有 =336(种). 故队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有 160+420+336=916(种)选法. 19.(12分)

17、(2020四川仁寿第二中学高二月考(理)在 n的展开式中,前三项系数的绝对值成 等差数列. (1)求展开式的第四项; (2)求展开式的常数项; (3)求展开式中各项的系数和. 解通项为 Tk+1= - - . 由已知, - , ( ) 成等差数列,得 2 =1+ ,解得 n=8,故 Tk+1= - - . (1)令 k=3,得 T4= - =-7 . (2)令 8-2k=0,得 k=4,故 T5= . (3)令 x=1,得各项的系数和为 8= . 20.(12分)(2020江苏高二期中)有 7 本不同的书: (1)全部分给 6 个人,每人至少一本,有多少种不同的分法? (2)全部分给 5 个人

18、,每人至少一本,有多少种不同的分法? 解(1)根据题意,将 7 本书分给 6个人,且每人至少 1 本,则必须是其中 1 个人 2 本,其他人每人 1本,则 分两步: 第 1步,将 7本书,分为 6组,其中 1 组 2本,其他组每组 1 本,有 =21(种)分组方法; 第 2步,将分好的 6 组对应 6 人,将 6 组进行全排列即可,有 =720(种)方法. 一共有 21720=15 120(种)不同的分法. (2)分两类:第 1类,1 人得 3本,其余 4人各得一本,方法数为 =4 200; 第 2类,2 人各得 2 本,其余 3 人各得 1本,方法数为 =12 600. 所以所求分法种数为

19、4 200+12 600=16 800. 21.(12分)(2020河南南阳中学高二月考)已知 的展开式的二项式系数和比(3x-1)n 的展开式 的二项式系数和大 992.求 - 的展开式中: (1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项. 解由题意 22n-2n=992,解得 n=5. (1) - 的展开式中第 6 项的二项式系数最大,即 T6=T5+1= (2x)5 - =-8 064. (2)设第 k+1 项的系数的绝对值最大, Tk+1= (2x)10-k - =(-1)k 210-k x10-2k,则 - - - - - - 即 - 即 - - 解得 k ,故 k=3. 系

20、数的绝对值最大的项为 T4= (2x)7 - =-15 360 x4. 22.(12分)(2020江苏徐州高二月考)从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问: (1)能组成多少个没有重复数字的七位数? (2)在(1)中的七位数中,三个偶数排在一起的有几个? (3)在(1)中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个? (4)在(1)中任意两偶数都不相邻的七位数有几个? 解(1)分步完成:第 1步,在四个偶数中取三个,可有 种情况; 第 2步,在五个奇数中取四个,可有 种情况; 第 3步,三个偶数,四个奇数进行排列,可有 种情况. 所以符合题意的七位数有 =100 800(个). (2)上述七位数中,三个偶数排在一起的有 =14 400(个). (3)上述七位数中,三个偶数排在一起,四个奇数也排在一起的有 =5 760(个). (4)上述七位数中,偶数都不相邻,可先把四个奇数排好,再将三个偶数分别插入 5个空位,共有 =28 800(个).