（新教材）高中数学人教A版选择性必修第三册课件：7.3.1　离散型随机变量的均值.pptx

1、7.3.1 离散型随机变量的均值 课标阐释 思维脉络 1.通过实例理解离散型随 机变量均值的概念,能计算 简单离散型随机变量的均 值.(数学运算) 2.理解离散型随机变量均 值的性质.(数学抽象) 3. 掌 握 两 点 分 布 的 均 值.(数学运算) 4.会利用离散型随机变量 的均值,解决一些相关的实 际问题.(逻辑推理) 激趣诱思 知识点拨 某城市随机抽样调查了1 000户居民的住房情况,发现户型主要集 中于160 m2,100 m2,60 m2三种,对应住房的比例为154,能否说 该市的人均住房面积为 106.7(m2)?此种计算显然 不合理,忽略了不同住房面积的居民所占的比例,造成了“

2、被平均”现 象.那么如何计算人均住房面积更为合理呢? 160 +100 +60 3 激趣诱思 知识点拨 一、离散型随机变量的均值 一般地,若离散型随机变量X的分布列如下表所示, X x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称E(X)=x1p1+x2p2+xnpn= 为随机变量X的均值或数学 期望,数学期望简称期望. i=1 n xipi 激趣诱思 知识点拨 名师点析均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”,这是随机变量X的 一个重要特征,它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平. 激趣诱思 知识点拨 微思考 离散型随机变量的均值与分布列有什么区别? 提示:离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从

3、整体和全局上刻 画随机变量的,但二者有所不同.分布列只给了随机变量取所有可 能值的概率,而均值却反映了随机变量取值的平均水平. 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知X的分布列为 X -1 0 1 2 P 则X的均值为( ) A.0 B.-1 C.1 8 D.1 4 解析:E(X)=-1 1 4+0 3 8+1 1 4+2 1 8 = 1 4. 答案:D 激趣诱思 知识点拨 二、两点分布 一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=0(1-p)+1p=p. 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知随机变量X满足P(X=1)=0.3,P(X=0)=0.7,则 E(X)= . 解析:因为随机变量X服从两点

4、分布,所以E(X)=0.3. 答案:0.3 激趣诱思 知识点拨 三、离散型随机变量均值的性质 一般地,下面的结论成立:E(aX+b)=aE(X)+b. 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知随机变量X的分布列如下. X 0 1 2 3 P a 则E(X)= ,E(2X-1)= . 解析:由题意知1 3 + 1 6+a+ 1 4=1,解得 a= 1 4, 所以 E(X)=0 1 3+1 1 6+2 1 4+3 1 4 = 17 12. E(2X-1)=2E(X)-1=2 17 12-1= 11 6 . 答案:17 12 11 6 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 求离散型随机变量的均值求离散型随机变

5、量的均值 例1某地最近出台一项机动车驾照考试规定:每位考试者一年之内 最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,即可领取驾照,不再 参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾 照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,求在一 年内李明参加驾照考试次数X的分布列和均值. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 解:X的可能取值为1,2,3,4, 则P(X=1)=0.6, P(X=2)=(1-0.6)0.7=0.28, P(X=3)=(1-0.6)(1-0.7)0.8=0.096, P(X=4)=(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)1=0.024

6、. 所以在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.024 E(X)=10.6+20.28+30.096+40.024=1.544. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 反思感悟 求离散型随机变量均值的步骤 (1)确定离散型随机变量X的取值; (2)写出分布列,并检查分布列的正确与否; (3)根据公式求出均值. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 变式训练1盒中装有5节同品牌的五号电池,其中混有两节废电池. 现在无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止,求抽取 次数X的分布列及均值. 解:X 的可能取值为 1,2,3, 则 P(X=

7、1)=3 5,P(X=2)= 23 54 = 3 10, P(X=3)=213 543 = 1 10. 故抽取次数 X 的分布列为 X 1 2 3 P 3 5 3 10 1 10 E(X)=1 3 5+2 3 10+3 1 10 = 3 2. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 离散型随机变量的均值的性质离散型随机变量的均值的性质 例2已知随机变量X的分布列为 X -2 -1 0 1 2 P 1 4 1 3 1 5 m 1 20 若Y=-2X,则E(Y)= . 解析:由随机变量分布列的性质,得1 4 + 1 3 + 1 5+m+ 1 20=1,解得 m= 1 6, 故 E(X)=(-2) 1

8、4+(-1) 1 3+0 1 5+1 1 6+2 1 20=- 17 30. 由 Y=-2X,得 E(Y)=-2E(X)=-2 -17 30 =17 15. 答案:17 15 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 延伸探究 本例条件不变,若 =aX+3,且 E()=-11 2 ,求 a 的值. 解:E()=E(aX+3)=aE(X)+3=-17 30a+3=- 11 2 ,解得 a=15. 反思感悟 若给出的随机变量与X的关系为=aX+b,a,b为实数.一 般思路是先求出E(X),再利用公式E()=E(aX+b)=aE(X)+b求出E(). 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 变式训练2已知随机

9、变量和,其中=12+7,且E()=34,若的分布 列如下表,则m的值为( ) 1 2 3 4 P 1 4 m n 1 12 A.1 3 B.1 4 C.1 6 D.1 8 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 解析:因为=12+7, 所以E()=12E()+7, 即 E()=12(1 1 4+2m+3n+4 1 12)+7=34.所以 2m+3n= 5 3. 又1 4+m+n+ 1 12=1,所以 m+n= 2 3. 由解得 m=1 3. 答案:A 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 均值的实际应用均值的实际应用 典例随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、 二等品50件、

10、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品 获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元,设 1件产品的利润(单位:万元)为X. (1)求X的分布列. (2)求1件产品的平均利润(即X的均值). (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率 提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三 等品率最多是多少? 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 解:(1)X 的所有可能取值为 6,2,1,-2, 则 P(X=6)=126 200=0.63, P(X=2)= 50 200=0.25, P(X=1)= 20 200=0.1,P(X=-

11、2)= 4 200=0.02. 故X的分布列为 X 6 2 1 -2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 (2)E(X)=60.63+20.25+10.1+(-2)0.02=4.34.故1件产品的 平均利润为4.34万元. (3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为 E(X)=60.7+2(1-0.7-0.01-x)+1x+(-2)0.01=4.76-x (0 x0.29), 依题意,E(X)4.73,即4.76-x4.73, 解得x0.03,所以三等品率最多为3%. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 方法点睛 解决与生产实际相关的

12、概率问题时,首先把实际问题概 率模型化,然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大 小,并列出分布列,最后利用公式求出相应的均值. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 跟踪训练某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概 率分别为 .现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、 乙两组的研发相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率; (2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研 发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和 均值. 2 3 和 3 5 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 解:记 E=“甲组研发新产品 A 成功”,

13、F=“乙组研发新产品 B 成功”, 由题设知 P(E)=2 3,P()= 1 3,P(F)= 3 5,P()= 2 5,且事件 E 与 F,E 与,与 F,与都相互独立. (1)记 H=“至少有一种新产品研发成功”, 则 = ,于是 P()=P()P()=1 3 2 5 = 2 15,故所求的概率为 P(H)=1-P()=1- 2 15 = 13 15. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 (2)设企业可获利润为 X 万元, 则 X 的可能取值为 0,100,120,220, 因为 P(X=0)=P( )=1 3 2 5 = 2 15, P(X=100)=P( F)=1 3 3 5 = 1 5

14、, P(X=120)=P(E )=2 3 2 5 = 4 15, P(X=220)=P(EF)=2 3 3 5 = 2 5. 所以 X 的分布列为 X 0 100 120 220 P 2 15 1 5 4 15 2 5 E(X)=0 2 15+100 1 5+120 4 15+220 2 5=140. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 1.已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 0.2 0.5 m 则X的均值是( ) A.2 B.2.1 C.2.3 D.随m的变化而变化 解析:0.2+0.5+m=1,m=0.3. E(X)=10.2+20.5+30.3=2.1. 答案:B 探究一 探究

15、二 素养形成 当堂检测 2.(2020 浙江高三期末)已知 0a2 3,随机变量 的分布列为 -1 0 1 P 1 3 a b 则当a增大时,E()的变化情况是( ) A.E()增大 B.E()减小 C.E()先增大后减小 D.E()先减小后增大 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 解析:由题意可知 () = - 1 3 + , 1 3 + + = 1, 则 E()=-1 3 + 2 3-a= 1 3-a,故当 a 增大 时,E()减小. 答案:B 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 3.若X的分布列为 X 1 2 3 4 P 1 6 1 6 1 3 1 3 ,Y=2X+5,则E(Y)= .

16、解析:E(X)=1 1 6+2 1 6+3 1 3+4 1 3 = 17 6 , E(Y)=E(2X+5)=2E(X)+5=2 17 6 +5=32 3 . 答案:32 3 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 4.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,不命中得0分.已知某篮 球运动员罚球命中的概率为0.8,则他罚球一次得分X的均值 是 . 解析:因为P(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2,所以E(X)=10.8+00.2=0.8. 答案:0.8 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 5.袋中有4个红球、3个白球,从袋中随机取出4个球.设取出一个红 球得2分,取出一个白球得1分,试求得分X的均值. 解:X 的所有可能取值为 5,6,7,8, 则 P(X=5)=C4 1C33 C7 4 = 4 35, P(X=6)=C4 2C32 C7 4 = 18 35, P(X=7)=C4 3C31 C7 4 = 12 35, P(X=8)=C4 4 C7 4 = 1 35. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 所以X的分布列为 X 5 6 7 8 P 4 35 18 35 12 35 1 35 E(X)=5 4 35+6 18 35+7 12 35+8 1 35 = 44 7 .