（新教材）高中数学人教A版选择性必修第三册课件：7.3.2　离散型随机变量的方差.pptx

1、7.3.2 离散型随机变量的方差 课标阐释 思维脉络 1.理解取有限个值的离散型随机变量 的方差及标准差的概念.(数学抽象) 2.能计算简单离散型随机变量的方差, 并能解决一些实际问题.(数学运算) 3.掌握方差的性质,会利用公式求实际 问题的方差.(数学运算) 激趣诱思 知识点拨 学校举行踢毽子大赛,某班要在甲、乙两名同学中选出一名同学参 加学校的决赛.若甲、乙两名同学每分钟踢毽子个数X,Y的分布列 分别为 X 90 100 110 P 0.1 0.8 0.1 Y 95 100 105 P 0.3 0.4 0.3 那么最好选择哪名同学呢? 激趣诱思 知识点拨 一、离散型随机变量的方差、标准差

2、 设离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 xn P p1 p2 pn 考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1-E(X)2,(x2-E(X)2, ,(xn-E(X)2.因为X取每个值的概率不尽相同,所以我们用偏差平方 关于取值概率的加权平均,来度量随机变量X取值与其均值E(X)的 偏离程度,我们称 D(X)=(x1-E(X)2p1+(x2-E(X)2p2+(xn-E(X)2pn = (xi-E(X)2pi为随机变量X的方差,有时也记为Var(X),并称 为随机变量X的标准差,记为(X). i=1 n D(X) 激趣诱思 知识点拨 名师点析随机变量的方差和标准差都可以度

3、量随机变量取值与其 均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差 越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值 越分散. 激趣诱思 知识点拨 微思考 随机变量的方差与样本的方差有何不同? 提示:样本的方差是随着样本的不同而变化的,因此它是一个随机 变量,而随机变量的方差是通过大量试验得出的,刻画了随机变量X 与其均值E(X)的平均偏离程度,因此它是一个常量而非变量. 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知离散型随机变量X的分布列如下表. X -1 0 1 2 P a b c 若E(X)=0,D(X)=1,则a= ,b= . 解析:由分布列的性质知 a+b+c+ 1 12

4、=1, 由均值和方差的计算公式,得-a+c+1 6=0, (-1-0)2a+(1-0)2c+(2-0)2 1 12=1, 联立,解得 a= 5 12,b= 1 4. 答案: 5 12 1 4 激趣诱思 知识点拨 二、离散型随机变量的方差的性质 一般地,可以证明下面的结论成立:D(aX+b)=a2D(X). 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知X的分布列如下表. X -1 0 1 P 若Y=3X-1,则D(Y)的值为( ) A.-1 B.5 C.10 D.20 解析:E(X)=-1 1 2+0 1 3+1 1 6=- 1 3,D(X)= -1 + 1 3 2 1 2 + 0 + 1 3 2 1 3

5、+ 1 + 1 3 2 1 6 = 5 9.Y=3X-1,D(Y)=9D(X)=5. 答案:B 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 求离散型随机变量的方差求离散型随机变量的方差 例1袋中有20个大小相同的球,其中标记0的有10个,标记n的有n个 (n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,X表示所取球的标号. (1)求X的分布列、均值和方差; (2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,试求a,b的值. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 解:(1)X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 则 E(X)=0 1 2+1 1 20+2 1 10

6、+3 3 20+4 1 5=1.5,D(X)=(0-1.5) 21 2+ (1-1.5)2 1 20+(2-1.5) 21 10+(3-1.5) 23 20+(4-1.5) 21 5=2.75. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 (2)由D(Y)=a2D(X),得a22.75=11, 解得a=2. 又E(Y)=aE(X)+b, 所以当a=2时,由1=21.5+b,得b=-2; 当a=-2时,由1=-21.5+b,得b=4. 所以 = 2, = -2 或 = -2, = 4. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 反思感悟 1.求离散型随机变量X的方差的基本步骤: 理解 X 的意义,写出 X 可

7、能取的全部值 求出 X 取每个值时的概率 列出 X 的分布列 由均值的定义求出 E(X) 利用公式 D(X)= =1 (xi-E(X)2pi求出 D(X) 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 2.已知随机变量=a+b求D()时,注意D()=D(a+b)=a2D()的应 用,这样既避免求随机变量的分布列,又避免繁杂的计算,简化计算 过程. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 变式训练1袋中有除颜色外其他都相同的6个小球,其中红球2个、 黄球4个,规定取1个红球得2分,1个黄球得1分.从袋中任取3个小球, 记所取3个小球的分数之和为X,求随机变量X的分布列、均值和方 差. 探究一 探究二 素养形成

8、 当堂检测 解:由题意可知,X 的所有可能取值为 5,4,3, 则 P(X=5)=C2 2C41 C6 3 = 1 5,P(X=4)= C2 1C42 C6 3 = 3 5, P(X=3)=C4 3 C6 3 = 1 5. 故 X 的分布列为 X 5 4 3 P 1 5 3 5 1 5 E(X)=5 1 5+4 3 5+3 1 5=4. D(X)=(5-4)2 1 5+(4-4) 23 5+(3-4) 21 5 = 2 5. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 离散型随机变量的方差的应用离散型随机变量的方差的应用 例2甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的 种类和数量也大致相同

9、,两个保护区内每个季度发现违反保护条例 的事件次数的分布列分别为: 甲: X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 乙: Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 试评定这两个保护区的管理水平. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 解:甲保护区内违反保护条例的次数X的均值和方差分别为 E(X)=00.3+10.3+20.2+30.2=1.3, D(X)=(0-1.3)20.3+(1-1.3)20.3+(2-1.3)20.2+(3- 1.3)20.2=1.21. 乙保护区内违反保护条例的次数Y的均值和方差分别为 E(Y)=00.1+10.5+20.4=1.3, D(Y)=(0-1

10、.3)20.1+(1-1.3)20.5+(2-1.3)20.4=0.41. 因为E(X)=E(Y),D(X)D(Y),所以两个保护区内每个季度发现违反 保护条例的事件的平均次数相同,但甲保护区内违反保护条例的事 件次数相对分散且波动较大,乙保护区内违反保护条例的事件次数 更加集中和稳定.相对而言,乙保护区的管理更好一些. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 反思感悟 离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的 平均水平,而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中 与离散的程度.因此在实际决策问题中,需先计算均值,看谁的平均 水平高,再计算方差,分析谁的水平发挥相对稳定.当然不同的情形

11、 要求不同,应视具体情况而定. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 变式训练2甲、乙两个建材厂都想投标参加某重点项目建设,为了 对重点项目建设负责,政府到两建材厂抽样检查,从他们中各取等 量的样品检查它们的抗拉强度指数如下. X 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 Y 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使用时要求抗拉 强度不低于120的条件下,比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 解:E(X)=1100.1+1200

12、.2+1250.4+1300.1+1350.2=125, E(Y)=1000.1+1150.2+1250.4+1300.1+1450.2=125, D(X)=0.1(110-125)2+0.2(120-125)2+0.4(125-125)2 +0.1(130-125)2+0.2(135-125)2=50, D(Y)=0.1(100-125)2+0.2(115-125)2+0.4(125-125)2+ 0.1(130-125)2+0.2(145-125)2=165. 由于E(X)=E(Y)120,而D(X)D(Y), 故甲厂的材料稳定性较好. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 离散型随机变量的

13、均值与方差的综合离散型随机变量的均值与方差的综合 典例如图,左边为国外的著名数学家,右边为国籍,且4位数学家的国 籍均不相同,老师为了激发学生了解数学史的热情,在班内进行数 学家和其国籍的连线游戏,参加连线的同学每连对一个得1分,连错 得0分. 高斯 法国 笛卡尔 挪威 阿贝尔 英国 牛顿 德国 假定某学生对这些数学家没有了解,只是随机地连线,试求该学生 得分X的分布列、均值和方差. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 解:该学生连线的情况有都连错、连对一个、连对两个、连对四个, 故其得分X的可能取值为0,1,2,4. 则 P(X=0)= 9 A4 4 = 3 8,P(X=1)= C4 12

14、A4 4 = 1 3, P(X=2)=C4 21 A4 4 = 1 4,P(X=4)= 1 A4 4 = 1 24. 故 X 的分布列为 X 0 1 2 4 P 3 8 1 3 1 4 1 24 故 E(X)=0 3 8+1 1 3+2 1 4+4 1 24=1, D(X)=3 8(0-1) 2+1 3(1-1) 2+1 4(2-1) 2+ 1 24(4-1) 2=1. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 方法点睛 求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤: 第1步,确定随机变量的所有可能值; 第2步,求每一个可能值所对应的概率; 第3步,列出离散型随机变量的分布列; 第4步,求均值和方差.

15、 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 跟踪训练小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排 球队.游戏规则为:以O为起点,从A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如图)这8个 点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为 X.若X=0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队. (1)求小波参加学校合唱团的概率; (2)求X的分布列、均值和方差. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 解:(1)从 8 个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C8 2=28(种). 当 X=0 时,两向量夹角为直角,共有 8 种情形, 所以小波参加学校合唱团的概率为 P(X=0)= 8 28

16、 = 2 7. (2)两向量数量积X的所有可能取值为-2,-1,0,1,X=-2时,有2种情 形;X=1时,有8种情形;X=-1时,有10种情形. 所以X的分布列为 X -2 -1 0 1 P 1 14 5 14 2 7 2 7 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 E(X)=-2 1 14+(-1) 5 14+0 2 7+1 2 7=- 3 14. D(X)=(-2+ 3 14) 21 14+(-1+ 3 14) 25 14 + (0 + 3 14) 2 2 7+(1+ 3 14) 22 7 = 173 196. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 1.已知随机变量满足P(=1)=0.3,P(

17、=2)=0.7,则E()和D()的值分 别为( ) A.0.6和0.7 B.1.7和0.09 C.0.3和0.7 D.1.7和0.21 解析:E()=10.3+20.7=1.7,D()=(1-1.7)20.3+(2-1.7)2 0.7=0.21. 答案:D 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 2.(2020西安高三检测)若随机变量的分布列如下,其中m(0,1),则 下列结论正确的是( ) 0 1 P m n A.E()=m,D()=n3 B.E()=m,D()=n2 C.E()=1-m,D()=m-m2 D.E()=1-m,D()=m2 解析:依题意,n=1-m,则E()=0m+1n=n=1-

18、m, D()=0-(1-m)2m+1-(1-m)2(1-m)=m-m2. 答案:C 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 3.(2020浙江高三期末)已知随机变量X的分布列是 X 1 2 3 P 1 3 a b 若 E(X)=11 6 ,则 D(X)的值是( ) A.17 36 B.17 18 C.23 9 D.23 18 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 解析:由已知得 a+b=2 3. 由 E(X)=1 3+2a+3b= 11 6 ,得 2a+3b=3 2. 联立,解得 a=1 2,b= 1 6. 所以 D(X)=(1- 11 6 )2 1 3 + (2- 11 6 )2 1 2 + (3- 11 6 )2 1 6 = 17 36. 答案:A 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 4.编号为1,2,3的三名学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每名学 生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的人数是,求E()和D(). 解: 的所有可能取值为 0,1,3,则 P(=0)= 2 A3 3 = 1 3, P(=1)=C3 1 A3 3 = 1 2, P(=3)= 1 A3 3 = 1 6. 所以 的分布列为 0 1 3 P 1 3 1 2 1 6 E()=0 1 3+1 1 2+3 1 6=1, D()=1 3(0-1) 2+1 2(1-1) 2+1 6(3-1) 2=1.